ग्रेगरी गुणांक

ग्रेगरी गुणांक G_n, जिसे पारस्परिक लघुगणक संख्या, दूसरे प्रकार की बर्नौली संख्या, या पहली प्रकार की कॉची संख्या के रूप में भी जाना जाता है, तर्कसंगत संख्याएँ हैं जो पारस्परिक लघुगणक के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार में होता है

${\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12}}z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n}\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}$

ग्रेगरी गुणांक वैकल्पिक हैं G_n = (−1)ⁿ⁻¹|G_n| के लिए n > 0 और निरपेक्ष मूल्य में कमी आ रही है। इन संख्याओं का नाम जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इन्हें 1670 में संख्यात्मक एकीकरण के संदर्भ में पेश किया था। बाद में उन्हें कई गणितज्ञों द्वारा फिर से खोजा गया और अक्सर आधुनिक लेखकों के कार्यों में दिखाई देते हैं, जो हमेशा उन्हें पहचान नहीं पाते हैं।

संख्यात्मक मान

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	OEIS sequences
Gn	+1/2	−1/12	+1/24	−19/720	+3/160	−863/60480	+275/24192	−33953/3628800	+8183/1036800	−3250433/479001600	+4671/788480	...	OEIS: A002206 (numerators), OEIS: A002207 (denominators)

गणना और निरूपण

ग्रेगरी गुणांक की गणना करने का सबसे सरल तरीका पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करना है

$|G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}$

साथ G₁ = 1/2.ग्रेगरी गुणांक की गणना निम्नलिखित अंतर के माध्यम से भी स्पष्ट रूप से की जा सकती है

$n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},$

या अभिन्न

$G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,$

जिसे एकीकृत करके सिद्ध किया जा सकता है $(1+z)^{x}$ के संबंध में 0 और 1 के बीच $x$, एक बार सीधे और दूसरी बार पहले द्विपद श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हुए।

इसका तात्पर्य परिमित योग सूत्र से है

$n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},$

कहाँ s(n,ℓ) पहली तरह के हस्ताक्षरित स्टर्लिंग नंबर हैं।

और अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|श्रोडर का अभिन्न सूत्र

$G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},$

सीमाएँ और स्पर्शोन्मुख व्यवहार

ग्रेगरी गुणांक सीमा को संतुष्ट करते हैं

${\frac {1}{6n(n-1)}}<{\big |}G_{n}{\big |}<{\frac {1}{6n}},\qquad n>2,$

जोहान स्टीफ़ेंसन द्वारा दिया गया।बाद में विभिन्न लेखकों द्वारा इन सीमाओं में सुधार किया गया। उनके लिए सबसे प्रसिद्ध सीमाएं ब्लागौचिन द्वारा दी गई थीं। विशेष रूप से,

${\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.$

असम्बद्ध रूप से, बड़े सूचकांक पर n, ये संख्याएँ इस प्रकार व्यवहार करती हैं

${\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .$

का अधिक सटीक वर्णन G_n अत्याधिक n वान वेन के कार्यों में पाया जा सकता है, डेविस, कॉफ़ी, महान और ब्लागॉचिन।

ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला

ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला की गणना अक्सर बंद-रूप में की जा सकती है। इन नंबरों के साथ मूल श्रृंखला में शामिल हैं

${\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}$

कहाँ γ = 0.5772156649... यूलर स्थिरांक है। ये परिणाम बहुत पुराने हैं, और उनका इतिहास ग्रेगोरियो फोंटाना और लोरेंजो माशेरोनी के कार्यों में खोजा जा सकता है। ग्रेगरी गुणांक के साथ अधिक जटिल श्रृंखला की गणना विभिन्न लेखकों द्वारा की गई थी। कोवालेंको,अल-अब्दुल्ला मोहसिन और कुछ अन्य लेखकों ने गणना की

${\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}$

अल-अब्दुल्ला मोहसिन साथ ही ये पहचान भी देता है

${\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}$

कैंडेलपर्जर, कोप्पो और युवापता चला है कि

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,$

कहाँ H_n हार्मोनिक संख्याएँ हैं। ब्लागौचिन निम्नलिखित पहचान प्रदान करता है

${\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}$

कहाँ li(z) लघुगणकीय अभिन्न कार्य है और ${\tbinom {k}{m}}$ द्विपद गुणांक है. यह भी ज्ञात है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन, गामा फ़ंक्शन, बहुविवाह समारोह, स्टिल्टजेस स्थिरांक और कई अन्य विशेष फ़ंक्शन और स्थिरांक को इन संख्याओं वाली अनंत श्रृंखला के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

ग्रेगरी गुणांक के लिए विभिन्न सामान्यीकरण संभव हैं। उनमें से कई को मूल उत्पन्न करने वाले समीकरण को संशोधित करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वैन वेनविचार करना

$\left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,$

और इसलिए

$n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}$

समतुल्य सामान्यीकरण बाद में कोवलेंको द्वारा प्रस्तावित किए गए थेऔर रुबिनस्टीन. इसी प्रकार, ग्रेगरी गुणांक सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं

$\left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,$

देखना,ताकि

$n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}$

जॉर्डन बहुपदों को परिभाषित करता है ψ_n(s) ऐसा है कि

${\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,$

और उन्हें दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद कहिए। उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि G_n = ψ_n(0). कार्लित्ज़ जॉर्डन के बहुपदों को सामान्यीकृत किया ψ_n(s) बहुपदों का परिचय देकर β

$\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,$

और इसलिए

$n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)$

डीन पेश किए गए नंबर G_n(k) ऐसा है कि

$n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},$

उनके जनक कार्य को प्राप्त किया और बड़े पैमाने पर उनके स्पर्शोन्मुखता का अध्ययन किया n. स्पष्ट रूप से, G_n = G_n(1). ये संख्याएँ सख्ती से बदलती रहती हैं G_n(k) = (-1)^n-1|G_n(k)| और जेटा-समारोह, यूलर के स्थिरांक और बहुगामा फ़ंक्शंस के लिए विभिन्न विस्तारों में शामिल है। इसी तरह का एक अलग सामान्यीकरण भी कोमात्सु द्वारा प्रस्तावित किया गया था  : $c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},$ ताकि G_n = c_n⁽¹⁾/n! नंबर c_n^(k) को लेखक ने पॉली-कॉची नंबर कहा है।कॉफ़ीबहुपदों को परिभाषित करता है

$P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx$

और इसलिए |G_n| = P_n+1(1).

यह भी देखें

• स्टर्लिंग बहुपद
• दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद