ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक

गणित में, ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक या ग्लैशर स्थिरांक, आमतौर पर निरूपित किया जाता है A, एक गणितीय स्थिरांक है, जो K-फ़ंक्शन से संबंधित है|K-फंक्शन और बार्न्स जी-फंक्शन|बार्न्स G-समारोह। स्थिरांक कई योगों और अभिन्नों में प्रकट होता है, विशेष रूप से वे जिनमें गामा फ़ंक्शन और रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन शामिल हैं। इसका नाम गणितज्ञ जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर और हरमन किंकेलिन के नाम पर रखा गया है।

इसका अनुमानित मूल्य है:

A = 1.28242712910062263687...   (sequence A074962 in the OEIS).

ग्लैशेर-किंकलिन स्थिरांक A सीमा (गणित) द्वारा दिया जा सकता है:

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {H(n)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}}$

कहाँ H(n) = Πⁿ
_k=1 k^k हाइपरफैक्टोरियल है। यह सूत्र इनके बीच समानता प्रदर्शित करता है A और π जिसे शायद स्टर्लिंग के सन्निकटन को ध्यान में रखकर सबसे अच्छी तरह से चित्रित किया गया है|स्टर्लिंग का सूत्र:

${\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}\,e^{-n}}}$

जो वैसा ही दर्शाता है π कारख़ाने का के सन्निकटन से प्राप्त किया जाता है, A को हाइपरफैक्टोरियल के समान सन्निकटन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

के लिए एक समतुल्य परिभाषा A बार्न्स जी-फंक्शन को शामिल करते हुए|बार्न्स G-फ़ंक्शन, द्वारा दिया गया G(n) = Πⁿ⁻²
_k=1 k! = [Γ(n)]ⁿ⁻¹/K(n) कहाँ Γ(n) गामा फ़ंक्शन है:

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}e^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}$.

ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के मूल्यांकन में भी दिखाई देता है, जैसे:

$\zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A$

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right)$

कहाँ γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। बाद वाला सूत्र सीधे जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर द्वारा पाए गए निम्नलिखित उत्पाद की ओर ले जाता है:

$\prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

अभाज्य संख्याओं पर परिभाषित एक वैकल्पिक उत्पाद सूत्र पढ़ता है

$\prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}},$

कहाँ p_k दर्शाता है kवाँ अभाज्य संख्या.

निम्नलिखित कुछ अभिन्न अंग हैं जिनमें यह स्थिरांक शामिल है:

$\int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,dx={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \pi$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A$

इस स्थिरांक के लिए एक श्रृंखला प्रतिनिधित्व हेल्मुट हस्से द्वारा दी गई रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन की एक श्रृंखला से होता है।

$\ln A={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)$

संदर्भ

• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Provides a variety of relationships.)
• Weisstein, Eric W. "Glaisher–Kinkelin Constant". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". MathWorld.

बाहरी संबंध

• The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places