चतुर्भुज डोमेन

संभावित सिद्धांत नामक गणित की शाखा में, दो आयामी वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक चतुर्भुज डोमेन एक डोमेन डी (एक खुला सेट जुड़ा हुआ स्थान) एक साथ है एक परिमित उपसमुच्चय {z₁, …, साथ_kडी का } ऐसा है कि, प्रत्येक कार्य के लिए यू हार्मोनिक फ़ंक्शन और क्षेत्र माप के संबंध में डी से अधिक अभिन्न, इस माप के संबंध में यू का अभिन्न अंग चतुर्भुज सूत्र द्वारा दिया जाता है; वह है,

$\iint _{D}u\,dxdy=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u(z_{j}),$

जहां सी_j यू से स्वतंत्र अशून्य जटिल स्थिरांक हैं।

सबसे स्पष्ट उदाहरण है जब D एक गोलाकार डिस्क है: यहाँ k = 1, z₁ वृत्त का केंद्र है, और c₁ डी के क्षेत्र के बराबर है। वह चतुर्भुज सूत्र डिस्क के संबंध में हार्मोनिक_फंक्शन # The_mean_value_property हार्मोनिक फ़ंक्शन को व्यक्त करता है।

यह ज्ञात है कि k के सभी मानों के लिए चतुर्भुज डोमेन मौजूद हैं। 2 से बड़े आयाम वाले यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्वाडरेचर डोमेन की एक समान परिभाषा है। क्वाडरेचर डोमेन का एक वैकल्पिक, इलेक्ट्रोस्टैटिक व्याख्या भी है: एक डोमेन डी एक क्वाडरेचर डोमेन है यदि डी पर इलेक्ट्रिक चार्ज का एक समान वितरण समान इलेक्ट्रोस्टैटिक बनाता है। D के बाहर का क्षेत्र जैसा कि बिंदु z पर बिंदु आवेशों का k-tuple करता है₁, …, साथ_k.

चतुर्भुज डोमेन और उसके कई सामान्यीकरण (उदाहरण के लिए, डी की सीमा पर लंबाई माप द्वारा क्षेत्र माप को प्रतिस्थापित करें) हाल के वर्षों में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण की उलटा समस्याओं, चिपचिपा तरल पदार्थ के हेले-शॉ प्रवाह, और पूरी तरह गणितीय आइसोपेरिमेट्रिक जैसे विभिन्न कनेक्शनों में सामना किया गया है। समस्याएं, और उनमें रुचि लगातार बढ़ रही है। वे 2003 में सांता बारबरा में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में एक अंतरराष्ट्रीय सम्मेलन का विषय थे और उस तिथि के रूप में कला की स्थिति उस सम्मेलन की कार्यवाही में देखी जा सकती है, जिसे बिरखौसर वेरलाग द्वारा प्रकाशित किया गया था।

संदर्भ

• Ebenfelt, Peter (2005). Quadrature Domains and Their Applications: The Harold S. Shapiro Anniversary Volume. Birkhäuser. ISBN 3-7643-7145-5. Retrieved 2007-04-11.
• Aharonov, Dov; Shapiro, Harold S. (1976). "Domains on which analytic functions satisfy quadrature identities". Journal d'Analyse Mathématique. 30: 39–73. doi:10.1007/BF02786704.