चेबीशेव नोड्स

चेबीशेव नोड्स एक इकाई अर्धवृत्त पर n समान दूरी वाले बिंदुओं के x निर्देशांक के बराबर हैं (यहां, n=10)।

संख्यात्मक विश्लेषण में, चेबीशेव नोड्स विशिष्ट वास्तविक संख्या बीजगणितीय संख्याएं हैं, अर्थात् पहली तरह के चेबीशेव बहुपद की जड़ें। इन्हें अक्सर बहुपद प्रक्षेप में नोड्स के रूप में उपयोग किया जाता है क्योंकि परिणामी प्रक्षेप बहुपद रंज की घटना के प्रभाव को कम करता है।

परिभाषा

पहली तरह के पहले 50 चेबीशेव बहुपदों के शून्य

किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक n के लिए अंतराल (−1, 1) में 'चेबीशेव नोड्स' हैं

$x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$

ये पहली तरह की डिग्री n के चेबीशेव बहुपद की जड़ें हैं। एक मनमाने अंतराल पर नोड्स के लिए [ए, बी] एक एफ़िन परिवर्तन का उपयोग किया जा सकता है:

$x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$

अनुमान

चेबीशेव नोड्स सन्निकटन सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे बहुपद प्रक्षेप के लिए नोड्स का एक विशेष रूप से अच्छा सेट बनाते हैं। अंतराल पर एक फ़ंक्शन दिया गया है $[-1,+1]$ और $n$ अंक $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ उस अंतराल में, प्रक्षेप बहुपद वह अद्वितीय बहुपद है $P_{n-1}$ अधिकतम डिग्री का $n-1$ जिसका मूल्य है $f(x_{i})$ प्रत्येक बिंदु पर $x_{i}$. पर प्रक्षेप त्रुटि $x$ है

$f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$

कुछ के लिए $\xi$ (x के आधार पर) [−1, 1] में। इसलिए इसे कम करने का प्रयास करना तर्कसंगत है

$\max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.$

यह गुणनफल घात n का एक बहुपद बहुपद है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे किसी भी बहुपद का अधिकतम निरपेक्ष मान (अधिकतम मानक) नीचे से 2 से घिरा है¹⁻ⁿ. यह सीमा स्केल किए गए चेबीशेव बहुपद 2 द्वारा प्राप्त की जाती है¹⁻ⁿटी_n, जो राक्षसी भी हैं। (याद रखें कि |टी_n(एक्स)| ≤ 1 for x ∈ [−1, 1].) इसलिए, जब इंटरपोलेशन नोड्स एक्स_i T की जड़ें हैं_n, त्रुटि संतुष्ट करती है

$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

एक मनमाना अंतराल [ए, बी] के लिए चर का परिवर्तन यह दर्शाता है

$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

संदर्भ

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

अग्रिम पठन

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 503–512, ISBN 0-534-39200-8.