जॉनसन -नेक्विस्ट शोर

ये तीन सर्किट सभी समान हैं: (ए) नॉनज़ेरो तापमान पर एक अवरोधक, जिसमें जॉनसन शोर है;(बी) एक नीरव रोकनेवाला श्रृंखला और समानांतर सर्किट एक शोर-निर्माण वोल्टेज स्रोत (यानी थ्वेनिन समकक्ष सर्किट) के साथ;(सी) एक नीरव प्रतिरोध श्रृंखला और एक शोर-निर्माण वर्तमान स्रोत (यानी नॉर्टन समकक्ष सर्किट) के साथ समानांतर सर्किट।

जॉनसन -नेक्विस्ट शोर (थर्मल शोर, जॉनसन शोर, या Nyquist शोर) संतुलन में एक विद्युत कंडक्टर के अंदर चार्ज वाहक (आमतौर पर इलेक्ट्रॉनों) की थर्मल ऊर्जा द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रॉनिक शोर है, जो किसी भी लागू वोल्टेज की परवाह किए बिना होता है। थर्मल शोर सभी विद्युत सर्किटों में मौजूद है, और संवेदनशील इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में (जैसे रेडियो रिसीवर) कमजोर संकेतों को डूब सकते हैं, और विद्युत मापने वाले उपकरणों की संवेदनशीलता पर सीमित कारक हो सकता है। तापमान के साथ थर्मल शोर बढ़ता है। कुछ संवेदनशील इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जैसे कि रेडियो टेलीस्कोप रिसीवर को उनके सर्किट में थर्मल शोर को कम करने के लिए क्रायोजेनिक तापमान पर ठंडा किया जाता है। इस शोर के सामान्य, सांख्यिकीय भौतिक व्युत्पत्ति को उतार-चढ़ाव-विघटन प्रमेय कहा जाता है, जहां सामान्यीकृत विद्युत प्रतिबाधा या सामान्यीकृत विद्युत संवेदनशीलता का उपयोग माध्यम को चिह्नित करने के लिए किया जाता है।

एक आदर्श अवरोधक में थर्मल शोर लगभग सफेद शोर होता है, जिसका अर्थ है कि पावर स्पेक्ट्रल घनत्व आवृत्ति स्पेक्ट्रम में लगभग स्थिर होता है, लेकिन कमरे के तापमान के लिए अत्यधिक उच्च आवृत्तियों (Terahertz (यूनिट)) पर शून्य तक क्षय होता है। जब एक परिमित बैंडविड्थ तक सीमित होता है, तो थर्मल शोर में लगभग सामान्य वितरण होता है।

इतिहास

इस प्रकार के शोर की खोज की गई थी और पहली बार जॉन बर्ट्रेंड जॉनसन द्वारा मापा गया था। जॉन बी। जॉनसन 1926 में बेल लैब्स में। उन्होंने बेल लैब्स में हैरी न्यक्विस्ट को भी अपने निष्कर्षों का वर्णन किया, जो परिणामों को समझाने में सक्षम थे।

व्युत्पत्ति

जैसा कि Nyquist ने अपने 1928 के पेपर में कहा था, विद्युत दोलन के सामान्य तरीकों में ऊर्जा का योग शोर के आयाम को निर्धारित करेगा।Nyquist ने बोल्ट्जमैन और मैक्सवेल के सुसंगत प्रमेय का इस्तेमाल किया।कॉन्सेप्ट इक्विपार्टियन प्रमेय#संभावित ऊर्जा और सुसंगत कानून के हार्मोनिक ऑसिलेटर का उपयोग करना,

$\left\langle H\right\rangle =k_{\rm {B}}T$ कहाँ पे $\left\langle H\right\rangle$ (w/hz) में शोर शक्ति घनत्व है, $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिर है और $T$ तापमान है।बैंडविड्थ द्वारा समीकरण को गुणा करने से शोर शक्ति के रूप में परिणाम मिलता है।

$N=k_{\rm {B}}T\Delta f$ जहां n शोर शक्ति है और ΔF बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) है।

शोर वोल्टेज और शक्ति

थर्मल शोर शॉट शोर से अलग है, जिसमें अतिरिक्त वर्तमान उतार -चढ़ाव होते हैं जो एक वोल्टेज लागू होने पर होते हैं और एक मैक्रोस्कोपिक वर्तमान प्रवाह शुरू होता है।सामान्य मामले के लिए, उपरोक्त परिभाषा किसी भी प्रकार के संचालन के माध्यम से वाहक को चार्ज करने के लिए लागू होती है, ट्रांसमिशन माध्यम (जैसे कि एक इलेक्ट्रोलाइट में आयनों), न कि केवल प्रतिरोधों में।यह एक आदर्श शोर मुक्त रोकनेवाला के साथ श्रृंखला में गैर-आदर्श रोकनेवाला के शोर का प्रतिनिधित्व करने वाले वोल्टेज स्रोत द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है।

बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के प्रति हर्ट्ज प्रति एकतरफा वर्णक्रमीय घनत्व, या वोल्टेज विचरण (मतलब वर्ग), द्वारा दिया गया है

${\overline {v_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR$

जहां के_B क्या बोल्ट्जमैन के प्रति जूल्स प्रति केल्विन में स्थिरांक है, टी केल्विन्स में प्रतिरोधक का निरपेक्ष तापमान है, और आर ओम (ω) में रोकनेवाला मूल्य है। कमरे के तापमान पर त्वरित गणना के लिए इस समीकरण का उपयोग करना:

${\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.$

उदाहरण के लिए, 300 & nbsp; k के तापमान पर एक 1 & nbsp; k resession रोकनेवाला है

${\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1000~\Omega }}=4.07\cdot 10^{-9}~\mathrm {V} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.$

किसी दिए गए बैंडविड्थ के लिए, वोल्टेज का रूट मीन स्क्वायर (आरएमएस), $v_{n}$, द्वारा दिया गया है

$v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}$

जहां ΔF हर्ट्ज में बैंडविड्थ है, जिस पर शोर मापा जाता है।कमरे के तापमान पर 1 & nbsp; kω प्रतिरोधक और 10 & nbsp; kHz बैंडविड्थ, RMS शोर वोल्टेज 400 & nbsp; nv है। याद करने के लिए अंगूठे का एक उपयोगी नियम यह है कि 50 & nbsp; 1 पर 1 & nbsp; Hz बैंडविड्थ 1 & nbsp; कमरे के तापमान पर nv शोर के अनुरूप है।

एक शॉर्ट सर्किट में एक अवरोधक एक शोर शक्ति को नष्ट कर देता है

$P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.$

रोकनेवाला पर उत्पन्न शोर शेष सर्किट में स्थानांतरित कर सकता है;अधिकतम शोर शक्ति हस्तांतरण प्रतिबाधा मिलान के साथ होता है जब शेष सर्किट के thévenin समकक्ष प्रतिरोध शोर-जनरेटिंग प्रतिरोध के बराबर होता है।इस मामले में दो भाग लेने वाले प्रतिरोधों में से प्रत्येक में स्वयं और दूसरे अवरोधक दोनों में शोर को नष्ट कर देता है।चूंकि स्रोत वोल्टेज का केवल आधा हिस्सा इनमें से किसी एक प्रतिरोध में गिरता है, जिसके परिणामस्वरूप शोर शक्ति दी जाती है

$P=k_{\text{B}}\,T\Delta f$

जहां पी वाट्स में थर्मल शोर शक्ति है।ध्यान दें कि यह शोर-जनरेटिंग प्रतिरोध से स्वतंत्र है।

शोर वर्तमान

शोर स्रोत को भी नॉर्टन के समकक्ष को रोककर रोकनेवाला के साथ समानांतर में एक वर्तमान स्रोत द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है जो केवल आर द्वारा विभाजित करने के लिए मेल खाती है। यह वर्तमान स्रोत के मूल माध्य वर्ग मान देता है:

$i_{n}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.$

डेसिबल में शोर शक्ति

सिग्नल पावर को अक्सर डीबीएम (1 मिलीवाट के सापेक्ष डेसीबल) में मापा जाता है।ऊपर के समीकरण से, कमरे के तापमान पर एक अवरोधक में शोर शक्ति, डीबीएम में, तब है:

$P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\Delta f/1\,{\textrm {mW}})\ {\textrm {dBm}}.$

कमरे के तापमान (300 K) पर यह लगभग है

$P_{\mathrm {dBm} }=-173.8\ {\textrm {dBm}}+10\ \log _{10}(\Delta f{\text{ in Hz}})\ {\textrm {dB}}.$

इस समीकरण का उपयोग करना, विभिन्न बैंडविड्थ्स के लिए शोर शक्ति की गणना करना सरल है:

Bandwidth $(\Delta f)$	Thermal noise power at 300 K (dBm)	Notes
1 Hz	−174
10 Hz	−164
100 Hz	−154
1 kHz	−144
10 kHz	−134	FM channel of 2-way radio
100 kHz	−124
180 kHz	−121.45	One LTE resource block
200 kHz	−121	GSM channel
1 MHz	−114	Bluetooth channel
2 MHz	−111	Commercial GPS channel
3.84 MHz	−108	UMTS channel
6 MHz	−106	Analog television channel
20 MHz	−101	WLAN 802.11 channel
40 MHz	−98	WLAN 802.11n 40 MHz channel
80 MHz	−95	WLAN 802.11ac 80 MHz channel
160 MHz	−92	WLAN 802.11ac 160 MHz channel
1 GHz	−84	UWB channel

कैपेसिटर पर थर्मल शोर

आदर्श कैपेसिटर, दोषरहित उपकरणों के रूप में, थर्मल शोर नहीं होता है, लेकिन जैसा कि आमतौर पर आरसी सर्किट में प्रतिरोधकों के साथ उपयोग किया जाता है, संयोजन को केटीसी शोर कहा जाता है।एक आरसी सर्किट का शोर बैंडविड्थ & डेल्टा है; f = 1/(4RC)। जब इसे थर्मल शोर समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम में एक असामान्य रूप से सरल रूप होता है क्योंकि विद्युत प्रतिरोध (आर) का मूल्य समीकरण से बाहर हो जाता है।ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च आर बैंडविड्थ को उतना ही कम कर देता है जितना कि शोर को बढ़ाता है।

ऐसे फिल्टर में उत्पन्न माध्य-वर्ग और आरएमएस शोर वोल्टेज हैं:

${\overline {v_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}=k_{\text{B}}T/C$

$v_{n}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.$

शोर चार्ज वोल्टेज का समाई समय है:

$Q_{n}=Cv_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$

${\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{\overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{\text{B}}T/C=k_{\text{B}}TC$

यह चार्ज शोर KTC शोर शब्द का मूल है।

हालांकि रोकनेवाला के मूल्य से स्वतंत्र, KTC शोर का 100% अवरोधक में उत्पन्न होता है। इसलिए, यदि रोकनेवाला और संधारित्र अलग -अलग तापमान पर हैं, तो अकेले प्रतिरोधक के तापमान का उपयोग उपरोक्त गणना में किया जाना चाहिए।

एक चरम मामला शून्य बैंडविड्थ सीमा है जिसे 'रीसेट शोर' कहा जाता है जिसे एक आदर्श स्विच खोलकर संधारित्र पर छोड़ दिया जाता है। प्रतिरोध अनंत है, फिर भी सूत्र अभी भी लागू होता है; हालांकि, अब आरएमएस की व्याख्या समय औसत के रूप में नहीं की जानी चाहिए, लेकिन कई ऐसे रीसेट घटनाओं पर औसत के रूप में, क्योंकि वोल्टेज तब स्थिर होता है जब बैंडविड्थ शून्य होता है। इस अर्थ में, एक आरसी सर्किट के जॉनसन शोर को अंतर्निहित देखा जा सकता है, संधारित्र पर इलेक्ट्रॉनों की संख्या के थर्मोडायनामिक वितरण का एक प्रभाव, यहां तक ​​कि एक अवरोधक की भागीदारी के बिना भी।

शोर संधारित्र के कारण नहीं होता है, बल्कि संधारित्र पर चार्ज की मात्रा के थर्मोडायनामिक उतार -चढ़ाव द्वारा होता है। एक बार जब संधारित्र एक संवाहक सर्किट से काट दिया जाता है, तो थर्मोडायनामिक उतार -चढ़ाव एक यादृच्छिक मूल्य पर जमे हुए होते हैं, जैसा कि ऊपर दिए गए मानक विचलन के साथ। कैपेसिटिव सेंसर का रीसेट शोर अक्सर एक सीमित शोर स्रोत होता है, उदाहरण के लिए छवि सेंसर में।

थर्मल संतुलन में किसी भी प्रणाली में राज्य के चर होते हैं, जो कि केटी/2 प्रति डिग्री की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की औसत ऊर्जा के साथ होता है। संधारित्र पर ऊर्जा के लिए सूत्र का उपयोग करना (e & nbsp; = ½cv² ), एक संधारित्र पर शोर ऊर्जा को भी ½C (kt/c) = kt/2 के रूप में देखा जा सकता है।एक संधारित्र पर थर्मल शोर प्रतिरोध के विचार के बिना, इस संबंध से प्राप्त किया जा सकता है।

Noise of capacitors at 300 K

Capacitance	${\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}$	${\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$	Electrons
1 fF	2 mV	2 aC	12.5 e−
10 fF	640 µV	6.4 aC	40 e−
100 fF	200 µV	20 aC	125 e−
1 pF	64 µV	64 aC	400 e−
10 pF	20 µV	200 aC	1250 e−
100 pF	6.4 µV	640 aC	4000 e−
1 nF	2 µV	2 fC	12500 e−

== सामान्यीकृत रूप == $4k_{\text{B}}TR$ एच> वोल्टेज शोर ऊपर वर्णित कम आवृत्तियों के लिए विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक घटक के लिए एक विशेष मामला है। सामान्य तौर पर, थर्मल इलेक्ट्रिकल शोर कई अधिक सामान्यीकृत विद्युत मामलों में प्रतिरोधक प्रतिक्रिया से संबंधित है, उतार-चढ़ाव-विघटन प्रमेय के परिणामस्वरूप।विभिन्न प्रकार के सामान्यीकरण के नीचे नोट किया गया है। ये सभी सामान्यीकरण एक सामान्य सीमा साझा करते हैं, कि वे केवल उन मामलों में लागू होते हैं जहां विचाराधीन विद्युत घटक विशुद्ध रूप से निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) और रैखिक है।

प्रतिक्रियाशील प्रतिबाधा

Nyquist के मूल पेपर ने आंशिक रूप से विद्युत प्रतिक्रिया प्रतिक्रिया वाले घटकों के लिए सामान्यीकृत शोर भी प्रदान किया, उदाहरण के लिए, स्रोत जिनमें कैपेसिटर या इंडक्टर्स होते हैं।इस तरह के एक घटक को एक आवृत्ति-निर्भर जटिल विद्युत प्रतिबाधा द्वारा वर्णित किया जा सकता है $Z(f)$।श्रृंखला शोर वोल्टेज के पावर स्पेक्ट्रल घनत्व का सूत्र है

$S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].$

कार्यक्रम $\eta (f)$ बहुत उच्च आवृत्तियों को छोड़कर, या पूर्ण शून्य के पास बस 1 के बराबर है (नीचे देखें)।

प्रतिबाधा का वास्तविक हिस्सा, $\operatorname {Re} [Z(f)]$, सामान्य आवृत्ति पर निर्भर है और इसलिए जॉनसन -नेक्विस्ट शोर सफेद शोर नहीं है। RMS शोर वोल्टेज आवृत्तियों की एक अवधि पर $f_{1}$ प्रति $f_{2}$ पावर स्पेक्ट्रल घनत्व के एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है:

${\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}$।

वैकल्पिक रूप से, एक समानांतर शोर करंट का उपयोग जॉनसन शोर का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, इसकी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है

$S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].$

कहाँ पे $Y(f)=1/Z(f)$ विद्युत प्रवेश है;ध्यान दें कि $\operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}$

उच्च आवृत्तियों या कम तापमान पर क्वांटम प्रभाव

Nyquist ने यह भी बताया कि क्वांटम प्रभाव बहुत अधिक आवृत्तियों या पूर्ण शून्य के पास बहुत कम तापमान के लिए होता है।कार्यक्रम $\eta (f)$ सामान्य रूप से दिया गया है

$\eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}},$

कहाँ पे $h$ प्लैंक का स्थिरांक है और $\eta (f)$ एक गुणा कारक है।

बहुत अधिक आवृत्तियों पर $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$, कार्यक्रम $\eta (f)$ तेजी से शून्य में कमी करना शुरू कर देता है।कमरे के तापमान पर यह संक्रमण टेराहर्ट्ज़ में होता है, जो पारंपरिक इलेक्ट्रॉनिक्स की क्षमताओं से परे है, और इसलिए यह सेट करने के लिए मान्य है $\eta (f)=1$ पारंपरिक इलेक्ट्रॉनिक्स काम के लिए।

प्लैंक के नियम से संबंध

Nyquist का सूत्र अनिवार्य रूप से एक ही आयाम में एक ब्लैकबॉडी के विद्युत चुम्बकीय विकिरण के लिए 1901 में प्लैंक द्वारा प्राप्त किया गया है, जो कि प्लैंक के नियम का एक आयामी संस्करण है। ब्लैकबॉडी विकिरण के प्लैंक के नियम का एक आयामी संस्करण है। दूसरे शब्दों में, एक गर्म अवरोधक एक ट्रांसमिशन लाइन पर विद्युत चुम्बकीय तरंगों का निर्माण करेगा जैसे कि एक गर्म वस्तु मुक्त स्थान में विद्युत चुम्बकीय तरंगों का निर्माण करेगा।

1946 में, रॉबर्ट एच। डिके ने रिश्ते पर विस्तार से बताया, और आगे इसे एंटेना के गुणों से जोड़ा, विशेष रूप से यह तथ्य कि सभी अलग -अलग दिशाओं में औसत एंटीना एपर्चर से बड़ा नहीं हो सकता है $\lambda ^{2}/(4\pi )$, जहां λ तरंग दैर्ध्य है।यह 3 डी बनाम 1 डी प्लैंक के नियम की अलग -अलग आवृत्ति निर्भरता से आता है।

मल्टीपोर्ट इलेक्ट्रिकल नेटवर्क

रिचर्ड क्यू। Twiss ने Nyquist के सूत्रों को मल्टी-पोर्ट (सर्किट थ्योरी) पैसिव इलेक्ट्रिकल नेटवर्क के लिए विस्तारित किया, जिसमें गैर-रिमिप्रोकल डिवाइस जैसे सर्कुलेटर और आइसोलेटर (माइक्रोवेव) शामिल हैं। थर्मल शोर प्रत्येक बंदरगाह पर दिखाई देता है, और प्रत्येक बंदरगाह के साथ श्रृंखला में यादृच्छिक श्रृंखला वोल्टेज स्रोतों के रूप में वर्णित किया जा सकता है।विभिन्न बंदरगाहों पर यादृच्छिक वोल्टेज को सहसंबद्ध किया जा सकता है, और उनके आयाम और सहसंबंधों को पूरी तरह से क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व कार्यों के एक सेट द्वारा वर्णित किया जाता है, जो विभिन्न शोर वोल्टेज से संबंधित हैं,

$S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})$

जहां $Z_{mn}$ प्रतिबाधा मैट्रिक्स के तत्व हैं $\mathbf {Z}$। फिर से, शोर का एक वैकल्पिक विवरण प्रत्येक पोर्ट पर लागू समानांतर वर्तमान स्रोतों के संदर्भ में है।उनका क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व द्वारा दिया गया है

$S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})$

कहाँ पे $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ प्रवेश पैरामीटर है।

निरंतर इलेक्ट्रोडायनामिक मीडिया

Nyquist शोर का पूर्ण सामान्यीकरण उतार -चढ़ाव वाले इलेक्ट्रोडायनामिक्स में पाया जाता है, जो एक सतत प्रतिक्रिया फ़ंक्शन जैसे ढांकता हुआ पारगम्यता या चुंबकीय पारगम्यता में विघटनकारी प्रतिक्रिया के साथ निरंतर मीडिया के अंदर शोर वर्तमान घनत्व का वर्णन करता है। उतार-चढ़ाव इलेक्ट्रोडायनामिक्स के समीकरण जॉनसन-नेक्विस्ट शोर और फ्री-स्पेस ब्लैकबॉडी विकिरण दोनों का वर्णन करने के लिए एक सामान्य ढांचा प्रदान करते हैं।

यह भी देखें

• उतार-चढ़ाव-दुर्व्यवहार प्रमेय
• शॉट शोर
• 1/एफ शोर
• लैंग्विन समीकरण
• थर्मल पर उठो

संदर्भ

 This article incorporates public domain material from Federal Standard 1037C. General Services Administration. (in support of MIL-STD-188).

बाहरी संबंध

• Amplifier noise in RF systems
• Thermal noise (undergraduate) with detailed math

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