टचर्ड बहुपद

For a different family of polynomials Q_n occasionally called Touchard polynomials, see Bateman polynomials.

Not to be confused with Bell polynomials.

टचर्ड बहुपद, द्वारा अध्ययन किया गया Jacques Touchard (1939), जिसे घातीय बहुपद या बेल बहुपद भी कहा जाता है, में द्विपद प्रकार का एक बहुपद अनुक्रम शामिल होता है जिसे परिभाषित किया गया है

$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},$

कहाँ $S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}$दूसरी तरह की एक स्टर्लिंग संख्या है, यानी, आकार के एक सेट के विभाजन की संख्या n में k असंबद्ध गैर-खाली सबसेट है।

गुण

बुनियादी गुण

nth Touchard बहुपद के 1 का मान nth बेल नंबर है, अर्थात, आकार n के सेट के विभाजन की संख्या:

$T_{n}(1)=B_{n}.$

यदि एक्स अपेक्षित मूल्य λ के साथ पॉसॉन वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर है, तो इसका nवां पल ई (एक्स) है^{एन</सुप>) = टी_n(λ), परिभाषा के लिए अग्रणी:}

$T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.$

इस तथ्य का उपयोग करके कोई भी शीघ्रता से सिद्ध कर सकता है कि यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का है, अर्थात, यह सर्वसमिकाओं के अनुक्रम को संतुष्ट करता है:

$T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).$

Touchard बहुपद, प्रत्येक बहुपद में x बराबर 1 के गुणांक के साथ द्विपद प्रकार के एकमात्र बहुपद अनुक्रम का गठन करते हैं।

टौचर्ड बहुपद रोड्रिग्स जैसे सूत्र को संतुष्ट करते हैं:

$T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.$

Touchard बहुपद पुनरावर्तन संबंध को संतुष्ट करते हैं

$T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)$

और

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).$

मामले x = 1 में, यह बेल नंबरों के लिए पुनरावृत्ति सूत्र को कम कर देता है।

उम्ब्रल कैलकुलस टी का उपयोग करनाⁿ(x)=T_n(एक्स), ये सूत्र बन जाते हैं:

$T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},$

$T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.$

Touchard बहुपदों का जनक फलन है

$\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},$

जो दूसरी तरह के #जेनरेटिंग फंक्शंस की स्टर्लिंग संख्या से संबंधित है।

Touchard बहुपदों का समोच्च अभिन्न प्रतिनिधित्व है:

$T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.$

शून्य

Touchard बहुपदों के सभी शून्य वास्तविक और ऋणात्मक होते हैं। यह तथ्य 1967 में एल. एच. हार्पर द्वारा देखा गया था। सबसे बाएँ शून्य का निरपेक्ष मान ऊपर से घिरा है

${\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},$

हालांकि यह अनुमान लगाया गया है कि बाईं ओर का शून्य सूचकांक n के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।

महलर माप $M(T_{n})$Touchard बहुपदों का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है:

${\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},$

कहाँ $\Omega _{n}$ और $K_{n}$ अधिकतम दो k सूचकांकों में से सबसे छोटे हैं जैसे कि $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}$ और $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$ क्रमशः अधिकतम हैं।

सामान्यीकरण

• पूर्ण बेल बहुपद $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ Touchard बहुपद के एक बहुभिन्नरूपी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है $T_{n}(x)$, तब से $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).$
• टचर्ड बहुपदों (और इस प्रकार बेल संख्या) को सामान्यीकृत किया जा सकता है, उपरोक्त इंटीग्रल के वास्तविक भाग का उपयोग करके, गैर-पूर्णांक क्रम में:

  $T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.$

यह भी देखें

• बेल बहुपद

संदर्भ

• Touchard, Jacques (1939), "Sur les cycles des substitutions", Acta Mathematica, 70 (1): 243–297, doi:10.1007/BF02547349, ISSN 0001-5962, MR 1555449