टोपोलॉजी की शब्दावली

यह टोपोलॉजी नामक गणित की शाखा में प्रयुक्त कुछ शब्दों की शब्दावली है। हालांकि टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों के बीच कोई पूर्ण अंतर नहीं है, यहां सामान्य टोपोलॉजी पर ध्यान केंद्रित किया गया है। निम्नलिखित परिभाषाएँ बीजगणितीय टोपोलॉजी, डिफरेंशियल टोपोलॉजी और जियोमेट्रिक टोपोलॉजी के लिए भी मौलिक हैं।

जब तक अन्यथा न कहा जाए, इस शब्दकोष में सभी रिक्त स्थान स्थलाकृतिक स्थान माने जाते हैं।

ए

बिल्कुल बंद

एच-बंद देखें

पहुँच योग्य

'T1 स्पेस|' देखें$T_{1}$.

संचय बिंदु: सीमा बिंदु देखें।

एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी

एक अंतरिक्ष एक्स की टोपोलॉजी एक एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है (या सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होती है) यदि एक्स में खुले सेटों के मनमाना चौराहे खुले हैं, या समकक्ष हैं, अगर बंद सेटों के मनमाना संघ बंद हैं , या, फिर से समतुल्य, यदि खुले सेट पॉसेट के ऊपरी सेट हैं।

लगभग असतत: यदि प्रत्येक खुला सेट बंद है (इसलिए क्लोपेन) तो एक स्थान लगभग असतत है। लगभग असतत रिक्त स्थान सटीक रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी स्थान हैं।

α-बंद, α-खुला

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक उपसमुच्चय α-खुला है अगर $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$, और ऐसे सेट का पूरक α-बंद है।

अप्रोच स्पेस

एक एप्रोच स्पेस पॉइंट-टू-पॉइंट के बजाय पॉइंट-टू-सेट दूरी के आधार पर मीट्रिक स्पेस का सामान्यीकरण है।

बी

बायर स्पेस: इसके दो अलग-अलग सामान्य अर्थ हैं:

# एक स्थान एक बेयर स्थान है यदि घने खुले सेटों के किसी भी गणनीय संग्रह का चौराहा घना है; बेयर स्पेस देखें।

1. बेयर स्थान बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक सभी कार्यों का सेट है; बेयर स्पेस (सेट थ्योरी) देखें।

बेस (टोपोलॉजी): खुले सेट का एक संग्रह 'बी' एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) (या आधार) है $\tau$ अगर हर ओपन सेट हो जाता है $\tau$ में सेट का एक संघ है $B$. टोपोलॉजी $\tau$ सबसे छोटी टोपोलॉजी है $X$ युक्त $B$ और द्वारा उत्पन्न बताया गया है $B$.

आधार (टोपोलॉजी): आधार (टोपोलॉजी) देखें।

β-ओपन

सेमी-प्रीओपन देखें।

बी-ओपन, बी-क्लोज्ड: एक सबसेट $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ बी-ओपन है अगर $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$. बी-ओपन सेट का पूरक बी-बंद है। बोरेल बीजगणित: एक स्थलीय स्थान पर बोरेल बीजगणित $(X,\tau )$ सबसे छोटा सिग्मा-बीजगणित है|$\sigma$-बीजगणित जिसमें सभी खुले सेट होते हैं। यह सभी का प्रतिच्छेदन करके प्राप्त किया जाता है $\sigma$-अलजेब्रा है $X$ युक्त $\tau$.

बोरेल सेट: बोरेल सेट बोरेल बीजगणित का एक तत्व है।

बाउंड्री (टोपोलॉजी): सेट की सीमा (टोपोलॉजी) (या फ्रंटियर) सेट का क्लोजर माइनस उसका इंटीरियर है। समतुल्य रूप से, एक सेट की सीमा उसके पूरक के बंद होने के साथ उसके बंद होने का प्रतिच्छेदन है। एक सेट की सीमा $A$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\partial A$ या $bd$ $A$.

बाउंडेड सेट

मेट्रिक स्पेस में एक सेट बाउंडेड सेट होता है, यदि उसमें परिमित सेट व्यास होता है। समतुल्य रूप से, एक सेट घिरा हुआ है यदि यह परिमित त्रिज्या की कुछ खुली गेंद में समाहित है। एक मीट्रिक स्थान में मान लेने वाला एक फ़ंक्शन (गणित) एक बाउंडेड फ़ंक्शन है यदि इसकी छवि (फ़ंक्शन) एक बाउंडेड सेट है।

सी

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी: टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी सिद्धांत श्रेणी में ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में टोपोलॉजिकल स्पेस और मॉर्फिज्म के रूप में निरंतर मानचित्र हैं।

कॉची सीक्वेंस: ए सीक्वेंस {x_n} एक मीट्रिक स्थान में (M, d) एक कॉशी अनुक्रम है, यदि प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या r के लिए, एक पूर्णांक N है जैसे कि सभी पूर्णांक m, n> N के लिए, हमारे पास d(x) है_m, एक्स_n) <आर।

क्लोपेन सेट

एक सेट क्लोपेन सेट है यदि यह खुला और बंद दोनों है।

बंद गेंद: यदि (एम, डी) एक मीट्रिक स्थान है, तो एक बंद गेंद डी (एक्स; आर) के रूप का एक सेट है: = {एम में एम: डी (एक्स, वाई) ≤ आर}, जहां एक्स है एम और आर में एक सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्या है, गेंद की 'त्रिज्या'। r त्रिज्या की एक बंद गेंद एक 'बंद r-गेंद' होती है। प्रत्येक बंद गेंद एम द्वारा डी पर प्रेरित टोपोलॉजी में एक बंद सेट है। ध्यान दें कि बंद गेंद डी (एक्स; आर) खुली गेंद बी (एक्स; आर) के बंद होने (टोपोलॉजी) के बराबर नहीं हो सकती है।

बंद सेट: एक सेट बंद सेट है यदि इसका पूरक टोपोलॉजी का सदस्य है।

बंद समारोह: प्रत्येक बंद सेट की छवि (गणित) बंद होने पर एक स्थान से दूसरे स्थान पर एक फ़ंक्शन बंद हो जाता है।

क्लोजर (टोपोलॉजी): सेट का क्लोजर (टोपोलॉजी) सबसे छोटा बंद सेट होता है जिसमें मूल सेट होता है। यह उन सभी बंद सेटों के प्रतिच्छेदन के बराबर है जिनमें यह शामिल है। सेट S के बंद होने का एक तत्व S का 'बंद होने का बिंदु' है।

क्लोजर ऑपरेटर: 'कुराटोस्की क्लोजर एक्सिओम्स' देखें।

मोटे टोपोलॉजी: यदि X एक समुच्चय है, और यदि T₁ और टी₂ एक्स पर टोपोलॉजी हैं, फिर टी₁ टी की तुलना में मोटा टोपोलॉजी (या छोटा, कमजोर) है₂ अगर टी₁ टी में निहित है₂. खबरदार, कुछ लेखक, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, मजबूत शब्द का उपयोग करते हैं।

Comeagre

स्पेस X का एक उपसमुच्चय A कॉमाग्रे (कॉमेजर) है यदि इसका पूरक (सेट थ्योरी) X\A अल्प सेट है। अवशिष्ट भी कहते हैं।

कॉम्पैक्ट स्पेस: एक स्पेस कॉम्पैक्ट स्पेस होता है अगर हर खुले कवर में एक परिमित सेट सबकवर होता है। प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्पेस लिंडेलोफ और पैराकॉम्पैक्ट है। इसलिए, हर कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस सामान्य है। क्वासीकॉम्पैक्ट भी देखें।

कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी: दो स्पेस X और Y के बीच सभी निरंतर मानचित्रों के सेट C(X, Y) पर कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: X का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K और Y का एक खुला उपसमुच्चय U दिया गया है, चलो V(K, ' 'U) C(X, Y) में सभी मैप्स f के सेट को दर्शाता है जैसे कि f(K) है 'यू' में निहित है। फिर ऐसे सभी वी(के, यू) का संग्रह कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के लिए एक सबबेस है।

पूर्ण स्थान: यदि प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है तो एक मीट्रिक स्थान पूर्ण स्थान होता है।

पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल/पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल

पूरा स्थान देखें।

पूरी तरह से सामान्य: एक स्थान पूरी तरह से सामान्य है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग सेटों में आस-पड़ोस के अलग-अलग सेट हैं।

पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ: एक पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्पेस (या टी5 स्पेस|टी₅स्पेस) पूरी तरह से सामान्य टी है₁ अंतरिक्ष। (एक पूरी तरह से सामान्य स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है₁, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) हर पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्थान सामान्य हौसडॉर्फ है।

पूरी तरह से नियमित स्थान

एक स्थान पूरी तरह से नियमित स्थान है यदि, जब भी C एक बंद सेट है और x एक बिंदु है जो C में नहीं है, तो C और {x} कार्यात्मक रूप से अलग हो जाते हैं।

पूरी तरह से टी3 स्पेस|पूरी तरह से टी₃

टाइकोनॉफ़ स्पेस देखें।

घटक

कनेक्टेड स्पेस/पाथ-कनेक्टेड कंपोनेंट देखें।

कनेक्टेड (टोपोलॉजी)

एक स्पेस कनेक्टेड (टोपोलॉजी) है, अगर यह डिसजॉइंट सेट के जोड़े के नॉन-रिक्त खुले सेट का मिलन नहीं है। समतुल्य रूप से, एक स्थान जुड़ा हुआ है यदि केवल क्लोपेन सेट पूरे स्थान और खाली सेट हैं।

कनेक्टेड स्पेस

किसी स्पेस का कनेक्टेड स्पेस एक मैक्सिमम सेट नॉन-रिक्त कनेक्टेड सबस्पेस है। प्रत्येक कनेक्टेड कंपोनेंट बंद है, और स्पेस के कनेक्टेड कंपोनेंट्स का सेट उस स्पेस के सेट का पार्टिशन है।

निरंतरता (टोपोलॉजी)

एक स्थान से दूसरे स्थान पर एक कार्य निरंतरता (टोपोलॉजी) है यदि प्रत्येक खुले सेट की प्राथमिकता खुली है।

कॉन्टिनम (टोपोलॉजी): एक स्पेस को कॉन्टिनम कहा जाता है यदि यह एक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड हौसडॉर्फ स्पेस है।

सिकुड़ा हुआ स्थान: एक स्थान X सिकुड़ा हुआ है यदि X पर पहचान कार्य एक स्थिर मानचित्र के लिए होमोटोपिक है। प्रत्येक अनुबंधित स्थान बस जुड़ा हुआ है।

सहउत्पाद टोपोलॉजी: यदि {X_i} रिक्त स्थान का एक संग्रह है और X {X का (सेट-सैद्धांतिक) असंयुक्त संघ है_i}, फिर कोप्रोडक्ट टोपोलॉजी (या डिसजॉइंट यूनियन टोपोलॉजी, X का टोपोलॉजिकल योग_i) एक्स पर बेहतरीन टोपोलॉजी है जिसके लिए सभी इंजेक्शन मानचित्र निरंतर हैं।

कॉस्मिक स्पेस: कुछ सेपरेबल स्पेस मेट्रिक स्पेस की एक सतत कार्य छवि (गणित)। गणनीय श्रृंखला की स्थिति: एक स्थान X गणनीय श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है यदि गैर-खाली, जोड़े के अनुसार अलग-अलग खुले सेटों का प्रत्येक परिवार गणनीय है।

गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट

यदि प्रत्येक गणनीय खुले कवर में एक परिमित सेट सबकवर होता है, तो एक स्थान गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट होता है। प्रत्येक गणना योग्य कॉम्पैक्ट स्पेस स्यूडोकॉम्पैक्ट है और कमजोर रूप से काउंटेबल कॉम्पैक्ट है।

गणनीय रूप से स्थानीय रूप से परिमित

एक स्थान X के सबसेट का एक संग्रह 'गणनीय रूप से स्थानीय रूप से परिमित' (या 'σ-स्थानीय रूप से परिमित') है यदि यह X के सबसेट के स्थानीय रूप से परिमित संग्रह के गणनीय संग्रह का मिलन है।

आवरण (टोपोलॉजी): किसी स्थान के सबसेट का संग्रह उस स्थान का एक आवरण (या 'कवरिंग') है यदि संग्रह का मिलन संपूर्ण स्थान है।

कवरिंग: 'कवर' देखें।

कट बिंदु

यदि X एक से अधिक बिंदु के साथ एक जुड़ा हुआ स्थान है, तो X का एक बिंदु x एक कट बिंदु है यदि उप-स्थान X - {x} डिस्कनेक्ट हो गया है।

डी

δ-क्लस्टर बिंदु, δ-बंद, δ-खुला: एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक बिंदु x एक सबसेट A का δ-क्लस्टर बिंदु है यदि $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$ एक्स में एक्स के हर खुले पड़ोस यू के लिए। सबसेट ए δ-बंद है अगर यह अपने δ-क्लस्टर बिंदुओं के सेट के बराबर है, और δ-खुला है अगर इसका पूरक δ-बंद है। सघन समुच्चय: एक समुच्चय सघन होता है यदि इसमें प्रत्येक गैर-खाली खुले सेट के साथ गैर-रिक्त चौराहा होता है। समान रूप से, एक सेट सघन होता है यदि उसका बंद होना संपूर्ण स्थान है।

सघन-स्वयं सेट: एक सेट सघन-स्वयं है यदि इसमें कोई पृथक बिंदु नहीं है।

घनत्व

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के घने उपसमुच्चय की न्यूनतम कार्डिनैलिटी। घनत्व का एक सेट ℵ₀ एक वियोज्य स्थान है।

व्युत्पन्न समुच्चय: यदि X एक स्थान है और S, X का एक उपसमुच्चय है, तो X में S का व्युत्पन्न समुच्चय, X में S के सीमा बिंदुओं का समुच्चय है।

विकासशील स्थान: विकास (टोपोलॉजी) के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस।

विकास (टोपोलॉजी)

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले कवर का एक गणनीय सेट संग्रह, जैसे कि किसी भी बंद सेट सी और इसके पूरक में किसी भी बिंदु पी के लिए संग्रह में एक कवर मौजूद है जैसे कवर में पी के हर पड़ोस अलग है सी से सेट

व्यास: यदि (M, d) एक मीट्रिक स्थान है और S, M का एक उपसमुच्चय है, तो S का व्यास दूरी d(x, y) का सर्वोच्च है, जहाँ x और y की सीमा S से अधिक है।

असतत मीट्रिक: एक सेट X पर असतत मीट्रिक फ़ंक्शन d : X × X  →  'वास्तविक संख्या' है जैसे कि X में सभी x, y के लिए, d(x, x) = 0 और d(x, y) = 1 यदि x ≠ y. असतत मीट्रिक X पर असतत टोपोलॉजी को प्रेरित करता है।

असतत स्थान: यदि X का प्रत्येक उपसमुच्चय खुला है तो एक स्थान X असतत स्थान है। हम कहते हैं कि X 'असतत टोपोलॉजी' को वहन करता है। असतत टोपोलॉजी: असतत स्थान देखें।

डिसजॉइंट यूनियन टोपोलॉजी

कोप्रोडक्ट टोपोलॉजी देखें।

फैलाव बिंदु: यदि X एक से अधिक बिंदुओं के साथ एक जुड़ा हुआ स्थान है, तो X का एक बिंदु x एक फैलाव बिंदु है यदि उप-स्थान X - { x} वंशानुगत रूप से डिस्कनेक्ट हो गया है (इसके केवल जुड़े घटक एक-बिंदु सेट हैं)।

दूरी: मीट्रिक स्थान देखें।

डन्स हैट (टोपोलॉजी)

ई

प्रतिवेश (टोपोलॉजी): यूनिफ़ॉर्म स्पेस देखें।

बाहरी

एक सेट का बाहरी भाग उसके पूरक का आंतरिक भाग होता है।

एफ

एफ-सिग्मा सेट | एफ_σ सेट: एक एफ-सिग्मा सेट | एफ_σ सेट बंद सेटों का एक गणनीय संघ है।

फ़िल्टर (सेट सिद्धांत): यह भी देखें: टोपोलॉजी में फ़िल्टर। स्पेस एक्स पर एक फिल्टर एक्स के सबसेट का एक गैर-खाली परिवार एफ है, जैसे कि निम्नलिखित स्थितियां हैं:

1. खाली समुच्चय F में नहीं है।
2. F के तत्वों के किसी भी परिमित सेट संख्या का प्रतिच्छेदन फिर से F में है।

# यदि A, F में है और B में A है, तो B, F में है।

अंतिम टोपोलॉजी

कार्यों के एक परिवार के संबंध में एक सेट एक्स पर $X$, X पर बेहतरीन टोपोलॉजी है जो उन कार्यों को निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) बनाती है।

फाइन टोपोलॉजी (संभावित सिद्धांत): यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $\mathbb {R} ^{n}$, सबसे मोटे टोपोलॉजी सभी सबहार्मोनिक कार्यों (समान रूप से सभी सुपरहार्मोनिक कार्यों) को निरंतर बनाते हैं। महीन टोपोलॉजी: यदि X एक सेट है, और यदि T₁ और टी₂ एक्स पर टोपोलॉजी हैं, फिर टी₂ 'टी' की तुलना में महीन टोपोलॉजी (या बड़ा, मजबूत) है₁ अगर टी₂ टी शामिल है₁. खबरदार, कुछ लेखक, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, कमजोर शब्द का उपयोग करते हैं।

अंतिम रूप से उत्पन्न: एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी देखें।

पहली श्रेणी

अल्प सेट देखें।

फर्स्ट-काउंटेबल स्पेस|फर्स्ट-काउंटेबल

एक स्पेस फर्स्ट-काउंटेबल स्पेस है|फर्स्ट-काउंटेबल अगर हर पॉइंट का एक काउंटेबल लोकल बेस होता है।

फ्रेचेट: टी1 स्पेस देखें|टी₁.

फ्रंटियर: सीमा (टोपोलॉजी) देखें।

पूर्ण समुच्चय

जटिल तल का एक कॉम्पैक्ट स्पेस उपसमुच्चय K पूर्ण कहलाता है यदि इसका पूरक (समुच्चय सिद्धांत) जुड़ा हो। उदाहरण के लिए, बंद यूनिट डिस्क भरी हुई है, जबकि यूनिट सर्कल नहीं है।

कार्यात्मक रूप से अलग

दो सेट A और B एक स्थान X में कार्यात्मक रूप से अलग होते हैं यदि कोई निरंतर मानचित्र f है: X  →  [0, 1 ] ऐसे कि f(A) = 0 और f(B) = 1।

जी

जी-डेल्टा सेट|जी_δ सेट

एक जी-डेल्टा सेट | जी_δ सेट या आंतरिक सीमित सेट खुले सेटों का एक गणनीय चौराहा है।

जी_δ स्पेस

एक स्पेस जिसमें हर बंद सेट एक जी है_δ समूह।

सामान्य बिंदु: एक बंद सेट के लिए एक सामान्य बिंदु एक बिंदु है जिसके लिए बंद सेट उस बिंदु वाले सिंगलटन सेट का बंद होना है।

एच

हॉसडॉर्फ स्पेस

ए हौसडॉर्फ स्पेस (या टी2 स्पेस|टी₂अंतरिक्ष) वह है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग पड़ोस सेट होते हैं। प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थान T है₁.

एच-क्लोज्ड स्पेस|एच-क्लोज्ड

एक स्पेस एच-क्लोज्ड है, या हॉसडॉर्फ बंद या पूरी तरह से बंद है, अगर यह हर हौसडॉर्फ स्पेस में बंद है।

वंशानुगत रूप से पी

यदि प्रत्येक उपस्थान भी पी है तो किसी संपत्ति पी के लिए एक स्थान वंशानुगत रूप से पी है।

वंशानुगत संपत्ति

रिक्त स्थान की संपत्ति को वंशानुगत कहा जाता है यदि जब भी किसी स्थान में वह संपत्ति होती है, तो उसके प्रत्येक उपसमूह में ऐसा होता है। उदाहरण के लिए, दूसरी-गिनती एक वंशानुगत संपत्ति है।

होमोमोर्फिज्म

यदि एक्स और वाई रिक्त स्थान हैं, तो एक्स से वाई तक होमियोमॉर्फिज्म एक बायजेक्शन फ़ंक्शन f : X → Y ऐसा है कि f और f^-1 निरंतर हैं। रिक्त स्थान X और Y को तब 'होमियोमॉर्फिक' कहा जाता है। टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, होमोमोर्फिक स्थान समान हैं।

सजातीय स्थान

एक स्थान X समांगी स्थान है यदि, X में प्रत्येक x और y के लिए, एक समरूपता f : X  →  X है जैसे कि f(x) = y। सहज रूप से, अंतरिक्ष हर बिंदु पर समान दिखता है। प्रत्येक टोपोलॉजिकल समूह सजातीय है।

होमोटोपिक

दो सतत मानचित्र f, g : X  →  Y समरूप हैं (Y में) यदि कोई निरंतर मानचित्र H: X × [0, 1]  →  Y ऐसा है कि H(x, 0) = f(x) और H (x, 1) = g(x) सभी x के लिए X में। यहाँ, X × [0, 1] को उत्पाद टोपोलॉजी दी गई है। फ़ंक्शन H को f और g के बीच 'समरूपता' (Y में) कहा जाता है।

होमोटॉपी

'होमोटोपिक' देखें।

हाइपरकनेक्टेड स्पेस|हाइपर-कनेक्टेड

एक स्पेस हाइपर-कनेक्टेड है यदि कोई भी दो गैर-खाली खुले सेट अलग नहीं हैं हर हाइपर-कनेक्टेड स्पेस जुड़ा हुआ है।

मैं

पहचान मानचित्र

भागफल मानचित्र देखें।

भागफल स्थान (टोपोलॉजी)

भागफल स्थान (टोपोलॉजी) देखें।

अंधाधुंध स्थान

ट्रिवियल टोपोलॉजी देखें।

अनंत-आयामी टोपोलॉजी

हिल्बर्ट मैनिफोल्ड और क्यू-मैनिफोल्ड्स देखें, यानी (सामान्यीकृत) मैनिफोल्ड्स क्रमशः हिल्बर्ट स्पेस और हिल्बर्ट क्यूब पर बनाए गए हैं।

इनर लिमिटिंग सेट

ए जी_δ समूह।; इंटीरियर (टोपोलॉजी): सेट का इंटीरियर (टोपोलॉजी) मूल सेट में निहित सबसे बड़ा खुला सेट है। यह इसमें निहित सभी खुले सेटों के मिलन के बराबर है। समुच्चय S के अभ्यंतर का एक अवयव, S का 'आंतरिक बिंदु' होता है।

आंतरिक बिंदु

'आंतरिक (टोपोलॉजी)' देखें।

पृथक बिंदु

एक बिंदु x एक पृथक बिंदु है यदि सिंगलटन (गणित) {x} खुला है। अधिक आम तौर पर, यदि S एक स्थान X का एक उपसमुच्चय है, और यदि x, S का एक बिंदु है, तो x, S का एक पृथक बिंदु है यदि {x} S पर उप-स्थान टोपोलॉजी में खुला है।

आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म

यदि एम₁ और एम₂ मीट्रिक स्थान हैं, एम से एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म₁ एम₂ एक आक्षेपण समावयवता f : M है₁ → एम₂. मीट्रिक रिक्त स्थान को तब आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक कहा जाता है। मीट्रिक स्पेस थ्योरी के दृष्टिकोण से, आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक स्पेस समान हैं।

आइसोमेट्री

अगर (एम₁, डी₁) और (एम₂, डी₂) मीट्रिक रिक्त स्थान हैं, एम से एक आइसोमेट्री₁ एम₂ एक फलन है f : M₁ → एम₂ ऐसा कि डी₂(एफ (एक्स), एफ (वाई)) = डी₁(एक्स, वाई) एम में सभी एक्स, वाई के लिए₁. प्रत्येक आइसोमेट्री इंजेक्शन फंक्शन है, हालांकि हर आइसोमेट्री अनुमान नहीं है।

के

कोलमोगोरोव अंतरिक्ष

टी0 अंतरिक्ष देखें|टी₀.

Kuratowski क्लोजर एक्सिओम्स: Kuratowski क्लोजर एक्सिओम्स फंक्शन से संतुष्ट एक्सिओम्स का एक सेट है जो 'X' के प्रत्येक सबसेट को उसके क्लोजर तक ले जाता है:

1. आइसोटोन फंक्शन: हर सेट इसके क्लोजर में समाहित है।
2. Idempotent function: एक सेट के बंद होने का बंद होना उस सेट के बंद होने के बराबर है।
3. बाइनरी यूनियनों का संरक्षण: दो सेटों के मिलन का बंद होना उनके बंद होने का मिलन है।

# अशक्त संघों का संरक्षण : खाली सेट का बंद होना खाली है।

यदि 'सी' 'एक्स' के पावर सेट से स्वयं का एक कार्य है, तो 'सी' एक क्लोजर ऑपरेटर है यदि यह कुराटोस्की क्लोजर एक्सिओम्स को संतुष्ट करता है। Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्धों का उपयोग 'X' पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो इस ऑपरेटर के निश्चित बिंदु (गणित) के रूप में बंद सेटों को घोषित करता है, यानी एक सेट 'A' बंद है अगर और केवल अगर सी(ए) = ए।

कोलमोगोरोव टोपोलॉजी

टी_Kol = {आर, $\varnothing$}∪{(a,∞): a एक वास्तविक संख्या है}; जोड़ी (आर, टी_Kol) का नाम कोलमोगोरोव स्ट्रेट है।

एल

एस और एल स्पेस | एल-स्पेस

एक एल-स्पेस एक वंशानुगत संपत्ति है # टोपोलॉजी में लिंडेलोफ स्पेस जो आनुवंशिक रूप से अलग करने योग्य स्थान नहीं है। एक सुस्लिन लाइन एक एल-स्पेस होगी।

बड़ी टोपोलॉजी: महीन टोपोलॉजी देखें।

सीमा बिंदु: एक बिंदु x अंतरिक्ष में X उपसमुच्चय S का एक सीमा बिंदु है यदि x वाले प्रत्येक खुले सेट में S का एक बिंदु भी शामिल है ' 'एक्स' के अलावा। यह आवश्यकता के बराबर है कि x के प्रत्येक पड़ोस में x के अलावा S का एक बिंदु शामिल है।

सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट: कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट देखें।

लिंडेलोफ स्पेस | लिंडेलोफ: एक स्पेस लिंडेलोफ स्पेस है | लिंडेलोफ अगर हर खुले कवर में एक गणनीय उपकवर होता है।

स्थानीय आधार

एक स्थान X के एक बिंदु x के पड़ोस का एक सेट B x पर एक स्थानीय आधार (या स्थानीय आधार, पड़ोस का आधार, पड़ोस का आधार) है। यदि x के प्रत्येक पड़ोस में B का कोई सदस्य है।

स्थानीय आधार: स्थानीय आधार देखें।

स्थानीय रूप से (पी) स्थान: स्थानीय रूप से (पी) होने के लिए स्थान के लिए दो परिभाषाएं हैं जहां (पी) एक स्थलीय या सेट-सैद्धांतिक संपत्ति है: प्रत्येक बिंदु में संपत्ति (पी) के साथ पड़ोस है, या प्रत्येक बिंदु के पास है एक पड़ोसी आधार जिसके लिए प्रत्येक सदस्य के पास संपत्ति (पी) है। पहली परिभाषा आमतौर पर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, काउंटेबल कॉम्पैक्ट, मेट्रिजेबल, वियोज्य, काउंटेबल के लिए ली जाती है; दूसरा स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय: एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय जो एक खुले और बंद उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन है। समतुल्य रूप से, यह इसके बंद होने का एक अपेक्षाकृत खुला उपसमुच्चय है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान: एक स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान है यदि प्रत्येक बिंदु का एक कॉम्पैक्ट पड़ोस है: वैकल्पिक परिभाषा है कि प्रत्येक बिंदु में एक स्थानीय आधार होता है जिसमें कॉम्पैक्ट पड़ोस होते हैं: ये हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के बराबर हैं। हर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस टाइकोनॉफ़ है।

स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ: एक स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है यदि हर बिंदु का एक स्थानीय आधार है जिसमें जुड़े हुए पड़ोस शामिल हैं।

स्थानीय रूप से घना

Preopen देखें।

स्थानीय रूप से परिमित संग्रह

किसी स्थान के सबसेट का संग्रह स्थानीय रूप से परिमित संग्रह होता है यदि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है जिसमें केवल परिमित रूप से कई सबसेट होते हैं। 'गिनती योग्य स्थानीय रूप से परिमित', 'बिंदु परिमित' भी देखें।

Locally metrizable'/'Locally metrizable

एक स्थान स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल है यदि हर बिंदु में एक मेट्रिज़ेबल पड़ोस है।

स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ: एक स्थान स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु का स्थानीय आधार पथ से जुड़े पड़ोस से बना है। एक स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा स्थान जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पथ से जुड़ा हुआ है।

स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ: एक स्थान स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा होता है यदि हर बिंदु का स्थानीय आधार होता है जिसमें बस जुड़े हुए पड़ोस होते हैं।

लूप (टोपोलॉजी)

यदि x स्पेस X में एक बिंदु है, तो X में x पर एक लूप (टोपोलॉजी) (या बेसपॉइंट x के साथ X में एक लूप) X में एक पथ f है, जैसे कि f(0) = f (1) = एक्स। समतुल्य रूप से, एक्स में एक लूप यूनिट सर्कल एस से निरंतर नक्शा है¹ X में।

एम

अल्प समुच्चय: यदि X एक स्थान है और A, X का एक उपसमुच्चय है, तो A, X में अल्प है (या X में 'प्रथम श्रेणी' का) यदि यह कहीं भी सघन समुच्चयों का गणनीय संघ नहीं है। यदि A, X में अल्प नहीं है, तो A, X में 'दूसरी श्रेणी' का है।

मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस

एक स्पेस मेटाकॉम्पैक्ट होता है यदि हर खुले कवर में एक बिंदु परिमित खुला शोधन हो।

मीट्रिक

मीट्रिक स्थान देखें।

मीट्रिक अपरिवर्तनीय: एक मीट्रिक अपरिवर्तनीय एक संपत्ति है जिसे आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म के तहत संरक्षित किया जाता है।

मीट्रिक मानचित्र: यदि X और Y मेट्रिक्स d के साथ मीट्रिक स्थान हैं_X और डी_Y क्रमशः, फिर एक मीट्रिक मानचित्र एक्स से वाई तक एक फ़ंक्शन एफ है, जैसे एक्स में किसी भी बिंदु एक्स और वाई के लिए, डी_Y(एफ (एक्स), एफ (वाई)) ≤ डी_X(एक्स, वाई)। एक मीट्रिक मानचित्र मीट्रिक मानचित्र होता है यदि उपरोक्त असमानता X में सभी x और y के लिए सख्त है।

मीट्रिक स्थान: एक मीट्रिक स्थान (एम, डी) एक सेट एम है जो फ़ंक्शन डी से लैस है: एम × एम → 'वास्तविक संख्या' एम में सभी एक्स, वाई, और जेड के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

1. डी (एक्स, वाई) ≥ 0
2. डी (एक्स, एक्स) = 0
3. अगर   d(x, y) = 0   तो   x = y     (अविवेकी की पहचान)
4. d(x, y) = d(y, x)     (समरूपता)
5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (त्रिकोण असमानता)

फ़ंक्शन डी एम पर एक 'मीट्रिक' है, और डी (एक्स, वाई) एक्स और वाई के बीच 'दूरी' है। एम की सभी खुली गेंदों का संग्रह एम पर एक टोपोलॉजी का आधार है; यह डी द्वारा प्रेरित एम पर टोपोलॉजी है। प्रत्येक मीट्रिक स्थान हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) है। प्रत्येक मीट्रिक स्थान प्रथम-गणनीय है।

Metrizable'/'Metrisable

एक स्थान metrizable है यदि यह एक मीट्रिक स्थान के लिए होमोमोर्फिक है। हर मेट्रिजेबल स्पेस हॉसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) है। हर मेट्रिजेबल स्पेस फर्स्ट-काउंटेबल है।

मोनोलिथ: प्रत्येक गैर-खाली अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस एक्स में सबसे बड़ा उचित खुला उपसमुच्चय है; इस उपसमुच्चय को 'मोनोलिथ' कहा जाता है।

मूर स्पेस (टोपोलॉजी)

एक मूर स्पेस (टोपोलॉजी) एक विकास योग्य स्पेस है जो नियमित हॉसडॉर्फ स्पेस है।

एन

लगभग खुला

प्रीओपन देखें।

पड़ोस (गणित)'/'पड़ोस

एक बिंदु x का पड़ोस एक ऐसा सेट होता है जिसमें एक खुला सेट होता है जिसमें बदले में बिंदु x होता है। अधिक आम तौर पर, एक सेट S का एक पड़ोस एक सेट होता है जिसमें एक खुला सेट होता है जिसमें बदले में सेट S होता है। एक बिंदु x का एक पड़ोस इस प्रकार सिंगलटन (गणित) सेट {x} का एक पड़ोस है। (ध्यान दें कि इस परिभाषा के तहत, आस-पड़ोस को खुले होने की आवश्यकता नहीं है। कई लेखकों की आवश्यकता है कि आस-पड़ोस खुले हों; सम्मेलनों को नोट करने के लिए सावधान रहें।)

स्थानीय आधार/आधार: 'स्थानीय आधार' देखें।

प्वाइंट x के लिए नेबरहुड सिस्टम

स्पेस में पॉइंट x पर नेबरहुड सिस्टम x के सभी पड़ोस का संग्रह है।

नेट (गणित): एक अंतरिक्ष एक्स में एक नेट (गणित) एक निर्देशित सेट ए से एक्स तक एक नक्शा है। ए से एक्स तक एक नेट आमतौर पर निरूपित किया जाता है (x_α), जहां α एक इंडेक्स सेट है जो ए से अधिक है। प्रत्येक अनुक्रम एक नेट है, ए को सामान्य क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं का निर्देशित सेट माना जाता है।

सामान्य स्थान

एक स्थान सामान्य स्थान होता है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग बंद सेटों में अलग-अलग पड़ोस होते हैं। प्रत्येक सामान्य स्थान एकता के विभाजन को स्वीकार करता है।

टी4 स्पेस: एक टी4 स्पेस स्पेस (या टी4 स्पेस|टी₄अंतरिक्ष) एक सामान्य टी है₁ अंतरिक्ष। (एक सामान्य स्थान हॉसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है₁, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) प्रत्येक सामान्य हॉसडॉर्फ स्पेस टाइकोनॉफ़ है।

कहीं नहीं सघन समुच्चय

कहीं नहीं सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसके संवरण में खाली आंतरिक भाग होता है।

ओ

ओपन कवर

एक ओपन कवर एक कवर होता है जिसमें ओपन सेट होते हैं।

खुली गेंद

यदि (एम, डी) एक मीट्रिक स्थान है, तो एक खुली गेंद बी (एक्स; आर) के रूप का एक सेट है: = {एम में एम: डी (एक्स, वाई) <आर}, जहां एक्स अंदर है एम और आर एक सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्या, गेंद की 'त्रिज्या' है। r त्रिज्या की एक खुली गेंद एक 'खुली r-गेंद' होती है। प्रत्येक ओपन बॉल डी द्वारा प्रेरित एम पर टोपोलॉजी में एक ओपन सेट है।

खुली स्थिति

'खुली संपत्ति' देखें।

खुला सेट

एक खुला सेट टोपोलॉजी का सदस्य है।

ओपन मैप

प्रत्येक ओपन सेट की छवि (गणित) ओपन होने पर एक स्पेस से दूसरे स्थान पर एक फंक्शन ओपन मैप होता है।

खुली संपत्ति

एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बिंदुओं की एक संपत्ति को खुला कहा जाता है यदि वे बिंदु जो इसे धारण करते हैं, एक खुला सेट बनाते हैं। ऐसी स्थितियाँ अक्सर एक सामान्य रूप ले लेती हैं, और उस रूप को खुली स्थिति कहा जा सकता है; उदाहरण के लिए, मीट्रिक रिक्त स्थान में, एक खुली गेंद को ऊपर के रूप में परिभाषित करता है, और कहता है कि सख्त असमानता एक खुली स्थिति है।

पी

पैराकॉम्पैक्ट स्पेस

एक स्पेस पैराकॉम्पैक्ट स्पेस है यदि प्रत्येक खुले कवर में स्थानीय रूप से परिमित खुला शोधन हो। पैराकॉम्पैक्ट का अर्थ है मेटाकॉम्पैक्ट। Paracompact हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं।

एकता का विभाजन

एक स्थान X की एकता का विभाजन X से [0, 1] तक निरंतर कार्यों का एक सेट है, जैसे कि किसी भी बिंदु का एक पड़ोस होता है, जहां कार्यों की एक सीमित संख्या के अलावा सभी समान रूप से शून्य होते हैं, और संपूर्ण स्थान पर सभी कार्यों का योग समान रूप से 1 है।

पाथ (टोपोलॉजी)

स्पेस एक्स में एक पाथ (टोपोलॉजी) बंद इकाई अंतराल (गणित) [0, 1] से एक्स में एक निरंतर नक्शा एफ है। बिंदु एफ (0) एफ का प्रारंभिक बिंदु है; बिंदु f(1) f का अंतिम बिंदु है।

पाथ-कनेक्टेड स्पेस | पाथ-कनेक्टेड

एक स्पेस एक्स, पाथ-कनेक्टेड स्पेस है | पाथ-कनेक्टेड अगर, एक्स में हर दो पॉइंट्स x, y के लिए, x से y तक एक पाथ f है, यानी, शुरुआती वाला एक पाथ बिंदु f(0) = x और अंतिम बिंदु f(1) = y। हर पथ से जुड़ा स्थान जुड़ा हुआ है।

पाथ-कनेक्टेड कंपोनेंट: स्पेस का पाथ-कनेक्टेड कंपोनेंट एक मैक्सिमम नॉनएम्प्टी पाथ-कनेक्टेड सबस्पेस है। किसी स्थान के पथ से जुड़े घटकों का सेट उस स्थान के एक सेट का विभाजन है, जो विभाजन से जुड़े घटकों में विभाजन का विभाजन है।एक स्थान X के पथ-जुड़े घटकों के सेट को होमोटोपी समूह | π के रूप में दर्शाया गया है₀(एक्स)।

पूरी तरह से सामान्य: एक सामान्य स्थान जो कि G भी है_δ.

π-आधार

गैर-खाली खुले सेट का एक संग्रह बी एक टोपोलॉजी τ के लिए एक π-आधार है यदि τ में प्रत्येक गैर-खाली खुले सेट में बी से एक सेट शामिल है।

बिंदु

एक बिंदु एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक तत्व है। अधिक आम तौर पर, एक बिंदु अंतर्निहित सामयिक संरचना के साथ किसी भी सेट का एक तत्व होता है; उदा. मीट्रिक स्पेस या टोपोलॉजिकल समूह का एक तत्व भी एक बिंदु है।

बंद करने का बिंदु: क्लोजर (टोपोलॉजी) देखें।

पोलिश स्थान: एक स्थान पोलिश है यदि यह वियोज्य और पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल है, अर्थात यदि यह एक वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक है।

पॉलीडिक स्पेस

एक स्पेस पॉलीएडिक है यदि यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, गैर-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस के एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन की शक्ति की निरंतर छवि है।

पी-प्वाइंट: एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक बिंदु एक पी-पॉइंट है यदि इसके आस-पड़ोस के फिल्टर को गणनीय चौराहों के तहत बंद कर दिया जाता है।

प्री-कॉम्पैक्ट: अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट देखें।

Pre-open set

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स का एक सबसेट ए प्रीओपन है अगर $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)$.

प्रोडिस्क्रीट टोपोलॉजी: प्रोडक्ट ए पर प्रोडिस्क्रीट टोपोलॉजी^G उत्पाद टोपोलॉजी है जब प्रत्येक कारक A को असतत टोपोलॉजी दी जाती है। उत्पाद टोपोलॉजी: यदि $\left(X_{i}\right)$ रिक्त स्थान का एक संग्रह है और X का (सेट-सैद्धांतिक) कार्टेशियन उत्पाद है $\left(X_{i}\right),$ तो एक्स पर उत्पाद टोपोलॉजी सबसे मोटे टोपोलॉजी है जिसके लिए सभी प्रक्षेपण मानचित्र निरंतर हैं।

उचित कार्य/मानचित्रण

एक स्थान X से एक स्थान Y तक एक निरंतर कार्य f उचित है यदि $f^{-1}(C)$ Y के किसी भी कॉम्पैक्ट सबस्पेस C के लिए X में एक कॉम्पैक्ट सेट है।

निकटता स्थान: एक निकटता स्थान (एक्स, 'डी') एक सेट एक्स है जो एक्स के सबसेट के बीच बाइनरी रिलेशन 'डी' से लैस है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

X के सभी उपसमुच्चयों A, B और C के लिए,

1. ए 'डी' बी का तात्पर्य बी 'डी' ए से है

#A 'd' B का अर्थ है A खाली नहीं है

1. यदि A और B का चौराहा खाली नहीं है, तो A 'd' B
2. ए 'डी' (बी$\cup$सी) अगर और केवल अगर (ए 'डी' बी या ए 'डी' सी)
3. यदि, एक्स के सभी उपसमुच्चय ई के लिए, हमारे पास (ए 'डी' ई या बी 'डी' ई) है, तो हमारे पास ए 'डी' (एक्स - बी) होना चाहिए

स्यूडोकॉम्पैक्ट: यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या | अंतरिक्ष पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्य सीमित है तो एक स्थान स्यूडोकॉम्पैक्ट है।

स्यूडोमेट्रिक: 'स्यूडोमेट्रिक स्पेस' देखें।

स्यूडोमेट्रिक स्पेस: एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस (एम, डी) एक सेट एम है जो वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन से लैस है $d:M\times M\to \mathbb {R}$ एक मीट्रिक स्थान की सभी शर्तों को पूरा करना, संभवतः अविवेकी पहचान को छोड़कर। यही है, एक छद्ममितीय स्थान में बिंदु समान होने के बिना असीम रूप से करीब हो सकते हैं। फ़ंक्शन d, M पर एक 'स्यूडोमेट्रिक' है। प्रत्येक मीट्रिक एक छद्ममितीय है।

पंचर पड़ोस'/'पंचर पड़ोस

एक बिंदु x का एक छिद्रित पड़ोस एक्स का एक पड़ोस है, सेट घटाव {x}। उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) (−1, 1) = {y : −1 <y <1} वास्तविक रेखा में x = 0 का पड़ोस है, इसलिए सेट $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$ 0 का पंक्चर पड़ोस है।

क्यू

क्वासीकॉम्पैक्ट: कॉम्पैक्ट स्पेस देखें। कुछ लेखक हॉसडॉर्फ स्पेस सेपरेशन एक्सिओम को शामिल करने के लिए कॉम्पेक्ट को परिभाषित करते हैं, और वे क्वासीकॉम्पैक्ट शब्द का उपयोग करते हैं, जिसका अर्थ है कि हम इस शब्दकोष में बस कॉम्पैक्ट (हॉसडॉर्फ स्वयंसिद्ध के बिना) कहते हैं। यह सम्मेलन सबसे अधिक फ्रेंच में पाया जाता है, और गणित की शाखाएँ फ्रेंच से बहुत अधिक प्रभावित हैं।

भागफल मानचित्र: यदि X और Y रिक्त स्थान हैं, और यदि f X से Y तक एक अनुमान है, तो f एक है भागफल मानचित्र (या पहचान मानचित्र), यदि, Y के प्रत्येक उपसमुच्चय U के लिए, U Y में खुला है यदि और केवल यदि f ^-1(U) X में खुला है। दूसरे शब्दों में, Y के पास f-मजबूत टोपोलॉजी है। समान रूप से, $f$ एक भागफल नक्शा है अगर और केवल अगर यह नक्शे की ट्रांसफ़िनिटी रचना है $X\rightarrow X/Z$, कहाँ पे $Z\subset X$ एक उपसमुच्चय है। ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि f एक खुला कार्य है।

भागफल स्थान (टोपोलॉजी): यदि X एक स्थान है, Y एक सेट है, और f : X → Y कोई अनुमान कार्य है, तो f द्वारा प्रेरित Y पर भागफल टोपोलॉजी सबसे अच्छा टोपोलॉजी है जिसके लिए f निरंतर है। स्थान X भागफल स्थान या 'पहचान स्थान' है। परिभाषा के अनुसार, f एक भागफल मानचित्र है। इसका सबसे आम उदाहरण एक्स पर समानता संबंध पर विचार करना है, जिसमें वाई समानता वर्गों का सेट और एफ प्राकृतिक प्रक्षेपण मानचित्र है। यह निर्माण सबस्पेस टोपोलॉजी के निर्माण के लिए दोहरा है।

आर

शोधन

एक आवरण K एक आवरण L का शोधन (टोपोलॉजी) है यदि K का प्रत्येक सदस्य L के किसी सदस्य का उपसमुच्चय है।

नियमित स्थान

एक स्थान नियमित स्थान है यदि, जब भी C एक बंद सेट है और x एक बिंदु है जो C में नहीं है, तो C और x में आस-पड़ोस के सेट हैं।

T3 स्पेस

एक स्पेस T3 स्पेस (या 'T₃) यदि यह नियमित टी है₀ अंतरिक्ष। (एक नियमित स्थान हॉसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है₀, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।)

Regular open

स्पेस X का एक उपसमुच्चय नियमित रूप से खुला होता है यदि यह इसके बंद होने के आंतरिक भाग के बराबर होता है; नियमित रूप से बंद सेट इसके इंटीरियर के बंद होने के बराबर है। गैर-नियमित ओपन सेट का एक उदाहरण सेट यू = है (0,1) ∪ (1,2) आर में इसकी सामान्य टोपोलॉजी के साथ, चूंकि 1 'यू' के बंद होने के इंटीरियर में है, लेकिन 'यू' में नहीं है। एक स्थान के नियमित खुले उपसमुच्चय एक पूर्ण बूलियन बीजगणित बनाते हैं।; अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट: स्पेस एक्स का एक सबसेट वाई एक्स में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है यदि एक्स में वाई का बंद होना कॉम्पैक्ट है।

अवशिष्ट

यदि X एक स्थान है और A, X का एक उपसमुच्चय है, तो A का पूरक यदि X में अल्प है, तो X में अवशिष्ट है। इसे 'कॉमेग्रे' या 'कॉमेगर' भी कहा जाता है।

रिजोल्वेबल

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को रिजोल्वेबल स्पेस कहा जाता है, अगर इसे दो अलग-अलग सेटों के घने उपसमुच्चय के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है।

रिम-कॉम्पैक्ट

एक स्थान रिम-कॉम्पैक्ट होता है यदि इसमें खुले सेट का आधार होता है जिसकी सीमाएं कॉम्पैक्ट होती हैं।

एस

एस और एल स्पेस | एस-स्पेस: एक एस-स्पेस एक वंशानुगत संपत्ति है # टोपोलॉजी वियोज्य अंतरिक्ष में जो आनुवंशिक रूप से लिंडेलोफ स्पेस नहीं है। लिंडेलोफ।

बिखरा हुआ स्थान

एक स्थान X बिखरा हुआ स्थान है यदि X के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में A में पृथक बिंदु होता है।

स्कॉट निरंतरता

स्कॉट टोपोलॉजी एक पॉकेट पर वह है जिसमें खुले सेट वे ऊपरी सेट होते हैं जो निर्देशित जुड़ने से दुर्गम होते हैं।

दूसरी श्रेणी: मेग्रे देखें।

दूसरा-गणनीय स्थान|दूसरा-गणनीय

एक स्थान दूसरी-गणना योग्य जगह है|दूसरा-गणनीय या पूरी तरह से अलग करने योग्य है यदि इसकी टोपोलॉजी के लिए एक गणनीय आधार है।हर दूसरा गणनीय स्थान प्रथम गणनीय, वियोज्य और लिंडेलोफ है।

अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ: एक स्थान X अर्ध-स्थानिक रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ है, यदि X में प्रत्येक बिंदु x के लिए, x का एक पड़ोस U है, जैसे कि U में x पर प्रत्येक लूप X में निरंतर लूप x के लिए होमोटोपिक है। हर सरलता से जुड़ा हुआ स्थान और हर स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ स्थान अर्ध-स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। (स्थानीय रूप से सीधे जुड़े हुए के साथ तुलना करें; यहां, होमोटोपी को एक्स में रहने की अनुमति है, जबकि स्थानीय रूप से जुड़े की परिभाषा में, होमोटॉपी को यू में रहना चाहिए।)

सेमी-ओपन: एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक सबसेट A को सेमी-ओपन कहा जाता है यदि $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$. सेमी-प्रीओपन: एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के एक सबसेट ए को सेमी-प्रीओपेन कहा जाता है $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$ अर्ध-नियमित स्थान: यदि नियमित रूप से खुले सेट एक आधार बनाते हैं तो एक स्थान अर्ध-नियमित होता है।

वियोज्य (टोपोलॉजी): एक स्थान वियोज्य (टोपोलॉजी) है यदि इसमें एक गणनीय घना उपसमुच्चय है।

अलग सेट: दो सेट ए और बी अलग-अलग सेट होते हैं यदि प्रत्येक दूसरे के बंद होने से सेट होता है।

क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट: एक स्थान क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुवर्ती होता है। प्रत्येक क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस काउंटेबल कॉम्पैक्ट है, और हर पहला-काउंटेबल, काउंटेबल कॉम्पैक्ट स्पेस क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है।

लघु मानचित्र: 'मीट्रिक मानचित्र' देखें

सिंपली कनेक्टेड स्पेस

एक स्पेस बस कनेक्टेड स्पेस होता है अगर वह पाथ-कनेक्टेड हो और हर लूप एक कॉन्स्टेंट मैप के लिए होमोटोपिक हो।

छोटी टोपोलॉजी: 'मोटी टोपोलॉजी' देखें।

सोबर स्पेस: एक सोबर स्पेस में, प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस क्लोज्ड सबसेट ठीक एक बिंदु का क्लोजर (टोपोलॉजी) होता है: यानी इसका एक विशिष्ट सामान्य बिंदु होता है। स्टार: एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दिए गए कवर (टोपोलॉजी) में एक बिंदु का तारा कवर में सभी सेटों का मिलन होता है जिसमें बिंदु होता है। तारा शोधन देखें।

$f$-मजबूत टोपोलॉजी

चलो $f\colon X\rightarrow Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस का नक्शा बनें। हम कहते हैं $Y$ है $f$-मजबूत टोपोलॉजी अगर, हर सबसेट के लिए $U\subset Y$, एक के पास है $U$ में खुला है $Y$ अगर और केवल अगर $f^{-1}(U)$ में खुला है $X$

मजबूत टोपोलॉजी: महीन टोपोलॉजी देखें। खबरदार, कुछ लेखक, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, कमजोर टोपोलॉजी शब्द का उपयोग करते हैं।

सबबेस

एक टोपोलॉजी के लिए ओपन सेट का एक संग्रह एक सबबेस (या सबबेस) है यदि टोपोलॉजी में प्रत्येक गैर-रिक्त उचित ओपन सेट सबबेस में सेट के परिमित सेट चौराहों का एक संघ है। यदि बी सेट एक्स के सबसेट का कोई संग्रह है, बी द्वारा उत्पन्न एक्स पर टोपोलॉजी बी वाली सबसे छोटी टोपोलॉजी है; इस टोपोलॉजी में खाली सेट, 'एक्स' और 'बी' के तत्वों के परिमित चौराहों के सभी संघ शामिल हैं।

सबबेस: सबबेस देखें।

सबकवर

एक कवर के एक कवर एल का एक सबकवर (या सबकवरिंग) है यदि के का प्रत्येक सदस्य एल का सदस्य है।

सबकवरिंग

सबकवर देखें।

सबमैक्सिमल स्पेस

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को सबमैक्सिमल कहा जाता है अगर इसका हर सबसेट स्थानीय रूप से बंद हो, यानी हर सबसेट एक ओपन सेट और एक क्लोज्ड सेट का इंटरसेक्शन हो।

यहाँ टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति के रूप में सबमैक्सिमिटी के बारे में कुछ तथ्य दिए गए हैं:

• हर डोर स्पेस सबमैक्सिमल है।
• प्रत्येक सबमैक्सिमल स्पेस 'कमजोर सबमैक्सिमल' है अर्थात प्रत्येक परिमित सेट स्थानीय रूप से बंद है।
• प्रत्येक सबमैक्सिमल स्पेस अघुलनशील स्पेस है।

सबस्पेस

यदि टी स्पेस एक्स पर एक टोपोलॉजी है, और यदि ए एक्स का सबसेट है, तो टी द्वारा प्रेरित ए पर सबस्पेस टोपोलॉजी में ए के साथ टी में खुले सेट के सभी चौराहे होते हैं। यह निर्माण निर्माण के लिए दोहरी है भागफल टोपोलॉजी का।

टी

टी0 स्पेस|टी₀

एक स्थान T0 स्थान है | टी₀(या कोलमोगोरोव) यदि अंतरिक्ष में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए, या तो एक खुला सेट है जिसमें x है, लेकिन y नहीं है, या कोई है खुला सेट जिसमें y है लेकिन x नहीं है।

टी1 स्पेस|टी₁: एक स्थान T1 स्थान है|T₁(या फ्रेचेट या सुलभ) यदि अंतरिक्ष में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए, x वाला एक खुला सेट है, लेकिन y नहीं है। (टी से तुलना करें₀; यहां, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि खुले सेट में कौन सा बिंदु समाहित होगा।) समान रूप से, एक स्थान T है₁ अगर इसके सभी सिंगलटन (गणित) बंद हैं। हर टी₁ अंतरिक्ष टी है₀.

टी2 स्पेस|टी₂: हॉसडॉर्फ स्पेस देखें।

टी3 स्पेस|टी₃: टी3 स्पेस देखें।

टाइकोनॉफ़ स्पेस | टी_3½: टाइकोनॉफ़ स्पेस देखें।

टी4 स्पेस|टी₄: टी4 स्पेस देखें।

टी5 स्पेस|टी₅: T5 स्थान देखें।

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी देखें।

θ-क्लस्टर बिंदु, θ-बंद, θ-खुला

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक बिंदु x एक सबसेट A का θ-क्लस्टर बिंदु है यदि $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$ एक्स में एक्स के हर खुले पड़ोस यू के लिए। सबसेट ए θ-बंद है अगर यह अपने θ-क्लस्टर बिंदुओं के सेट के बराबर है, और θ-खुला है अगर इसका पूरक θ-बंद है।

टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट: एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट एक संपत्ति है जो होमोमोर्फिज्म के तहत संरक्षित है। उदाहरण के लिए, सघनता और जुड़ाव सांस्थितिक गुण हैं, जबकि परिबद्धता और पूर्णता नहीं हैं। बीजगणितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजिकल स्पेस पर टोपोलॉजिकल रूप से अपरिवर्तनीय अमूर्त बीजगणित निर्माण का अध्ययन है।

टोपोलॉजिकल स्पेस: एक टोपोलॉजिकल स्पेस (एक्स, टी) एक सेट एक्स है जो एक्स के सबसेट के संग्रह टी से सुसज्जित है जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

# खाली सेट और एक्स टी में हैं।

1. टी में सेट के किसी भी संग्रह का संघ भी टी में है।
2. T में सेट के किसी भी जोड़े का प्रतिच्छेदन T में भी है।

संग्रह टी एक्स पर एक 'टोपोलॉजी' है।

टोपोलॉजिकल योग: 'कोप्रोडक्ट टोपोलॉजी' देखें।

टोपोलॉजिकली कंप्लीट: पूरी तरह से मेट्रिजेबल स्पेस (यानी टोपोलॉजिकल स्पेस होमोमोर्फिक टू कम्प्लीट मेट्रिक स्पेस) को अक्सर टोपोलॉजिकली कंप्लीट कहा जाता है; कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग चेक-पूर्ण रिक्त स्थान या पूरी तरह से समान स्थान के लिए भी किया जाता है।

टोपोलॉजी: 'टोपोलॉजिकल स्पेस' देखें।

पूरी तरह से घिरा हुआ: एक मीट्रिक स्पेस एम पूरी तरह से घिरा हुआ है, अगर प्रत्येक आर> 0 के लिए, त्रिज्या आर की खुली गेंदों द्वारा एम का सीमित सेट कवर मौजूद है। एक मीट्रिक स्थान कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह पूर्ण और पूरी तरह से घिरा हुआ है।

पूरी तरह से डिस्कनेक्ट

एक स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें एक से अधिक बिंदुओं के साथ कोई जुड़ा हुआ उपसमुच्चय नहीं है।

ट्रिवियल टोपोलॉजी: एक सेट एक्स पर ट्रिवियल टोपोलॉजी (या 'अविवेकी टोपोलॉजी') में खाली सेट और संपूर्ण स्पेस एक्स शामिल हैं।

टाइकोनॉफ़ स्पेस: एक टाइकोनॉफ़ स्पेस (या 'पूरी तरह से नियमित हौसडॉर्फ' स्पेस, 'पूरी तरह से टी₃अंतरिक्ष, टी_3.5स्पेस) पूरी तरह से नियमित टी है₀ अंतरिक्ष। (एक पूरी तरह से नियमित स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है₀, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) प्रत्येक टाइकोनॉफ़ स्थान नियमित हौसडॉर्फ है।

यू

अल्ट्रा-कनेक्टेड

एक स्पेस अल्ट्रा-कनेक्टेड है यदि कोई भी दो गैर-खाली बंद सेट अलग नहीं हैं।हर अल्ट्रा-कनेक्टेड स्पेस पाथ-कनेक्टेड है।

अल्ट्रामेट्रिक स्पेस: एक मीट्रिक एक अल्ट्रामेट्रिक है यदि यह त्रिभुज असमानता के निम्नलिखित मजबूत संस्करण को संतुष्ट करता है: सभी x, y, z in M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y) के लिए , जेड))।

एकसमान समरूपता: यदि X और Y एकसमान स्थान हैं, तो X से Y तक एक समान समरूपता एक विशेषण फलन है f : X → Y ऐसा कि f और f^-1 समान रूप से निरंतर हैं। रिक्त स्थान को तब समान रूप से आइसोमॉर्फिक कहा जाता है और समान समान गुणों को साझा करता है।

यूनिफ़ॉर्माइज़ेबल/यूनिफ़ॉर्माइज़ेबल

एक स्पेस एकसमान होने योग्य है अगर यह एक यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए होमोमॉर्फिक है।

एक समान स्थान: एक समान स्थान एक सेट X है जो कार्टेशियन उत्पाद X × X के सबसेट के एक गैर-रिक्त संग्रह से सुसज्जित है जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

# यदि यू Φ में है, तो यू में { (x, x) | शामिल है एक्स में एक्स}।

# यदि यू Φ में है, तो { (y, x) | (x, y) in U} भी Φ में है

# यदि U Φ में है और V, X × X का एक उपसमुच्चय है जिसमें U है, तो V Φ में है

# यदि यू और वी Φ में हैं, तो यू ∩ वी Φ में है

1. यदि U Φ में है, तो Φ में V मौजूद है जैसे कि, जब भी (x, y) और (y, z) V में हैं, तो (x, z) U में है।

Φ के तत्वों को 'प्रतिवेश' कहा जाता है, और Φ को एक्स पर 'एक समान संरचना' कहा जाता है। समान संरचना एक्स पर एक टोपोलॉजी प्रेरित करती है जहां एक्स के मूल पड़ोस {y: (x, y) के सेट होते हैं )∈U} यू∈Φ के लिए।

समान संरचना

'वर्दी स्थान' देखें।

डब्ल्यू

कमजोर टोपोलॉजी

एक सेट पर कमजोर टोपोलॉजी, उस सेट से टोपोलॉजिकल स्पेस में कार्यों के संग्रह के संबंध में, सेट पर सबसे मोटे टोपोलॉजी है जो सभी कार्यों को निरंतर बनाती है।

कमजोर टोपोलॉजी

मोटे टोपोलॉजी देखें। खबरदार, कुछ लेखक, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, मजबूत टोपोलॉजी शब्द का उपयोग करते हैं।

कमजोर गणना योग्य कॉम्पैक्ट

यदि प्रत्येक इन्फिनिटी सबसेट में एक सीमा बिंदु है, तो एक स्थान कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट (या सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट) है।

कमजोर वंशानुगत

रिक्त स्थान की एक संपत्ति को कमजोर वंशानुगत कहा जाता है यदि जब भी किसी स्थान में वह संपत्ति होती है, तो उसके प्रत्येक बंद उप-स्थान में भी होता है। उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्टनेस और लिंडेलोफ संपत्ति दोनों कमजोर वंशानुगत गुण हैं, हालांकि कोई भी वंशानुगत नहीं है।

वजन

अंतरिक्ष का वजन 'एक्स' सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ है जैसे कि 'एक्स' का आधार कार्डिनल κ है। (ध्यान दें कि ऐसी कार्डिनल संख्या मौजूद है, क्योंकि संपूर्ण टोपोलॉजी एक आधार बनाती है, और क्योंकि कार्डिनल नंबरों का वर्ग सुव्यवस्थित है। सुव्यवस्थित।)

वेल-कनेक्टेड

अल्ट्रा-कनेक्टेड देखें। (कुछ लेखक अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस के लिए सख्ती से इस शब्द का उपयोग करते हैं।)

जेड

शून्य-आयामी: एक स्थान शून्य-आयामी है यदि उसके पास क्लोपेन सेट का आधार है।

यह भी देखें

• नेव सेट थ्योरी, स्वयंसिद्ध सेट थ्योरी, और फंक्शन (गणित) सेट्स और फ़ंक्शंस से संबंधित परिभाषाओं के लिए।
• संक्षिप्त इतिहास और विषय क्षेत्र के विवरण के लिए टोपोलॉजी
• बुनियादी परिभाषाओं और उदाहरणों के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस
• सामान्य टोपोलॉजी विषयों की सूची
• सामान्य टोपोलॉजी में उदाहरणों की सूची

टोपोलॉजी विशिष्ट अवधारणाएँ

• कॉम्पैक्ट जगह
• कनेक्टेड स्पेस
• निरंतरता (टोपोलॉजी)
• मीट्रिक स्थान
• अलग सेट
• पृथक्करण स्वयंसिद्ध
• टोपोलॉजिकल स्पेस
• समान स्थान

अन्य शब्दावलियाँ

• बीजगणितीय टोपोलॉजी की शब्दावली
• अंतर ज्यामिति और टोपोलॉजी की शब्दावली
• गणित के क्षेत्रों की शब्दावली
• Riemannian और मीट्रिक ज्यामिति की शब्दावली

संदर्भ

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology. Amsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E., eds. (1984). Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland. ISBN 0-444-86580-2.
• Nagata, Jun-iti (1985). Modern general topology. North-Holland Mathematical Library. Vol. 33 (2nd revised ed.). Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
• Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. Vol. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601. Also available as Dover reprint.

बाहरी संबंध

• A glossary of definitions in topology