डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन

गणित में, डिरिचलेट एल-सीरीज़ फॉर्म का एक फ़ंक्शन है

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

कहाँ $\chi$ एक डिरिचलेट चरित्र है और यह एक जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष मामला है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल विमान पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, और फिर इसे 'डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन' कहा जाता है और इसे एल (एस, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन कार्यों का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इन्हें पेश किया था (Dirichlet 1837) अंकगणितीय प्रगति पर डिरिक्लेट के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए जिस पर उनका नाम भी अंकित है। सबूत के दौरान, डिरिचलेट यह दर्शाता है L(s, χ) s = 1 पर गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव है। अन्यथा, एल-फ़ंक्शन संपूर्ण फ़ंक्शन है।

यूलर उत्पाद

चूंकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसके एल-फ़ंक्शन को पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर उत्पाद के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

जहां उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

आदिम वर्ण

एल-फ़ंक्शन के बारे में परिणाम अक्सर अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि चरित्र को आदिम माना जाता है, हालांकि परिणाम आमतौर पर मामूली जटिलताओं के साथ अप्रभावी वर्णों तक बढ़ाए जा सकते हैं। यह एक आदिम चरित्र के बीच संबंध के कारण है $\chi$ और आदिम चरित्र $\chi ^{\star }$ जो इसे प्रेरित करता है:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर उत्पाद का एक अनुप्रयोग संबंधित एल-फ़ंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(यह सूत्र विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी s के लिए मान्य है, भले ही यूलर उत्पाद केवल तभी मान्य है जब Re(s) > 1.) सूत्र से पता चलता है कि χ का L-फ़ंक्शन आदिम चरित्र के L-फ़ंक्शन के बराबर है जो χ को प्रेरित करता है, जो केवल कारकों की एक सीमित संख्या से गुणा होता है। एक विशेष मामले के रूप में, मुख्य चरित्र का एल-फ़ंक्शन $\chi _{0}$ मॉड्यूलो क्यू को रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

कार्यात्मक समीकरण

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखने का एक तरीका प्रदान करता है। कार्यात्मक समीकरण के मान से संबंधित है $L(s,\chi )$ के मूल्य के लिए $L(1-s,{\overline {\chi }})$. मान लीजिए कि χ एक आदिम वर्ण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. कार्यात्मक समीकरण को व्यक्त करने का एक तरीका यह है::$L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).$ इस समीकरण में, Γ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है; यदि χ(−1) = 1 है तो a 0 है, या यदि χ(−1) = −1 है तो 1 है; और

$\varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}$

जहां τ ( χ) एक गॉस योग है:

$\tau (\chi )=\sum _{n=1}^{q}\chi (n)\exp(2\pi in/q).$

यह गॉस सम्स की एक संपत्ति है जो |τ ( χ) | = क्यू^1/2, तो |e ( χ) | = 1. कार्यात्मक समीकरण को बताने का दूसरा तरीका है

$\xi (s,\chi )=\left({\frac {q}{\pi }}\right)^{(s+a)/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ).$

कार्यात्मक समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है::$\xi (s,\chi )=\varepsilon (\chi )\xi (1-s,{\overline {\chi }}).$ कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य यह है $L(s,\chi )$ (और $\xi (s,\chi )$) s का संपूर्ण कार्य है। (फिर से, यह माना जाता है कि χ q > 1 के साथ आदिम वर्ण मॉड्यूल q है। यदि q = 1 है, तो $L(s,\chi )=\zeta (s)$ s = 1 पर एक ध्रुव है।)

सामान्यीकरण के लिए, देखें: कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)।

शून्य

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन एल(एस, χ) = 1 − 3^−s+5^−s − 7^−s + ⋅⋅⋅ (कभी-कभी विशेष नाम डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन दिया जाता है), ऋणात्मक विषम पूर्णांकों पर तुच्छ शून्य के साथ

मान लीजिए χ q > 1 के साथ एक आदिम वर्ण मॉड्यूल q है।

Re(s) > 1 के साथ L(s, χ) के फ़ंक्शन का कोई शून्य नहीं है। Re(s) < 0 के लिए, कुछ नकारात्मक पूर्णांक s पर शून्य होते हैं:

• यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −2, −4, −6, ... पर सरल शून्य हैं। (एक शून्य भी है) s = 0 पर) ये के ध्रुवों के अनुरूप हैं $\textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})$.
• यदि χ(−1) = −1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −1, −3, −5, .... पर सरल शून्य हैं। के ध्रुव $\textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})$.इन्हें तुच्छ शून्य कहा जाता है।

शेष शून्य क्रांतिक पट्टी 0 ≤ Re(s) ≤ 1 में स्थित होते हैं, और गैर-तुच्छ शून्य कहलाते हैं। गैर-तुच्छ शून्य क्रांतिक रेखा Re(s) = 1/2 के बारे में सममित हैं। अर्थात यदि $L(\rho ,\chi )=0$ तब $L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0$ कार्यात्मक समीकरण के कारण भी। यदि χ एक वास्तविक वर्ण है, तो गैर-तुच्छ शून्य भी वास्तविक अक्ष के बारे में सममित हैं, लेकिन यदि χ एक जटिल वर्ण है तो नहीं। सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना यह अनुमान है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं।

सीगल शून्य के संभावित अस्तित्व तक, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के समान रेखा Re(s) = 1 सहित और उससे परे शून्य-मुक्त क्षेत्र सभी डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन के लिए मौजूद माने जाते हैं: उदाहरण के लिए, χ ए के लिए मापांक q का अवास्तविक चरित्र, हमारे पास है

$\beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\$

β + iγ के लिए एक अवास्तविक शून्य।

हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन से संबंध

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन को तर्कसंगत मूल्यों पर हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। एक पूर्णांक k ≥ 1 को निश्चित करते हुए, मॉड्यूल k वर्णों के लिए डिरिचलेट L-फ़ंक्शन ζ(s,a) के स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक संयोजन हैं, जहां a = r/k और r = 1, 2, ..., k . इसका मतलब यह है कि तर्कसंगत ए के लिए हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन में विश्लेषणात्मक गुण हैं जो डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन से निकटता से संबंधित हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि χ एक वर्ण मॉड्यूलो k है। तब हम इसके डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).$

यह भी देखें

• सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
• एल-फ़ंक्शन
• मॉड्यूलैरिटी प्रमेय
• आर्टिन अनुमान (एल-फ़ंक्शन)
• एल-फ़ंक्शन के विशेष मान

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Apostol, T. M. (2010), "डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Davenport, H. (2000). Multiplicative Number Theory (3rd ed.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ak. Wiss. Berlin. 48.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2006). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society.
• "Dirichlet-L-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]