डिरिचलेट का सिद्धांत

Not to be confused with Pigeonhole principle.

गणित में, और विशेष रूप से संभावित सिद्धांत में, डिरिक्लेट का सिद्धांत यह धारणा है कि एक निश्चित ऊर्जा क्रियात्मक का न्यूनतमकर्ता पॉइसन के समीकरण का एक समाधान है।

औपचारिक बयान

डिरिक्लेट का सिद्धांत कहता है कि, यदि कार्य करता है $u(x)$ प्वासों के समीकरण का हल है

$\Delta u+f=0$

किसी फ़ंक्शन के डोमेन पर $\Omega$ का $\mathbb {R} ^{n}$ सीमा शर्त के साथ

$u=g$ सीमा पर (टोपोलॉजी) $\partial \Omega$,

तब u को डिरिचलेट ऊर्जा के न्यूनतमकर्ता के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

$E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x$ सभी दो अलग-अलग कार्यों के बीच $v$ ऐसा है कि $v=g$ पर $\partial \Omega$ (बशर्ते कि डिरिचलेट का अभिन्न परिमित बनाने वाला कम से कम एक कार्य मौजूद हो)। इस अवधारणा का नाम जर्मन गणितज्ञ पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है।

इतिहास

डिरिचलेट का सिद्धांत नाम रीमैन के कारण है, जिन्होंने इसे जटिल विश्लेषणात्मक कार्य के अध्ययन में लागू किया था। रीमैन (और गॉस और डिरिचलेट जैसे अन्य) जानते थे कि डिरिचलेट का इंटीग्रल नीचे घिरा हुआ है, जो एक सबसे कम के अस्तित्व को स्थापित करता है; हालाँकि, उन्होंने एक ऐसे कार्य के अस्तित्व को स्वीकार किया जो न्यूनतम प्राप्त करता है। कार्ल वीयरस्ट्रास ने 1870 में इस धारणा की पहली आलोचना प्रकाशित की, जिसमें एक कार्यात्मक का उदाहरण दिया गया है जिसकी सबसे बड़ी निचली सीमा है जो न्यूनतम मूल्य नहीं है। वेइरस्ट्रास का उदाहरण कार्यात्मक था

$J(\varphi )=\int _{-1}^{1}\left(x{\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\,dx$

कहाँ $\varphi$ निरंतर चालू है $[-1,1]$, लगातार अलग-अलग $(-1,1)$, और सीमा शर्तों के अधीन $\varphi (-1)=a$, $\varphi (1)=b$ कहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं और $a\neq b$. वेइरस्ट्रास ने दिखाया $\textstyle \inf _{\varphi }J(\varphi )=0$, लेकिन कोई स्वीकार्य कार्य नहीं $\varphi$ बना सकते हैं $J(\varphi )$ बराबर 0। इस उदाहरण ने डिरिचलेट के सिद्धांत का खंडन नहीं किया, क्योंकि उदाहरण इंटीग्रल डिरिचलेट के इंटीग्रल से अलग है। लेकिन इसने रीमैन द्वारा उपयोग किए जाने वाले तर्क को कमजोर कर दिया, और डिरिचलेट के सिद्धांत को साबित करने के साथ-साथ विविधताओं की कलन और अंततः कार्यात्मक विश्लेषण में व्यापक प्रगति को साबित करने में रुचि को प्रेरित किया। 1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने बाद में भिन्नरूपों की कलन में प्रत्यक्ष विधि विकसित करके डिरिचलेट के सिद्धांत के रीमैन के उपयोग को सही ठहराया।

यह भी देखें

• डिरिचलेट समस्या
• हिल्बर्ट की बीसवीं समस्या
• पठार की समस्या
• हरे की पहचान#हरे की पहली पहचान|हरे की पहली पहचान

संदर्भ

• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience
• Lawrence C. Evans (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Calculus of Variations I, Springer
• A. F. Monna (1975), Dirichlet's principle: A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek, Scheltema & Holkema
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet's Principle". MathWorld.