तर्कसंगत अंतर समीकरण

एक तर्कसंगत अंतर समीकरण रूप का एक अरैखिक अंतर समीकरण है

$x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,$

जहां शुरुआती स्थितियां हैं $x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}$ ऐसे हैं कि हर किसी के लिए कभी लुप्त नहीं होता n.

प्रथम-क्रम तर्कसंगत अंतर समीकरण

प्रथम-क्रम तर्कसंगत अंतर समीकरण फॉर्म का एक गैर-रेखीय अंतर समीकरण है

$w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.$

कब $a,b,c,d$ और प्रारंभिक स्थिति $w_{0}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, इस अंतर समीकरण को रिकाटी अंतर समीकरण कहा जाता है।

ऐसे समीकरण को लिखकर हल किया जा सकता है $w_{t}$ किसी अन्य चर के अरेखीय परिवर्तन के रूप में $x_{t}$ जो स्वयं रैखिक रूप से विकसित होता है। फिर रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए मानक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है $x_{t}$.

इस रूप के समीकरण अनंत प्रतिरोधक सीढ़ी समस्या से उत्पन्न होते हैं।

प्रथम-क्रम समीकरण को हल करना

पहला दृष्टिकोण

एक दृष्टिकोण परिवर्तित चर को विकसित करने के लिए $x_{t}$, कब $ad-bc\neq 0$, लिखना है

$y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}$

कहाँ $\alpha =(a+d)/c$ और $\beta =(ad-bc)/c^{2}$ और कहाँ $w_{t}=y_{t}-d/c$.

आगे का लेखन $y_{t}=x_{t+1}/x_{t}$ उपज दिखाया जा सकता है

$x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.$

दूसरा दृष्टिकोण

यह पहुच के लिए प्रथम-क्रम अंतर समीकरण देता है $x_{t}$ दूसरे क्रम के बजाय, उस मामले के लिए $(d-a)^{2}+4bc$ गैर-नकारात्मक है. लिखना $x_{t}=1/(\eta +w_{t})$ जिसका अर्थ $w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}$, कहाँ $\eta$ द्वारा दिया गया है $\eta =(d-a+r)/2c$ और कहाँ $r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}$. तो फिर वो दिखाया जा सकता है $x_{t}$ के अनुसार विकसित होता है

$x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.$

तीसरा दृष्टिकोण

समीकरण

$w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}$

इसे मैट्रिक्स अंतर समीकरण के एक विशेष मामले के रूप में मानकर भी हल किया जा सकता है#नॉनलाइनियर मैट्रिक्स अंतर समीकरण: रिकाटी समीकरण

$X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},$

जहां सभी A, B, C, E, और X n × n मैट्रिक्स (गणित) हैं (इस मामले में n = 1); इसका समाधान है

$X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}$

कहाँ

${\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.$

आवेदन

इसमें दिखाया गया था वह एक गतिशील मैट्रिक्स रिकाटी समीकरण का रूप है

$H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,$

जो कुछ अलग-अलग समय इष्टतम नियंत्रण समस्याओं में उत्पन्न हो सकता है, ऊपर दिए गए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है यदि मैट्रिक्स सी में कॉलम की तुलना में केवल एक पंक्ति अधिक है।

अग्रिम पठन

• Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500–504.