तलीय लामिना

गणित में, एक समतलीय लामिना (या समतल लामिना)।) ठोस की एक पतली, आमतौर पर एक समान, सपाट परत का प्रतिनिधित्व करने वाली एक आकृति है। यह अभिन्न रूप से किसी ठोस पिंड के समतलीय क्रॉस सेक्शन के एक आदर्श मॉडल के रूप में भी कार्य करता है।

समतलीय लेमिनास का उपयोग जड़ता के क्षण, या सपाट आकृतियों के द्रव्यमान के केंद्र को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, साथ ही 3डी निकायों के लिए संबंधित गणनाओं में सहायता के लिए भी किया जा सकता है।

परिभाषा

मूलतः, एक तलीय लामिना को एक आकृति (एक बंद सेट) के रूप में परिभाषित किया गया है D एक विमान में एक सीमित क्षेत्र का, कुछ द्रव्यमान के साथ m.

यह स्थिर घनत्व के लिए जड़ता के क्षणों या द्रव्यमान के केंद्र की गणना करने में उपयोगी है, क्योंकि एक लैमिना का द्रव्यमान उसके क्षेत्र के समानुपाती होता है। परिवर्तनीय घनत्व के मामले में, कुछ (गैर-नकारात्मक) सतह घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया $\rho (x,y),$ सामूहिक $m$ तलीय लामिना का D का एक तलीय अभिन्न अंग है ρ चित्र के ऊपर:

$m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy$

गुण

लैमिना के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु पर है

$\left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)$

कहाँ $M_{y}$ y-अक्ष के बारे में संपूर्ण लैमिना का क्षण है और $M_{x}$ एक्स-अक्ष के बारे में संपूर्ण लैमिना का क्षण है:

$M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy$

$M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy$

समतलीय डोमेन पर सारांश और एकीकरण के साथ $D$.

उदाहरण

रेखाओं द्वारा दिए गए किनारों के साथ एक लैमिना के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात करें $x=0,$ $y=x$ और $y=4-x$ जहां घनत्व इस प्रकार दिया गया है $\rho \ (x,y)\,=2x+3y+2$.

इसके लिए जन $m$ क्षणों के साथ-साथ पाया जाना चाहिए $M_{y}$ और $M_{x}$.

मास है $m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy$ जिसे समान रूप से एक पुनरावृत्त अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx$

आंतरिक अभिन्न अंग है:

$\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy$

$\qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}$

$\qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]$

$\qquad =-4x^{2}-8x+32$

इसे बाहरी अभिन्न अंग में प्लग करने से परिणाम मिलते हैं:

${\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}$

इसी प्रकार दोनों क्षणों की गणना की जाती है:

$M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx$

आंतरिक अभिन्न अंग के साथ:

$\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy$

$\qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}$

$\qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x$

किसने बनाया:

${\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}$

और

${\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}$

अंततः, द्रव्यमान का केंद्र है

$\left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)$