थोराल्फ़ स्कोलेम

Thoralf Skolem
जन्म	(1887-05-23)23 May 1887 Sandsvær, Norway
मर गया	23 March 1963(1963-03-23) (aged 75) Oslo, Norway
राष्ट्रीयता	Norwegian
अल्मा मेटर	Oslo University
के लिए जाना जाता है	Skolem–Noether theorem Löwenheim–Skolem theorem
Scientific career
खेत	Mathematician
संस्थानों	Oslo University Chr. Michelsen Institute
Doctoral advisor	Axel Thue
डॉक्टरेट के छात्र	Øystein Ore

थोराल्फ़ अल्बर्ट स्कोलेम (Norwegian: [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm]; 23 मई 1887 - 23 मार्च 1963) नॉर्वेजियन गणितज्ञ थे जिन्होंने गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत में काम किया।

जीवन

हालाँकि स्कोलेम के पिता एक प्राथमिक विद्यालय के शिक्षक थे, लेकिन उनके अधिकांश विस्तारित परिवार किसान थे। स्कोलेम ने 1905 में विश्वविद्यालय प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करते हुए क्रिस्टियानिया (बाद में ओस्लो का नाम बदलकर) में माध्यमिक विद्यालय में भाग लिया। फिर उन्होंने गणित का अध्ययन करने के लिए डेट कोंगेलिगे फ्रेडरिक यूनिवर्सिटी में प्रवेश किया, साथ ही भौतिकी, रसायन विज्ञान, प्राणीशास्त्र और वनस्पति विज्ञान के पाठ्यक्रम भी लिए।

1909 में, उन्होंने भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन बिर्कलैंड के सहायक के रूप में काम करना शुरू किया, जो इलेक्ट्रॉनों के साथ चुंबकीय क्षेत्रों पर बमबारी करने और अरोरा (खगोल विज्ञान) जैसे प्रभाव प्राप्त करने के लिए जाने जाते थे; इस प्रकार स्कोलेम का पहला प्रकाशन बिर्कलैंड के साथ संयुक्त रूप से लिखे गए भौतिकी पत्र थे। 1913 में, स्कोलेम ने विशेष योग्यता के साथ राज्य परीक्षा उत्तीर्ण की, और तर्क के बीजगणित पर जांच शीर्षक से एक शोध प्रबंध पूरा किया। उन्होंने आंचलिक प्रकाश का निरीक्षण करने के लिए बिर्कलैंड के साथ सूडान की यात्रा भी की। उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में 1915 का शीतकालीन सेमेस्टर बिताया, उस समय गणितीय तर्क, मेटामैथमैटिक्स और अमूर्त बीजगणित में अग्रणी अनुसंधान केंद्र, जिसमें स्कोलेम ने अंततः उत्कृष्ट प्रदर्शन किया। 1916 में उन्हें Det Kongelige Frederiks Universitet में एक शोध साथी नियुक्त किया गया। 1918 में, वे गणित में एक डॉक्टर बन गए और नॉर्वेजियन एकेडमी ऑफ साइंस एंड लेटर्स के लिए चुने गए।

स्कोलेम ने पहले औपचारिक रूप से पीएचडी के रूप में नामांकन नहीं किया था। उम्मीदवार, यह मानते हुए कि पीएच.डी. नॉर्वे में अनावश्यक था। बाद में उन्होंने अपना विचार बदल दिया और 1926 में कुछ बीजीय समीकरणों और असमानताओं के अभिन्न समाधानों के बारे में कुछ प्रमेय शीर्षक से एक थीसिस प्रस्तुत की। उनके काल्पनिक थीसिस सलाहकार एक्सल थ्यू थे, भले ही थ्यू की मृत्यु 1922 में हुई थी।

1927 में, उन्होंने एडिथ विल्हेल्मिन हस्वॉल्ड से शादी की।

स्कोलेम ने 1930 तक Det kongelige Frederiks Universitet (1939 में ओस्लो विश्वविद्यालय का नाम बदलकर) में पढ़ाना जारी रखा, जब वे Chr में रिसर्च एसोसिएट बन गए। बर्गन, नॉर्वे में मिशेलसन संस्थान। इस वरिष्ठ पद ने स्कोलेम को प्रशासनिक और शिक्षण कर्तव्यों से मुक्त अनुसंधान करने की अनुमति दी। हालाँकि, स्थिति के लिए यह भी आवश्यक था कि वह बर्गन में निवास करे, एक ऐसा शहर जिसमें तब एक विश्वविद्यालय का अभाव था और इसलिए उसके पास कोई शोध पुस्तकालय नहीं था, ताकि वह गणितीय साहित्य के बराबर न रह सके। 1938 में, वे विश्वविद्यालय में गणित की प्रोफेसरशिप ग्रहण करने के लिए ओस्लो लौट आए। वहां उन्होंने बीजगणित और संख्या सिद्धांत में स्नातक पाठ्यक्रम पढ़ाया, और केवल कभी-कभी गणितीय तर्क पर। स्कोलेम की पीएच.डी. छात्र Øystein Ore ने संयुक्त राज्य अमेरिका में अपना करियर बनाया।

स्कोलेम ने नॉर्वेजियन मैथमेटिकल सोसाइटी के अध्यक्ष के रूप में कार्य किया और कई वर्षों तक नॉर्स्क मैटेमैटिस्क टिड्सक्रिफ्ट (द नॉर्वेजियन मैथमेटिकल जर्नल) का संपादन किया। वह मैथेमेटिका स्कैंडिनेविका के संस्थापक संपादक भी थे।

1957 में अपनी सेवानिवृत्ति के बाद, उन्होंने संयुक्त राज्य अमेरिका की कई यात्राएँ कीं, वहाँ के विश्वविद्यालयों में भाषण और अध्यापन किया। अपनी आकस्मिक और अप्रत्याशित मृत्यु तक वे बौद्धिक रूप से सक्रिय रहे।

स्कोलेम के अकादमिक जीवन के बारे में अधिक जानकारी के लिए, फेनस्टैड (1970) देखें।

गणित

स्कोलेम ने डायोफैंटाइन समीकरणों, समूह सिद्धांत, जाली सिद्धांत और सबसे बढ़कर, सेट सिद्धांत और गणितीय तर्क पर लगभग 180 पत्र प्रकाशित किए। उन्होंने ज्यादातर नॉर्वेजियन पत्रिकाओं में सीमित अंतरराष्ट्रीय प्रसार के साथ प्रकाशित किया, ताकि उनके परिणाम कभी-कभी दूसरों द्वारा फिर से खोजे जा सकें। एक उदाहरण स्कोलेम-नोथेर प्रमेय है, जो सरल बीजगणित के automorphisms को दर्शाता है। स्कोलेम ने 1927 में एक प्रमाण प्रकाशित किया, लेकिन एमी नोथेर ने कुछ वर्षों बाद स्वतंत्र रूप से इसे फिर से खोजा।

स्कोलेम जाली (आदेश) पर लिखने वाले पहले लोगों में से एक था। 1912 में, वह n तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त वितरण जालक का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे। 1919 में, उन्होंने दिखाया कि हर निहितार्थ जाली (जिसे अब जालीदार स्कूल भी कहा जाता है) डिस्ट्रीब्यूटिव है और, एक आंशिक आक्षेप के रूप में, कि हर परिमित वितरण जाली इम्प्लिकेटिव है। इन परिणामों को दूसरों द्वारा फिर से खोजे जाने के बाद, स्कोलेम ने जर्मन में 1936 का एक पेपर प्रकाशित किया, Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices', जाली सिद्धांत में अपने पहले के काम का सर्वेक्षण किया।

स्कोलेम एक अग्रणी मॉडल सिद्धांत था। 1920 में, उन्होंने एक प्रमेय के प्रमाण को बहुत सरल बना दिया लियोपोल्ड लोवेनहेम पहली बार 1915 में साबित हुआ, जिसके परिणामस्वरूप लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि यदि एक गणनीय प्रथम-क्रम सिद्धांत में एक अनंत मॉडल है, तो इसका एक गणनीय मॉडल है। उनके 1920 के प्रमाण ने पसंद के स्वयंसिद्ध को नियोजित किया, लेकिन बाद में उन्होंने (1922 और 1928) उस स्वयंसिद्ध के स्थान पर कोनिग के लेम्मा का उपयोग करके प्रमाण दिया। यह उल्लेखनीय है कि लोवेनहेम की तरह स्कोलेम ने गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत पर अपने साथी अग्रणी मॉडल सिद्धांतकारों चार्ल्स सैंडर्स पियर्स और अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | पीनो, गणितीय सिद्धांत, और गणितीय तर्क के सिद्धांतों के अंकन के लिए। स्कोलेम (1934) ने अंकगणित के गैर-मानक मॉडल | अंकगणित के गैर-मानक मॉडल और सेट सिद्धांत के निर्माण का बीड़ा उठाया।

स्कोलेम (1922) ने सेट थ्योरी के लिए ज़र्मेलो के स्वयंसिद्धों को किसी भी संपत्ति के साथ एक निश्चित संपत्ति के ज़र्मेलो की अस्पष्ट धारणा को बदलकर परिष्कृत किया, जिसे पहले क्रम के तर्क में कोडित किया जा सकता है। परिणामी अभिगृहीत अब समुच्चय सिद्धांत के मानक अभिगृहीतों का भाग है। स्कोलेम ने यह भी बताया कि लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का एक परिणाम है जिसे अब स्कोलेम के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है: यदि ज़र्मेलो के स्वयंसिद्ध सुसंगत हैं, तो उन्हें एक गणनीय डोमेन के भीतर संतोषजनक होना चाहिए, भले ही वे बेशुमार सेटों के अस्तित्व को साबित करते हों।

संपूर्णता

गोडेल का प्रथम-क्रम तर्क का पूर्णता प्रमेय परिणामों का एक परिणाम है जिसे स्कोलम ने 1920 के दशक की शुरुआत में सिद्ध किया और स्कोलेम (1928) में चर्चा की, लेकिन वह इस तथ्य को नोट करने में विफल रहे, शायद इसलिए कि गणितज्ञ और तर्कशास्त्री पूर्णता के बारे में पूरी तरह से जागरूक नहीं थे। हिल्बर्ट और एकरमैन के सिद्धांतों के गणितीय तर्क के 1928 के पहले संस्करण तक मौलिक मेटामैथमैटिकल समस्या ने इसे स्पष्ट रूप से व्यक्त किया। किसी भी सूरत में, कर्ट गोडेल ने पहली बार 1930 में इस पूर्णता को सिद्ध किया।

स्कोलेम ने पूर्ण अनंतता पर भरोसा नहीं किया और गणित में finitism के संस्थापकों में से एक थे। स्कोलेम (1923) ने अपने आदिम पुनरावर्ती अंकगणित को निर्धारित किया, जो अनंत के तथाकथित विरोधाभासों से बचने के साधन के रूप में गणना योग्य कार्यों के सिद्धांत के लिए एक बहुत ही प्रारंभिक योगदान है। यहां उन्होंने आदिम पुनरावर्तन द्वारा पहले वस्तुओं को परिभाषित करके प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित को विकसित किया, फिर पहली प्रणाली द्वारा परिभाषित वस्तुओं के गुणों को सिद्ध करने के लिए एक अन्य प्रणाली तैयार की। इन दो प्रणालियों ने उन्हें अभाज्य संख्याओं को परिभाषित करने और संख्या सिद्धांत की एक बड़ी मात्रा निर्धारित करने में सक्षम बनाया। यदि इन प्रणालियों में से पहली को वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए एक प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में माना जा सकता है, और दूसरी वस्तुओं के गुणों को साबित करने के लिए एक प्रोग्रामिंग तर्क के रूप में, स्कोलेम को सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के एक अनजाने अग्रणी के रूप में देखा जा सकता है।

1929 में, प्रेस्बर्गर अंकगणित ने साबित कर दिया कि गुणा के बिना पियानो अंकगणित सुसंगत, पूर्ण और निर्णायकता (तर्क) था। अगले वर्ष, स्कोलेम ने साबित कर दिया कि बिना जोड़ के पियानो अंकगणित के बारे में भी यही सच था, उनके सम्मान में स्कोलेम अंकगणित नामक एक प्रणाली। गोडेल का 1931 का प्रसिद्ध परिणाम यह है कि पीनो अंकगणित स्वयं (जोड़ और गुणा दोनों के साथ) गोडेल की अपूर्णता प्रमेय है और इसलिए अनुभवजन्य साक्ष्य अनिर्णीत है।

हाओ वांग (अकादमिक) ने स्कोलेम के काम की प्रशंसा इस प्रकार की:

Skolem सामान्य समस्याओं को ठोस उदाहरणों से हल करता है। वह अक्सर सबूतों को उसी क्रम में प्रस्तुत करता प्रतीत होता था जिस क्रम में वह उन्हें खोजने आया था। इसका परिणाम एक नई अनौपचारिकता के साथ-साथ एक निश्चित अनिश्चितता भी है। उनके कई कागजात प्रगति रिपोर्ट के रूप में एक हैं। फिर भी उनके विचार अक्सर गर्भवती होते हैं और संभावित रूप से व्यापक अनुप्रयोग के लिए सक्षम होते हैं। वह पूरी तरह से एक 'मुक्त आत्मा' थे: वह किसी भी स्कूल से संबंधित नहीं थे, उन्हें अपना कोई स्कूल नहीं मिला, उन्होंने आम तौर पर ज्ञात परिणामों का भारी उपयोग नहीं किया... वे एक प्रर्वतक थे और अधिकांश उनके शोधपत्रों को वे लोग पढ़ और समझ सकते हैं जिन्हें विशेष ज्ञान नहीं है। ऐसा लगता है कि अगर वह आज युवा होते, तो तर्क... उन्हें आकर्षित नहीं करते। (स्कोलेम 1970: 17-18)

स्कोलेम की उपलब्धियों के बारे में अधिक जानकारी के लिए हाओ वांग (1970) देखें।

यह भी देखें

• लियोपोल्ड लोवेनहेम
• मॉडल सिद्धांत
• अंकगणित द्वारा
• लगभग सामान्य रूप
• स्कोलेम का विरोधाभास
• समस्या के आसपास
• क्रम से
• स्कोलेम-महलर-लेच प्रमेय

संदर्भ

प्राथमिक

• Skolem, Thoralf (1934). "विशेष रूप से संख्या चर वाले बयानों की एक परिमित या गणनीय अनंत संख्या के माध्यम से संख्याओं की श्रृंखला के गैर-लक्षण वर्णन पर" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in Deutsch). 23 (1): 150–161. doi:10.4064/fm-23-1-150-161. *स्कोलेम, टी.ए., 1970. सेलेक्टेड वर्क्स इन लॉजिक, जेन्स एरिक फेनस्टैड|फेनस्टैड, जे.ई., एड। ओस्लो: स्कैंडिनेवियाई यूनिवर्सिटी बुक्स। जर्मन में 22 लेख, अंग्रेजी में 26, फ्रेंच में 2, नॉर्वेजियन में मूल रूप से प्रकाशित एक लेख का 1 अंग्रेजी अनुवाद और एक पूर्ण ग्रंथसूची शामिल है।

अंग्रेजी अनुवाद में लेखन

• जीन वैन हेयेनूर्ट, 1967. फ्रॉम फ्रेज टू गोडेल: ए सोर्स बुक इन मैथमेटिकल लॉजिक, 1879-1931। हार्वर्ड विश्वविद्यालय। प्रेस।
  • 1920। गणितीय प्रस्तावों की संतुष्टि या व्यवहार्यता पर लॉजिको-कॉम्बिनेटोरियल जांच: लोवेनहेम द्वारा प्रमेय का एक सरलीकृत प्रमाण, 252-263।
  • 1922. स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत पर कुछ टिप्पणी, 290-301।
  • 1923. प्रारंभिक अंकगणित की नींव, 302-33।
  • 1928. गणितीय तर्क पर, 508-524।

माध्यमिक

• ब्रैडी, गेराल्डिन, 2000। पियर्स से स्कोलेम तक। उत्तरी हॉलैंड।
• फेनस्टैड, जेन्स एरिक, 1970, थोराल्फ़ अल्बर्ट स्कोलेम इन मेमोरियम इन स्कोलेम (1970: 9-16)।
• हाओ वांग, 1970, स्कोलेम में लॉजिक में स्कोलेम के कार्य का एक सर्वेक्षण (1970: 17–52)।

बाहरी संबंध

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "थोराल्फ़ स्कोलेम", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• थोराल्फ़ स्कोलेम at the Mathematics Genealogy Project
• Fenstad, Jens Erik, 1996, "Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch," Nordic Journal of Philosophical Logic 1: 99-106.