दूसरा-गणनीय स्थान

टोपोलॉजी में, एक दूसरा-गणनीय स्थान, जिसे पूरी तरह से अलग करने योग्य स्थान भी कहा जाता है, एक टोपोलॉजिकल स्थान है जिसका टोपोलॉजी का एक गणनीय आधार (टोपोलॉजी) है। अधिक स्पष्ट रूप से, एक सामयिक स्थान $T$ कुछ गणनीय संग्रह मौजूद होने पर दूसरा गणनीय है ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ के खुले सेट सबसेट का $T$ ऐसा है कि कोई भी खुला उपसमुच्चय $T$ के कुछ उपपरिवार के तत्वों के संघ के रूप में लिखा जा सकता है ${\mathcal {U}}$. एक दूसरे गणनीय स्थान को गणनीयता के दूसरे स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अन्य गणनीय स्वयंसिद्धों की तरह, द्वितीय-गणनीय होने की संपत्ति एक स्थान के खुले सेटों की संख्या को प्रतिबंधित करती है।

गणित में कई अच्छे व्यवहार वाले स्थान दूसरे गणनीय हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस (आरⁿ) अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ दूसरी गणनीय है। हालांकि खुली गेंदों का सामान्य आधार बेशुमार है, कोई भी सभी खुली गेंदों के संग्रह को तर्कसंगत संख्या त्रिज्या के साथ सीमित कर सकता है और जिनके केंद्रों में तर्कसंगत निर्देशांक हैं। यह प्रतिबंधित सेट गणनीय है और अभी भी आधार बनाता है।

गुण

द्वितीय-गणनीयता प्रथम-गणनीय स्थान की तुलना में एक मजबूत धारणा है | प्रथम-गणनीयता। यदि प्रत्येक बिंदु का एक गणनीय स्थानीय आधार है, तो एक स्थान प्रथम-गणना योग्य है। एक टोपोलॉजी और एक बिंदु x के लिए एक आधार दिया गया है, x वाले सभी आधार सेटों का सेट x पर एक स्थानीय आधार बनाता है। इस प्रकार, यदि किसी के पास एक टोपोलॉजी के लिए एक गणनीय आधार है, तो उसके पास प्रत्येक बिंदु पर एक गणनीय स्थानीय आधार है, और इसलिए प्रत्येक दूसरी गणनीय स्थान भी एक प्रथम-गणनीय स्थान है। हालाँकि कोई भी बेशुमार असतत स्थान प्रथम-गणनीय है, लेकिन द्वितीय-गणनीय नहीं है।

द्वितीय-गणनीयता का तात्पर्य कुछ अन्य सामयिक गुणों से है। विशेष रूप से, प्रत्येक दूसरा-गणनीय स्थान वियोज्य स्थान है (इसमें एक गणनीय सघन (टोपोलॉजी) उपसमुच्चय है) और लिंडेलोफ़ स्थान | लिंडेलोफ़ (प्रत्येक खुले आवरण में एक गणनीय उपकवर होता है)। उल्टे निहितार्थ पकड़ में नहीं आते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर निचली सीमा टोपोलॉजी प्रथम-गणनीय, वियोज्य और लिंडेलोफ़ है, लेकिन दूसरी-गणनीय नहीं है। मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए, हालांकि, दूसरे-गणनीय, वियोज्य और लिंडेलोफ होने के गुण सभी समकक्ष हैं। इसलिए, वास्तविक रेखा पर निचली सीमा टोपोलॉजी मेट्रिजेबल नहीं है।

दूसरे गणनीय रिक्त स्थान में - जैसा कि मीट्रिक रिक्त स्थान में - कॉम्पैक्ट स्थान, अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस और काउंटेबल कॉम्पैक्टनेस सभी समान गुण हैं।

Urysohn के मेट्रिज़ेशन प्रमेय में कहा गया है कि हर सेकंड-गणनीय, हॉउसडॉर्फ स्पेस रेगुलर स्पेस मेट्रिज़ेबल है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसा हर स्थान पूरी तरह से सामान्य स्थान होने के साथ-साथ पैराकॉम्पैक्ट भी है। दूसरी-गिनती इसलिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक प्रतिबंधित संपत्ति है, जिसके लिए मेट्रिज़ेबिलिटी को लागू करने के लिए केवल एक पृथक्करण स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है।

अन्य गुण

• एक दूसरे गणनीय स्थान की एक निरंतर, खुली मानचित्र छवि (गणित) दूसरी गणनीय है।
• एक दूसरे गणनीय स्थान का प्रत्येक उप-स्थान (टोपोलॉजी) दूसरा-गणनीय है।
• द्वितीय-गणनीय रिक्त स्थान के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) को द्वितीय-गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है; हालाँकि, खुले भागफल हमेशा होते हैं।
• दूसरे गणनीय स्थान का कोई भी गणनीय उत्पाद स्थान द्वितीय गणनीय है, हालांकि बेशुमार उत्पादों की आवश्यकता नहीं है।
• एक दूसरे गणनीय टी की टोपोलॉजी₁ स्पेस की कार्डिनैलिटी c से कम या बराबर है (सातत्य की कार्डिनैलिटी)।
• दूसरे गणनीय स्थान के लिए किसी भी आधार में एक गणनीय उपपरिवार होता है जो अभी भी एक आधार है।
• दूसरे गणनीय स्थान में अलग-अलग खुले सेटों का प्रत्येक संग्रह गणनीय है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

• असम्बद्ध गणनीय संघ पर विचार करें $X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb$. अंतराल के बाएँ सिरों की पहचान करके एक तुल्यता संबंध और एक भागफल टोपोलॉजी को परिभाषित करें - अर्थात, 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k और इसी तरह की पहचान करें। एक्स दूसरी गणनीय है, दूसरी गणनीय रिक्त स्थान के एक गणनीय संघ के रूप में। हालांकि, एक्स/~ पहचान किए गए बिंदुओं के सहसमुच्चय पर पहली-गिनने योग्य नहीं है और इसलिए दूसरी-गणना योग्य भी नहीं है।
• उपरोक्त स्थान स्पष्ट मीट्रिक के साथ संपन्न समानता वर्गों के समान सेट के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है: यानी समान अंतराल में दो बिंदुओं के लिए नियमित यूक्लिडियन दूरी, और समान अंतराल में नहीं होने वाले बिंदुओं के लिए बाएं हाथ की दूरी का योग - उपरोक्त स्थान की तुलना में कड़ाई से मोटे टोपोलॉजी की उपज। यह एक वियोज्य मीट्रिक स्थान है (तर्कसंगत बिंदुओं के सेट पर विचार करें), और इसलिए दूसरी-गणना योग्य है।
• लंबी रेखा (टोपोलॉजी) दूसरी गणनीय नहीं है, लेकिन यह पहली गणनीय है।

संदर्भ

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4