दो से अधिक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण

दो से अधिक अज्ञातों को शामिल करते हुए एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए, हिंदू पद्धति दो को छोड़कर सभी अज्ञात के लिए मनमाना मान मानती है और फिर पल्वराइज़र की विधि लागू करती है। ब्रह्मगुप्त ने उल्लेख किया है "यदि कई अज्ञात (एक समीकरण में) मौजूद हैं, तो चूर्ण बनाने की विधि (इस्तेमाल किया जाना चाहिए)।"

ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित खगोलीय समस्याओं में से एक समीकरण की ओर जाता है।

$197x-1644y-z=6302$

${\displaystyle x={\frac {1644y+z+6302}{197}}}$

भाष्यकार z = 131 मानता है, फिर ${\displaystyle x={\frac {1644y+6433}{197}}}$

चूर्णित्र(पल्वराइज़र) की विधि से $x=41,y=1$

भास्कर द्वितीय ने निम्नलिखित उदाहरण दिया है:

"एक व्यक्ति के पास निर्दोष माणिक, नीलम और मोतियों की संख्या क्रमशः 5, 8 और 7 है; और हे मित्र, दूसरे के पास समान रत्नों के क्रमशः 7, 9 और 6 हैं। इसके अलावा उनके पास 90 और 62 तक के सिक्के हैं। वे इस प्रकार समान रूप से समृद्ध हैं। बुद्धिमान बीजगणित,जल्दी से बताओ प्रत्येक रत्न की कीमत।

यदि x, y, z क्रमशः एक माणिक, नीलम और मोती की कीमतों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रश्न के अनुसार

$5x+8y+7z+90=7x+9y+6z+62$

${\displaystyle x={\frac {-y+z+28}{2}}}$

मान लीजिए z = 1 तब

${\displaystyle x={\frac {-y+29}{2}}}$

चूर्णित्र की विधि से हम प्राप्त करते हैं $x=14-m$ $y=2m+1$

जहाँ m एक मनमाना पूर्णांक है। m = 0,1,2,3.... रखने पर (x, y, z) के मान (14, 1, 1), (13, 3, 1), (12, 5, 1) के रूप में प्राप्त होते हैं। , (11, 7, 1) आदि।

भास्कर द्वितीय कहते हैं, "इस प्रकार विभिन्न मान्यताओं के आधार पर मूल्यों की बहुलता प्राप्त की जा सकती है।"

कभी-कभी एक समीकरण में मौजूद अधिकांश अज्ञात के मूल्यों को मनमाने ढंग से या उनमें से किसी एक के संदर्भ में माना जाता है, ताकि समीकरण को एक साधारण निर्धारित समीकरण में कम किया जा सके।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "दो या दो से अधिक अज्ञात के मामले में, x को 2 से गुणा किया जाता है (यानी, मनमानी ज्ञात संख्याओं से), या विभाजित, (बस) किसी भी ज्ञात मान को, अन्य अज्ञात के लिए अपनी स्वयं की बुद्धिमत्ता के अनुसार माना जा सकता है। इन्हें जानना (बाकी एक अज्ञात में एक समीकरण है)।"

उपरोक्त उदाहरण को भास्कर द्वितीय ने इस नियम के अनुसार फिर से हल किया है:

(1) मान लीजिए x = 3z, y = 2z तब समीकरण कम हो कर :

$38z+90=45z+62$

इसलिए z = 4 , x = 12 और y = 8

(2) या मान लें y = 5, z = 3 तब समीकरण कम हो कर :

$5x+151=7x+125$

इसलिए z=13

यह भी देखें

One Linear Equation In More Than Two Unknowns