द्विध्रुवीय संख्या

द्विध्रुवीय संख्या किसी भी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक को अंकों के एक परिमित स्ट्रिंग का उपयोग करके बिल्कुल एक तरह से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।नाम से तात्पर्य है कि नकारात्मक पूर्णांक के सेट और प्रतीकों (अंकों) के एक परिमित सेट का उपयोग करके परिमित स्ट्रिंग्स के सेट के बीच इस मामले में मौजूद होने वाले द्विभाजन (यानी एक-से-एक पत्राचार) को संदर्भित करता है।

अधिकांश साधारण अंक प्रणाली, जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, द्विध्र हुए नहीं हैं क्योंकि अंक के एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही सकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।विशेष रूप से, अग्रणी शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व किए गए मान को नहीं बदलता है, इसलिए 1, 01 और 001 सभी संख्या 1 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करते हैं।भले ही केवल पहला सामान्य है, तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं, इसका मतलब है कि दशमलव प्रणाली उपनिवेशात्मक नहीं है।हालांकि, केवल एक अंक के साथ, ।

एक द्विध्रुवीय सूत्र- k numaration एक द्विध्रुवीय स्थिति नोटेशन है।यह सेट {1, 2, ..., k } से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है (जहां प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को एनकोड करने के लिए k '1);स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति k की शक्ति के कई के रूप में इसके मूल्य को परिभाषित करती है। Smullyan (1961) इस संकेतन k-adic को कॉल करता है, लेकिन इसे p-adic नंबर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। P-adic नंबर: द्विधिकता अंक nonzero अंकों के परिमित तार द्वारा साधारण पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है, जबकि P-adic संख्या एक प्रणाली हैगणितीय मूल्यों में एक सबसेट के रूप में पूर्णांक होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत अनुक्रमों की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा

RADIX | BASE-K Fijective Numeration System अंक-सेट {1, 2, ..., k} (k) 1) का उपयोग करता है, जो कि प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करता है, निम्नानुसार है:

पूर्णांक शून्य को खाली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है।
पूर्णांक गैर-अंक-स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया गया है

a n a n -1 ... a 1 a 0

है

a n k n + a n -1 k n -1 + ... + a 1 k 1 + a 0 k 0

।

इंटेगर एम एंड जीटी का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग;0 है

a n a n -1 ... a 1 a 0

कहाँ पे

{\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}

और

f(x)=\lceil x\rceil -1,

\lceil x\rceil

कम से कम पूर्णांक होने के नाते एक्स (छत का समारोह) से कम नहीं है।

इसके विपरीत, मानक स्थितिगत संकेतन को एक समान पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म के साथ परिभाषित किया जा सकता है

f(x)=\lfloor x\rfloor ,

पूर्णांक को एक्सटेंशन

आधार के लिए $k>1$ , द्विध्रुव आधार- $k$ संख्यात्मक प्रणाली को नकारात्मक पूर्णांक रेडिक्स पूरक के लिए बढ़ाया जा सकता है | उसी तरह से मानक आधार- $b$ अंक की एक अनंत संख्या के उपयोग से अंक प्रणाली $d_{k-1}$ , कहाँ पे $f(d_{k-1})=k-1$ , अंकों के बाएं-अनंत अनुक्रम के रूप में प्रतिनिधित्व किया $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ ।ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग

g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1

जिसका अर्थ है कि

g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0

और हर सकारात्मक संख्या के लिए $n$ द्विध्रुवीय अंकन अंकन के साथ $d$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$ ।आधार के लिए $k>2$ , नकारात्मक संख्या $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ साथ $i<k-1$ , जबकि आधार के लिए $k=2$ , नकारात्मक संख्या $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k}}}d$ ।यह समान है कि हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन, सभी पूर्णांक में कैसे $n$ अंक अभ्यावेदन के साथ $d$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{0}}}d$ कहाँ पे $f(d_{0})=0$ ।यह प्रतिनिधित्व अब द्वैध नहीं है, क्योंकि अंक के बाएं-अनंत अनुक्रमों के पूरे सेट का उपयोग पी-एडिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। $k$ -एक पूर्णांक, जिनमें से पूर्णांक केवल एक सबसेट हैं।

बायजेक्टिव बेस-के अंकों के गुण

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 2$ ,

एक नॉनगेटिव पूर्णांक n का प्रतिनिधित्व करने वाले द्विध्रुव आधार-के अंक में अंकों की संख्या है
लॉगरिदम | $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ,^[1] फर्श और छत के कार्यों के विपरीत#अंकों की संख्या | $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ साधारण बेस-के अंकों के लिए;
यदि k = 1 (यानी, unary), तो अंकों की संख्या सिर्फ n है;
सबसे छोटा नॉनगेटिव इंटेगर, लंबाई के एक द्विध्रुवीय आधार-के अंक में प्रतिनिधित्व योग्य $l\geq 0$ , है
$min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ ;
सबसे बड़ा नॉनगेटिव पूर्णांक, लंबाई के एक द्विध्रुवीय आधार-के अंक में प्रतिनिधित्व योग्य $l\geq 0$ , है
$max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ , के बराबर $max(l)=k\times min(l)$ , या $max(l)=min(l+1)-1$ ;
एक नॉनगेटिव पूर्णांक n के लिए द्विध्रुव आधार-के और साधारण बेस-के अंक समान हैं यदि और केवल अगर साधारण अंक में अंक 0 नहीं होता है (या, समतुल्य रूप से, द्विध्रुवीय संख्या न तो खाली स्ट्रिंग है और न ही अंक k होता है तो अंक k होता है।)।

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 1$ ,

बिल्कुल हैं $k^{l}$ लंबाई के द्विध्रुवीय आधार-के अंक $l\geq 0$ ;^[2]
प्रतिनिधित्व किए गए पूर्णांक के प्राकृतिक क्रम में द्विध्रुव आधार-के अंकों की एक सूची, स्वचालित रूप से शॉर्टलेक्स ऑर्डर में होती है (प्रत्येक लंबाई के भीतर सबसे छोटा, लेक्सिकोग्राफिक)।इस प्रकार, खाली स्ट्रिंग को निरूपित करने के लिए λ का उपयोग करके, आधार 1, 2, 3, 8, 10, 12, और 16 अंक इस प्रकार हैं (जहां सामान्य अभ्यावेदन तुलना के लिए सूचीबद्ध हैं):

bijective base 1:	`λ`	`1`	`11`	`111`	`1111`	`11111`	`111111`	`1111111`	`11111111`	`111111111`	`1111111111`	`11111111111`	`111111111111`	`1111111111111`	`11111111111111`	`111111111111111`	`1111111111111111`	`...`	(unary numeral system)
bijective base 2:	`λ`	`1`	`2`	`11`	`12`	`21`	`22`	`111`	`112`	`121`	`122`	`211`	`212`	`221`	`222`	`1111`	`1112`	`...`
binary:	`0`	`1`	`10`	`11`	`100`	`101`	`110`	`111`	`1000`	`1001`	`1010`	`1011`	`1100`	`1101`	`1110`	`1111`	`10000`	`...`
bijective base 3:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`11`	`12`	`13`	`21`	`22`	`23`	`31`	`32`	`33`	`111`	`112`	`113`	`121`	`...`
ternary:	`0`	`1`	`2`	`10`	`11`	`12`	`20`	`21`	`22`	`100`	`101`	`102`	`110`	`111`	`112`	`120`	`121`	`...`
bijective base 8:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`18`	`...`
octal:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`20`	`...`
bijective base 10:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
decimal:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
bijective base 12:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
duodecimal:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
bijective base 16:	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`...`
hexadecimal:	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`10`	`...`

उदाहरण

34152 (द्विध्रुवीय आधार -5 में) = 3 × 5⁴ + 4 × 5³ + 1 × 5² + 5 × 5¹ + 2 × 1 = 2427 (दशमलव में)।

119a (द्विध्रुवीय आधार -10 में, अंक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के साथ दस) = 1 × 10³ + 1 × 10² + 9 × 10¹ + 10 × 1 = 1200 (दशमलव में)।

26 से अधिक तत्वों के साथ एक विशिष्ट वर्णमाला सूची द्विध्रुवीय है, ए, बी, सी ... एक्स, वाई, जेड, एए, एबी, एसी ... जेडएक्स, जेडवाई, जेडजेड, एएए, एएबी, एएसी के क्रम का उपयोग करके...

द्विध्रुव आधार -10 प्रणाली

द्विध्रुवीय आधार -10 प्रणाली एक आधार 10 (संख्या) स्थितीय संख्यात्मक प्रणाली है जो 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंक का उपयोग नहीं करती है।इसके बजाय दस का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंक है, जैसे ए।

पारंपरिक दशमलव के साथ, प्रत्येक अंकों की स्थिति दस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए 123 एक सौ, प्लस दो टेंस, प्लस तीन इकाइयाँ हैं।सभी सकारात्मक पूर्णांक जो पारंपरिक दशमलव (जैसे 123) में गैर-शून्य अंकों के साथ पूरी तरह से प्रतिनिधित्व करते हैं, वे शून्य के बिना दशमलव में एक ही प्रतिनिधित्व करते हैं।जो लोग शून्य का उपयोग करते हैं, उन्हें फिर से लिखा जाना चाहिए, इसलिए उदाहरण के लिए 10 ए हो जाता है, पारंपरिक 20 1 ए हो जाता है, पारंपरिक 100 9 ए हो जाता है, पारंपरिक 101 ए 1 हो जाता है, पारंपरिक 302 2 ए 2 हो जाता है, पारंपरिक 1000 99 ए हो जाता है, पारंपरिक 1110 एएए बन जाता है, पारंपरिक 2010 19 एएएस बन जाता है, और इसी तरह।

एक शून्य के बिना दशमलव में जोड़ और गुणन अनिवार्य रूप से पारंपरिक दशमलव के साथ ही होते हैं, सिवाय इसके कि एक स्थिति दस से अधिक होने पर होती है, बजाय इसके कि जब यह नौ से अधिक हो जाता है।तो 643 + 759 की गणना करने के लिए, बारह इकाइयां हैं (दाईं ओर 2 लिखें और 1 को टेंस तक ले जाएं), दस दसियों (सैकड़ों को ले जाने की कोई आवश्यकता नहीं है), तेरह सैकड़ों (3 लिखें और 1 को ले जाएं और 1 को ले जाएं।हजारों), और एक हजार (लिखें 1), परिणाम को पारंपरिक 1402 के बजाय 13a2 देने के लिए।

द्विध्रुव आधार -26 प्रणाली

द्विध्रुवीय आधार -26 प्रणाली में एक 26 अंकों के मान 1 (संख्या) से 26 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने के लिए लैटिन वर्णमाला अक्षरों A से Z का उपयोग कर सकता है। छतें।(A = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26)

संकेतन की इस पसंद के साथ, संख्या अनुक्रम (1 से शुरू) A, B, C, ..., X, y, Z, Aa, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB से शुरू होता है, ई.पू., ...

प्रत्येक अंक स्थिति छब्बीस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए, अंक एबीसी मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731 आधार 10 में।

Microsoft Excel सहित कई स्प्रेडशीट इस प्रणाली का उपयोग एक स्प्रेडशीट के कॉलम में लेबल असाइन करने के लिए करते हैं, A, B, C, ..., Z, AA, AA, AB, ..., Az, Ba, ..., ZZ, AAA शुरू करें, आदि उदाहरण के लिए, एक्सेल 2013 में, 16384 कॉलम (2) तक हो सकता है¹⁴ बाइनरी कोड में), A से XFD तक लेबल किया गया।^[3] इस प्रणाली के एक प्रकार का उपयोग चर स्टार पदनाम के नाम के लिए किया जाता है।^[4] यह किसी भी समस्या पर लागू किया जा सकता है जहां अक्षरों का उपयोग करके एक व्यवस्थित नामकरण वांछित होता है, जबकि सबसे कम संभव तार का उपयोग करता है।

ऐतिहासिक नोट्स

तथ्य यह है कि प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक का द्विध्रुव आधार-के (k) 1) में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है, एक गणितीय लोककथा है जिसे कई बार फिर से खोजा गया है।शुरुआती उदाहरण हैं Foster (1947) मामले के लिए k = 10, और Smullyan (1961) और Böhm (1964) सभी k of 1. के लिए Smullyan इस प्रणाली का उपयोग एक तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के तार की एक gödel नंबरिंग प्रदान करने के लिए करता है;Böhm प्रोग्रामिंग भाषा p ′ ′ में गणना करने के लिए इन अभ्यावेदन का उपयोग करता है। Knuth (1969) k = 10 के विशेष मामले का उल्लेख करता है, और Salomaa (1973) मामलों k ≥ 2 पर चर्चा करता है। Forslund (1995) एक और पुनर्वितरण प्रतीत होता है, और परिकल्पना करता है कि यदि प्राचीन नंबरों प्रणालियों ने द्विध्र हुए आधार-के का उपयोग किया है, तो उन्हें इस प्रणाली के साथ सामान्य अपरिचितता के कारण पुरातात्विक दस्तावेजों में इस तरह से मान्यता नहीं दी जा सकती है।

↑ "How many digits are in the bijective base-k numeral for n?". Stackexchange. Retrieved 22 September 2018.
↑ Forslund (1995).
↑ Harvey, Greg (2013), Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, ISBN 9781118550007.
↑ Hellier, Coel (2001), "Appendix D: Variable star nomenclature", Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer, p. 197, ISBN 9781852332112.

संदर्भ

Böhm, C. (July 1964), "On a family of Turing machines and the related programming language", ICC Bulletin, 3: 191.
Forslund, Robert R. (1995), "A logical alternative to the existing positional number system", Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664.
Foster, J. E. (1947), "A number system without a zero symbol", Mathematics Magazine, 21 (1): 39–41, doi:10.2307/3029479, JSTOR 3029479.
Knuth, D. E. (1969), The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (1st ed.), Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195. (Discusses bijective base-10.)
Salomaa, A. (1973), Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91. (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
Smullyan, R. (1961), "9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers", Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 47, Princeton University Press, pp. 34–36.

[1] "How many digits are in the bijective base-k numeral for n?". Stackexchange. Retrieved 22 September 2018.

[FOOTNOTEForslund1995-2] Forslund (1995).

[3] Harvey, Greg (2013), Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, ISBN 9781118550007.

[4] Hellier, Coel (2001), "Appendix D: Variable star nomenclature", Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer, p. 197, ISBN 9781852332112.

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द्विध्रुवीय संख्या

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