द्वैध उपयोग से दो अंकों की संख्याओं का वर्ग - भारती कृष्ण तीर्थ
भूमिका
इस अध्याय में, हम किसी भी यादृच्छिक संख्या का वर्ग ज्ञात करना सीखेंगे। संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए हम इसका प्रयोग करेंगे
"द्वन्द्व योग"
"द्वैध संयोजन प्रक्रिया"[1]
द्वैध
'डुप्लेक्स' शब्द का प्रयोग दो भिन्न अर्थों में किया जाता है; वर्ग करने के लिए और गुणन के लिए। और वर्तमान सूत्र के लिए, यह दोनों अर्थों में प्रयोग किया जाएगा। यदि हमारे पास एक एकल या केंद्रीय अंक है, तो 'डुप्लेक्स' का अर्थ उस अंक (a2) का वर्ग करना है। दूसरे, इसका प्रयोग सम अंकों की संख्याओं के लिए या समदूरस्थ अंकों वाली संख्याओं पर किया जा सकता है, तो 'द्वैध' का अर्थ समदूरस्थ संख्याओं(2ab) का दुगुना या वज्र गुणन करना है। आइए इसे और समझने के लिए कुछ उदाहरण देखें। हम डुप्लेक्स को प्रतीक D द्वारा निरूपित करते हैं। 1. किसी एक अंक की संख्या का द्वैध उसका वर्ग होता है।
D (4) = 42 = 16; D (7) = 72 = 49; D (6) = 62 = 36
2. दो अंकों की संख्या का द्वैध दोनों संख्याओं के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
D (3 2) = 2 (3 X 2) = 12
D (4 5) = 2 (4 X 5) = 40
D (8 0) = 2 (8 X 0) = 0
3. एक त्रि-अंकीय संख्या का द्वैध पहले और अंतिम अंक के गुणनफल के दोगुने + मध्य अंक का वर्ग के बराबर होता है, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
तीन अंकों की संख्या के लिए, हम पहले और अंतिम अंक की जोड़ी बनाते हैं और इसे दो अंकों की संख्या के रूप में लेते हैं और मध्य अंक को एक अंक की संख्या के रूप में लेते हैं। उनके द्वैध खोजें और उन्हें जोड़ें।
D (1 3 5 ) = 2(1 X 5) + 32 = 10 + 9 = 19
D (4 0 7) = 2(4 X 7) + 02 = 56 + 0 = 56
D (2 1 3) = 2(2 X 3) + 12 = 12 + 1 = 13
4. चार अंकों की संख्या का द्वैध, पहले और अंतिम अंक के गुणनफल का दुगुना + दूसरे और तीसरे अंक के गुणनफल, का दुगुना होता है। जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
D (1 2 3 4) = 2(1 X 4) + 2(2 X 3) = 8 + 12 = 20
D (4 2 5 7) = 2(4 X 7) + 2(2 X 5) = 56 + 20 = 76
D (3 9 1 5) = 2(3 X 5) + 2(9 X 1) = 30 + 18 = 48
5. पांच अंकों की संख्या का द्वैध, पहले और अंतिम अंक के गुणनफल का दुगुना + दूसरे और चौथे अंक के गुणनफल का दुगुना + तीसरे अंक का वर्ग, होता है। जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
D (1 2 3 4 5) = 2(1 X 5) + 2(2 X 4) + 32 = 10 + 16 + 9 = 35
D (4 2 5 7 8) = 2(4 X 8) + 2(2 X 7) + 52 = 64+ 28 + 25 = 117
D (3 9 1 5 6) = 2(3 X 6) + 2(9 X 5) + 12 = 36 + 90 + 1 = 127
नीचे दिए गए चित्र में बड़ी संख्या के जोड़े बनाने की विधि को दिखाया गया है।
द्वैध का उपयोग करके किसी भी संख्या का वर्ग
किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम "उर्ध्वतिर्यग्भ्याम" के साथ "द्वन्द्व योग" का प्रयोग करते हैं।
| द्वन्द्व योग
"द्वन्द्व योग" "द्वैध संयोजन प्रक्रिया" |
+ | ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्
"ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्" " ऊर्ध्वाधर और अनुप्रस्थ/आड़े " |
विस्तृत प्रकीयाओं को नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया जाएगा।
दो अंकों की संख्या का वर्ग
उदाहरण: 232
यह दो अंकों की संख्या है। दायीं ओर से शुरू करने पर हमें तीन भागों में उत्तर मिलते हैं।
| Left Hand Side (LHS) | Middle | Right Hand Side (RHS) |
|---|---|---|
| सबसे बाएँ अंक का द्वैध (2)
D(2) = 22 = 4 |
23 के दोनों अंको का द्वैध
D(23) = 2(2 X 3) = 12 |
सबसे दायें अंक का द्वैध (3)
D(3) = 32 = 9 |
| 4 | 12 | 9 |
| 4 | 2 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें | 9 |
| 4 + 1 को आगे स्थानांतरित करें | 2 | 9 |
| 5 | 2 | 9 |
उत्तर : 232 = 529
उदाहरण: 672
| Left Hand Side (LHS) | Middle | Right Hand Side (RHS) |
|---|---|---|
| सबसे बाएं अंक का द्वैध (6)
D(6) = 62 = 36 |
67 के दोनों अंको का द्वैध
D(67) = 2(6 X 7) = 84 |
सबसे दाहिने अंक का द्वैध (7)
D(7) = 72 = 49 |
| 36 | 84 | 49 |
| 36 | 84 | 9 रखें और 4 को आगे स्थानांतरित करें |
| 36 | 84 + 4 को आगे स्थानांतरित करें | 9 |
| 36 | 88 | 9 |
| 36 | 8 रखें और 8 को आगे स्थानांतरित करें | 9 |
| 36 + 8 को आगे स्थानांतरित करें | 8 | 9 |
| 44 | 8 | 9 |
उत्तर : 672 = 4489
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ "सिंघल, वंदना (2007)। वैदिक गणित सभी उम्र के लिए - एक शुरुआती गाइड। दिल्ली: मोतीलाल बनारसीदास. पृष्ठ 221-226 । ISBN 978-81-208-3230-5." (Singhal, Vandana (2007). Vedic Mathematics For All Ages - A Beginners' Guide. Delhi: Motilal Banarsidass. p.221-226. ISBN 978-81-208-3230-5.)