ध्रुवीकरण की पहचान

This article is about quadratic forms. For formulas for higher-degree polynomials, see Polarization of an algebraic form.

ध्रुवीकरण पहचान में शामिल वेक्टर $2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$

रैखिक बीजगणित में, गणित की एक शाखा, ध्रुवीकरण पहचान सूत्रों के परिवार में से कोई एक है जो एक मानक वेक्टर अंतरिक्ष के नॉर्म (गणित) के संदर्भ में दो वेक्टर (ज्यामिति) के आंतरिक उत्पाद को व्यक्त करता है।

यदि कोई नॉर्म (गणित) किसी आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न होता है तो इस आंतरिक उत्पाद को पूरी तरह से मानक के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग किया जा सकता है। ध्रुवीकरण पहचान से पता चलता है कि एक मानदंड अधिकतम एक आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न हो सकता है; हालाँकि, ऐसे मानदंड मौजूद हैं जो किसी आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न नहीं होते हैं।

किसी भी आंतरिक उत्पाद स्थान से जुड़ा मानदंड समांतर चतुर्भुज कानून को संतुष्ट करता है: $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.$ वास्तव में, जैसा कि जॉन वॉन न्यूमैन ने देखा, समांतर चतुर्भुज कानून उन मानदंडों की विशेषता बताता है जो आंतरिक उत्पादों से उत्पन्न होते हैं। एक सामान्य सदिश स्थान दिया गया है $(H,\|\cdot \|)$, समांतर चतुर्भुज कानून लागू होता है $\|\cdot \|$ यदि और केवल यदि कोई आंतरिक उत्पाद मौजूद है $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पर $H$ ऐसा है कि $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ सभी के लिए $x\in H,$ इस मामले में यह आंतरिक उत्पाद ध्रुवीकरण पहचान के माध्यम से मानक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

ध्रुवीकरण पहचान

सदिश समष्टि पर कोई भी आंतरिक उत्पाद समष्टि समीकरण द्वारा एक मानदंड उत्पन्न करती है

$$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$$

ध्रुवीकरण की पहचान इस रिश्ते को उलट देती है, आंतरिक उत्पाद को आदर्श से पुनर्प्राप्त करती है। प्रत्येक आंतरिक उत्पाद संतुष्ट करता है:

$$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.$$

के लिए समाधान $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle$ सूत्र देता है $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$ यदि आंतरिक उत्पाद वास्तविक है तो $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle$ और यह सूत्र वास्तविक आंतरिक उत्पादों के लिए ध्रुवीकरण पहचान बन जाता है।

वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान

यदि सदिश समष्टि वास्तविक संख्याओं से अधिक है तो ध्रुवीकरण पहचानें हैं:

$${\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$$

ये विभिन्न रूप समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार समतुल्य हैं:

$$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$$

इससे यह भी पता चलता है $L^{p}$ क्लास कभी भी हिल्बर्ट स्थान नहीं है $p\neq 2$, क्योंकि समांतर चतुर्भुज कानून संतुष्ट नहीं है। प्रतिउदाहरण के लिए, विचार करें $x=1_{A}$ और $y=1_{B}$ किन्हीं दो असंयुक्त उपसमुच्चयों के लिए $A,B$ सामान्य डोमेन का $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ और समांतर चतुर्भुज कानून के तहत दोनों सेटों के माप की गणना करें।

जटिल वेक्टर रिक्त स्थान

जटिल संख्याओं पर वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, उपरोक्त सूत्र बिल्कुल सही नहीं हैं क्योंकि वे (जटिल) आंतरिक उत्पाद के काल्पनिक भाग का वर्णन नहीं करते हैं। हालाँकि, एक अनुरूप अभिव्यक्ति यह सुनिश्चित करती है कि वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बरकरार रहें। आंतरिक उत्पाद का जटिल हिस्सा इस बात पर निर्भर करता है कि यह पहले या दूसरे तर्क में एंटीलीनियर मानचित्र है या नहीं। संकेतन $\langle x|y\rangle ,$ जो आमतौर पर भौतिकी में उपयोग किया जाता है उसे एंटीलीनियर मानचित्र माना जाएगा first तर्क जबकि $\langle x,\,y\rangle ,$ जो आमतौर पर गणित में उपयोग किया जाता है, उसे एंटीलीनियर माना जाएगा second तर्क। वे सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

$$\langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

किसी भी आंतरिक उत्पाद का वास्तविक हिस्सा (कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा तर्क एंटीलीनियर है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह वास्तविक या जटिल है) एक सममित द्विरेखीय मानचित्र है जो किसी के लिए भी है $x,y\in H$ हमेशा इसके बराबर होता है:

$${\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$$

यह हमेशा एक सममित मानचित्र होता है, जिसका अर्थ है

$$R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$

और यह संतुष्ट भी करता है:

$$R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

इस प्रकार $R(ix,y)=-R(x,iy),$ जो स्पष्ट अंग्रेजी में कहता है कि एक कारक को स्थानांतरित करना $i={\sqrt {-1}}$ दूसरे तर्क के लिए, एक नकारात्मक चिह्न प्रस्तुत करें।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof of properties of $R$

होने देना $$R(x,y):={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).$$ तब $2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}$ तात्पर्य $$R(x,y)={\frac {1}{4}}\left(\left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)-\|x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$$ और $$R(x,y)={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x+y\|^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$$ इसके अतिरिक्त, $$4R(x,y)=\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=\|y+x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=4R(y,x),$$ जो यह साबित करता है $R(x,y)=R(y,x).$ से $1=i(-i)$ यह इस प्रकार है कि $y-ix=i(-iy-x)=-i(x+iy)$ और $y+ix=i(-iy+x)=i(x-iy)$ ताकि $$-4R(y,ix)=\|y-ix\|^{2}-\|y+ix\|^{2}=\|(-i)(x+iy)\|^{2}-\|i(x-iy)\|^{2}=\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}=4R(x,iy),$$ जो यह साबित करता है $R(y,ix)=-R(x,iy).$ $\blacksquare$

इसके वास्तविक भाग के विपरीत, एक जटिल आंतरिक उत्पाद का काल्पनिक भाग इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा तर्क एंटीलाइनियर है।

पहले तर्क में प्रतिरेखीय

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण पहचान $\langle x\,|\,y\rangle ,$ जो कि एंटीलीनियर मैप है firstतर्क, हैं

${\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}$

कहाँ $x,y\in H.$ दूसरी से अंतिम समानता एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों के सूत्र के समान है $\varphi$ इसके वास्तविक भाग के संदर्भ में: $\varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).$ दूसरे तर्क में प्रतिरेखीय

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण पहचान $\langle x,\ y\rangle ,$ जो कि एंटीलीनियर मैप है second तर्क, उसी से अनुसरण करता है $\langle x\,|\,y\rangle$ रिश्ते से:

$\langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.$ तो किसी के लिए $x,y\in H,$

${\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$

इस अभिव्यक्ति को सममित रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.$$

दोनों मामलों का सारांश

इस प्रकार यदि $R(x,y)+iI(x,y)$ बिंदु पर किसी आंतरिक उत्पाद के मूल्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाता है $(x,y)\in H\times H$ इसके डोमेन का, तो इसका काल्पनिक भाग होगा:

$$I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}$$

जहां अदिश राशि $i$ हमेशा एक ही तर्क में स्थित होता है कि आंतरिक उत्पाद एंटीलीनियर होता है।

का उपयोग करते हुए $R(ix,y)=-R(x,iy),$ काल्पनिक भाग के लिए उपरोक्त सूत्र बन जाता है:

$$I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}$$

आंतरिक उत्पाद का पुनर्निर्माण

एक आदर्श स्थान में $(H,\|\cdot \|),$ यदि समांतर चतुर्भुज नियम

$$\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

धारण करता है, तो एक अद्वितीय आंतरिक उत्पाद मौजूद होता है $\langle \cdot ,\ \cdot \rangle$ पर $H$ ऐसा है कि $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ सभी के लिए $x\in H.$

Proof

We will only give the real case here; the proof for complex vector spaces is analogous.

By the above formulas, if the norm is described by an inner product (as we hope), then it must satisfy

$$\langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$

which may serve as a definition of the unique candidate $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ for the role of a suitable inner product. Thus, the uniqueness is guaranteed.

It remains to prove that this formula indeed defines an inner product and that this inner product induces the norm $\|\cdot \|.$ Explicitly, the following will be shown:

1. $\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H$
2. $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H$
3. $\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,$
4. $\langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R}$

(This axiomatization omits positivity, which is implied by (1) and the fact that $\|\cdot \|$ is a norm.)

For properties (1) and (2), substitute: ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ and $\|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.$

For property (3), it is convenient to work in reverse. It remains to show that

$$\|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}$$

or equivalently,

$$2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.$$

Now apply the parallelogram identity:

$$2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}$$

$$2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}$$

Thus it remains to verify:

$${\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$$

$$\|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$$

But the latter claim can be verified by subtracting the following two further applications of the parallelogram identity:

$$\|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

$$\|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

Thus (3) holds.

It can be verified by induction that (3) implies (4), as long as $\alpha \in \mathbb {Z} .$ But "(4) when $\alpha \in \mathbb {Z}$" implies "(4) when $\alpha \in \mathbb {Q}$". And any positive-definite, real-valued, $\mathbb {Q}$-bilinear form satisfies the Cauchy–Schwarz inequality, so that $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is continuous. Thus $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ must be $\mathbb {R}$-linear as well.

एक आंतरिक उत्पाद के अस्तित्व के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त जो किसी दिए गए मानदंड को प्रेरित करती है $\|\cdot \|$ टॉलेमी की असमानता को संतुष्ट करने का मानक है, जो है:

$$\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.$$

अनुप्रयोग और परिणाम

अगर $H$ तब यह एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $\langle x\mid y\rangle$ वास्तविक है यदि और केवल यदि इसका काल्पनिक भाग है $0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right),$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि $\|x+iy\|=\|x-iy\|.$ इसी प्रकार, $\langle x\mid y\rangle$ (विशुद्ध रूप से) काल्पनिक है यदि और केवल यदि $\|x+y\|=\|x-y\|.$ उदाहरण के लिए, से $\|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|$ इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है $\langle x|x\rangle$ असली है और वह $\langle x|ix\rangle$ पूर्णतः काल्पनिक है.

आइसोमेट्री

अगर $A:H\to Z$ दो हिल्बर्ट स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र आइसोमेट्री है (इसलिए)। $\|Ah\|=\|h\|$ सभी के लिए $h\in H$) तब

$$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;$$

अर्थात्, रैखिक आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है।

अगर $A:H\to Z$ इसके बजाय यह एक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्री है

$$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.$$

कोसाइन के नियम से संबंध

ध्रुवीकरण पहचान का दूसरा रूप इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

यह मूलतः सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के कोसाइन के नियम का एक सदिश रूप है ${\textbf {u}},{\textbf {v}},$ और ${\textbf {u}}-{\textbf {v}}.$ विशेष रूप से,

$${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,$$

कहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है ${\textbf {u}}$ और ${\textbf {v}}.$ यदि विनाशकारी रद्दीकरण के कारण यू और वी समान हैं तो समीकरण संख्यात्मक रूप से अस्थिर है और संख्यात्मक गणना के लिए इससे बचा जाना चाहिए।

व्युत्पत्ति

मानक और डॉट उत्पाद के बीच मूल संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है

$$\|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.$$

तब

$${\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}$$

और इसी तरह

$$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

ध्रुवीकरण पहचान के रूप (1) और (2) अब इन समीकरणों को हल करके अनुसरण करते हैं ${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}},$ जबकि इन दोनों समीकरणों को घटाने पर फॉर्म (3) बनता है। (इन दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर समांतर चतुर्भुज नियम प्राप्त होता है।)

सामान्यीकरण

सममित द्विरेखीय रूप

ध्रुवीकरण की पहचान आंतरिक उत्पादों तक ही सीमित नहीं है। अगर $B$ सदिश समष्टि पर कोई सममित द्विरेखीय रूप है, और $Q$ द्वारा परिभाषित द्विघात रूप है

$$Q(v)=B(v,v),$$

तब

$${\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}$$

तथाकथित सजातीय बहुपद बाद वाले सूत्र को प्रतिस्थापित करते हुए सामान्यीकृत करता है $Q$ डिग्री के एक सजातीय बहुपद द्वारा $k$ द्वारा परिभाषित $Q(v)=B(v,\ldots ,v),$ कहाँ $B$ एक सममिति है $k$-रेखीय मानचित्र. उपरोक्त सूत्र उस मामले में भी लागू होते हैं जहां स्केलर (गणित) के क्षेत्र (गणित) में विशेषता (बीजगणित) दो होते हैं, हालांकि इस मामले में बाएं हाथ के सभी पक्ष शून्य हैं। नतीजतन, विशेषता दो में द्विघात रूप के संदर्भ में सममित द्विरेखीय रूप के लिए कोई सूत्र नहीं है, और वे वास्तव में अलग-अलग धारणाएं हैं, एक तथ्य जिसका एल-सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम हैं; संक्षिप्तता के लिए, इस संदर्भ में सममित द्विरेखीय रूपों को अक्सर सममित रूपों के रूप में जाना जाता है।

ये सूत्र एक क्रमविनिमेय रिंग के ऊपर मॉड्यूल (गणित) पर द्विरेखीय रूपों पर भी लागू होते हैं, हालांकि फिर से कोई केवल इसके लिए हल कर सकता है $B(u,v)$ यदि 2 रिंग में उलटा है, और अन्यथा ये अलग-अलग धारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के ऊपर, कोई पूर्णांक से पूर्णांक द्विघात रूपों को अलग करता है symmetric रूप, जो एक संकीर्ण धारणा है।

अधिक आम तौर पर, एक रिंग इनवॉल्यूशन की उपस्थिति में या जहां 2 उलटा नहीं होता है, कोई ε-द्विघात रूप को अलग करता है|$\varepsilon$-द्विघात रूप और ε-सममित रूप|$\varepsilon$-सममित रूप; एक सममित रूप एक द्विघात रूप को परिभाषित करता है, और एक द्विघात रूप से एक सममित रूप में ध्रुवीकरण पहचान (2 के कारक के बिना) को सममितीकरण मानचित्र कहा जाता है, और सामान्य रूप से एक समरूपता नहीं है। यह ऐतिहासिक रूप से एक सूक्ष्म अंतर रहा है: 1950 के दशक तक पूर्णांकों पर दो (अभिन्न) के बीच संबंध नहीं था quadratic रूप) और द्विज (अभिन्न) में symmetric रूप) समझ में आया - अभिन्न द्विघात रूप पर चर्चा देखें; और सर्जरी सिद्धांत के बीजगणित में, मिशचेंको ने मूल रूप से उपयोग किया था symmetric एल-समूह, बजाय सही के quadratic एल-समूह (जैसा कि वॉल और रानीकी में) - एल-सिद्धांत पर चर्चा देखें।

उच्च डिग्री के सजातीय बहुपद

अंत में, इनमें से किसी भी संदर्भ में इन पहचानों को एक बहुपद की मनमानी डिग्री के सजातीय बहुपद (अर्थात, बीजगणितीय रूप) तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसे ध्रुवीकरण सूत्र के रूप में जाना जाता है, और ध्रुवीकरण पर लेख में अधिक विस्तार से समीक्षा की गई है बीजगणितीय रूप का.

यह भी देखें

• Inner product space
• Law of cosines
• Mazur–Ulam theorem
• Minkowski distance
• Parallelogram law
• Ptolemy's inequality

ग्रन्थसूची

• Lax, Peter D. (2002). Functional Analysis (PDF). Pure and Applied Mathematics. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143. Retrieved July 22, 2020.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.