निकटता (गणित)

This article is about the relation between two sets. For the description a single set, see Closedness.

निकटता टोपोलॉजी और गणित में संबंधित क्षेत्रों में एक बुनियादी अवधारणा है। सहज रूप से हम कहते हैं कि दो सेट करीब हैं अगर वे मनमाने ढंग से एक दूसरे के करीब हैं। अवधारणा को एक मीट्रिक स्थान में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है जहां अंतरिक्ष के तत्वों के बीच की दूरी की धारणा को परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां हमारे पास दूरियों को मापने का कोई ठोस तरीका नहीं है।

बंद करने वाला ऑपरेटर किसी दिए गए सेट को एक बंद सेट पर मैप करके बंद कर देता है जिसमें मूल सेट और उसके करीब सभी बिंदु होते हैं। निकटता की अवधारणा सीमा बिंदु से संबंधित है।

परिभाषा

एक मीट्रिक स्थान दिया गया $(X,d)$ एक बिंदु $p$ एक सेट के करीब या निकट कहा जाता है $A$ अगर

$d(p,A)=0$,

जहां एक बिंदु और एक सेट के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है

$d(p,A):=\inf _{a\in A}d(p,a)$

जहाँ inf निम्नतम और उच्चतम के लिए खड़ा है। इसी तरह एक सेट $B$ एक सेट के करीब कहा जाता है $A$ अगर

$d(B,A)=0$

कहाँ

$d(B,A):=\inf _{b\in B}d(b,A)$.

गुण

• यदि एक बिंदु $p$ सेट के करीब है $A$ और एक सेट $B$ तब $A$ और $B$ करीब हैं (बातचीत (तर्क) सच नहीं है!)।
• एक बिंदु और एक सेट के बीच की निकटता को निरंतर कार्यों द्वारा संरक्षित किया जाता है
• दो सेटों के बीच निकटता समान रूप से निरंतर कार्यों द्वारा संरक्षित होती है

== एक बिंदु और एक सेट == के बीच निकटता संबंध

होने देना $V$ कुछ सेट हो। के बिंदुओं के बीच संबंध $V$ और के उपसमुच्चय $V$ एक निकटता संबंध है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

होने देना $A$ और $B$ के दो उपसमुच्चय हों $V$ और $p$ में एक बिंदु $V$.

• अगर $p\in A$ तब $p$ इसके करीब है $A$.
• अगर $p$ इसके करीब है $A$ तब $A\neq \emptyset$
• अगर $p$ इसके करीब है $A$ और $B\supset A$ तब $p$ इसके करीब है $B$
• अगर $p$ इसके करीब है $A\cup B$ तब $p$ इसके करीब है $A$ या $p$ इसके करीब है $B$
• अगर $p$ इसके करीब है $A$ और हर बिंदु के लिए $a\in A$, $a$ इसके करीब है $B$, तब $p$ इसके करीब है $B$.

टोपोलॉजिकल स्पेस में एक निकटता संबंध होता है: एक बिंदु को परिभाषित करना $p$ एक उपसमुच्चय के करीब होना $A$ अगर और केवल अगर $p$ के समापन में है $A$ उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है। इसी तरह, एक बिंदु को परिभाषित करते हुए, निकटता संबंध के साथ एक सेट दिया गया है $p$ एक उपसमुच्चय के बंद होने में $A$ अगर और केवल अगर $p$ इसके करीब है $A$ Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, एक सेट पर निकटता संबंध को परिभाषित करना उस सेट पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने के बराबर है।

दो सेटों के बीच निकटता संबंध

होने देना $A$,$B$ और $C$ सेट हो।

• अगर $A$ और $B$ करीब हैं तो $A\neq \emptyset$ और $B\neq \emptyset$
• अगर $A$ और $B$ करीब हैं तो $B$ और $A$ करीब हैं
• अगर $A$ और $B$ करीब हैं और $B\subset C$ तब $A$ और $C$ करीब हैं
• अगर $A$ और $B\cup C$ तो भी करीब हैं $A$ और $B$ करीब हैं या $A$ और $C$ करीब हैं
• अगर $A\cap B\neq \emptyset$ तब $A$ और $B$ करीब हैं

सामान्यीकृत परिभाषा

एक समुच्चय और एक बिंदु के बीच निकटता संबंध को किसी भी सामयिक स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक बिंदु दिया गया $p$, $p$ एक सेट के करीब कहा जाता है $A$ अगर $p\in \operatorname {cl} (A)={\overline {A}}$.

दो समुच्चयों के बीच निकटता संबंध को परिभाषित करने के लिए टोपोलॉजिकल संरचना बहुत कमजोर है और हमें एक समान संरचना का उपयोग करना होगा। एक समान स्थान को देखते हुए, सेट ए और बी को एक दूसरे के लिए 'करीब' कहा जाता है यदि वे सभी प्रतिवेश (टोपोलॉजी) को काटते हैं, अर्थात किसी भी प्रतिवेश यू के लिए, (A×B)∩U खाली नहीं है।

यह भी देखें

• टोपोलॉजिकल स्पेस
• एक समान स्थान