न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक न्यूनतम मॉडल या विरासोरो न्यूनतम मॉडल एक द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है जिसका स्पेक्ट्रम विरासोरो बीजगणित के कई अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन से बनाया गया है। न्यूनतम मॉडलों को वर्गीकृत और हल किया गया है, और एडीई वर्गीकरण का पालन करते हुए पाया गया है। न्यूनतम मॉडल शब्द बीजगणित पर आधारित एक तर्कसंगत सीएफटी को भी संदर्भित कर सकता है जो विरासोरो बीजगणित से बड़ा है, जैसे कि डब्ल्यू-बीजगणित।

विरासोरो बीजगणित का प्रासंगिक प्रतिनिधित्व

अभ्यावेदन

न्यूनतम मॉडल में, विरासोरो बीजगणित का केंद्रीय प्रभार प्रकार का मान लेता है

$c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .$

कहाँ $p,q$ ऐसे सहअभाज्य पूर्णांक हैं $p,q\geq 2$. फिर पतित अभ्यावेदन के अनुरूप आयाम हैं

$h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,$

और वे पहचान का पालन करते हैं

$h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .$

न्यूनतम मॉडलों के स्पेक्ट्रम विरासोरो बीजगणित के अपरिवर्तनीय, पतित निम्नतम-वजन वाले अभ्यावेदन से बने होते हैं, जिनके अनुरूप आयाम प्रकार के होते हैं $h_{r,s}$ साथ

$1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .$

ऐसा प्रतिनिधित्व ${\mathcal {R}}_{r,s}$ एक वर्मा मॉड्यूल का एक कोसेट है जो इसके असीमित कई गैर-तुच्छ उपमॉड्यूल द्वारा है। यह एकात्मक है यदि और केवल यदि $|p-q|=1$. किसी दिए गए केंद्रीय प्रभार पर, वहाँ हैं ${\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ इस प्रकार के विशिष्ट प्रतिनिधित्व. इन अभ्यावेदन के सेट, या उनके अनुरूप आयामों को पैरामीटर के साथ केएसी तालिका कहा जाता है $(p,q)$. केएसी तालिका आमतौर पर आकार के आयत के रूप में बनाई जाती है $(q-1)\times (p-1)$, जहां प्रत्येक प्रतिनिधित्व दो बार दिखाई देता है रिश्ते के कारण

${\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .$

फ्यूजन नियम

बहुगुणित पतित अभ्यावेदन के संलयन नियम ${\mathcal {R}}_{r,s}$ उनके सभी शून्य वैक्टरों से बाधाओं को एन्कोड करें। इसलिए उन्हें द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत#संलयन नियमों से निकाला जा सकता है, जो कि केवल पतित अभ्यावेदन के हैं, जो व्यक्तिगत शून्य वैक्टर से बाधाओं को एनकोड करते हैं।स्पष्ट रूप से, संलयन नियम हैं

${\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,$

जहां रकम दो की वृद्धि से चलती है।

वर्गीकरण

ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल: विकर्ण मामला

किसी भी सहअभाज्य पूर्णांक के लिए $p,q$ ऐसा है कि $p,q\geq 2$, एक विकर्ण न्यूनतम मॉडल मौजूद है जिसके स्पेक्ट्रम में केएसी तालिका में प्रत्येक विशिष्ट प्रतिनिधित्व की एक प्रति शामिल है:

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

$(p,q)$ एच> और $(q,p)$ मॉडल वही हैं.

दो क्षेत्रों के ओपीई में वे सभी क्षेत्र शामिल होते हैं जिन्हें संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमति दी जाती है।

डी-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल

केंद्रीय प्रभार के साथ एक डी-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल $c_{p,q}$ मौजूद है अगर $p$ या $q$ सम और कम से कम है $6$. समरूपता का उपयोग करना $p\leftrightarrow q$ हम मानते हैं कि $q$ तो फिर सम है $p$ अजीब है। स्पेक्ट्रम है

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

जहां रकम खत्म हो गई $r$ दो की वृद्धि से चलाएँ। किसी भी दिए गए स्पेक्ट्रम में, प्रकार के प्रतिनिधित्व को छोड़कर, प्रत्येक प्रतिनिधित्व में बहुलता एक होती है ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ अगर $q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4$, जिसमें बहुलता दो है। ये निरूपण वास्तव में स्पेक्ट्रम के लिए हमारे सूत्र में दोनों शब्दों में दिखाई देते हैं।

दो क्षेत्रों के ओपीई में वे सभी क्षेत्र शामिल हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं, और जो विकर्णता के संरक्षण का सम्मान करते हैं: एक विकर्ण और एक गैर-विकर्ण क्षेत्र का ओपीई केवल गैर-विकर्ण क्षेत्र उत्पन्न करता है, और ओपीई एक ही प्रकार के दो क्षेत्रों से केवल विकर्ण क्षेत्र प्राप्त होते हैं।

इस नियम के लिए अभ्यावेदन की एक प्रति ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ विकर्ण के रूप में गिना जाता है, और दूसरी प्रति को गैर-विकर्ण के रूप में गिना जाता है।

ई-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल

ई-सीरीज़ मिनिमम मॉडल की तीन सीरीज़ हैं। प्रत्येक श्रृंखला एक दिए गए मान के लिए मौजूद है $q\in \{12,18,30\},$ किसी के लिए $p\geq 2$ वह इसके साथ सहप्रधान है $q$. (वास्तव में इसका तात्पर्य है $p\geq 5$.) संकेतन का उपयोग करना $|{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}$, स्पेक्ट्रम पढ़ता है:

${\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .$

उदाहरण

निम्नलिखित ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:

• $(p,q)=(3,2)$ : तुच्छ सीएफटी,
• $(p,q)=(5,2)$ : यांग-ली किनारे विलक्षणता,
• $(p,q)=(4,3)$ : द्वि-आयामी क्रिटिकल आइसिंग मॉडल,
• $(p,q)=(5,4)$ : ट्राइक्रिटिकल आइसिंग मॉडल,
• $(p,q)=(6,5)$ : टेट्राक्रिटिकल आइसिंग मॉडल।

निम्नलिखित डी-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:

• $(p,q)=(6,5)$ : 3-स्टेट क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स मॉडल क्रांतिकता पर,
• $(p,q)=(7,6)$ : ट्राइक्रिटिकल 3-स्टेट पॉट्स मॉडल।

इन मॉडलों की Kac तालिकाएँ, कुछ अन्य Kac तालिकाओं के साथ $2\leq q\leq 6$, हैं:

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}$

संबंधित अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

कोसेट अहसास

सूचकांकों के साथ ए-सीरीज़ न्यूनतम मॉडल $(p,q)$ WZW मॉडल के निम्नलिखित कोसेट से मेल खाता है::${\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .$ यह मानते हुए $p>q$, स्तर $k$ पूर्णांक है यदि और केवल यदि $p=q+1$ यानी यदि और केवल यदि न्यूनतम मॉडल एकात्मक है।

WZW मॉडल के कोसेट के रूप में कुछ न्यूनतम मॉडल, विकर्ण या नहीं, की अन्य अनुभूतियां मौजूद हैं, जरूरी नहीं कि वे समूह पर आधारित हों। $SU(2)$.

सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल

किसी भी केंद्रीय शुल्क के लिए $c\in \mathbb {C}$, एक विकर्ण सीएफटी है जिसका स्पेक्ट्रम सभी पतित अभ्यावेदन से बना है,

${\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

जब केन्द्रीय आवेश की प्रवृत्ति होती है $c_{p,q}$, सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल संबंधित ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल की ओर प्रवृत्त होते हैं। इसका मतलब विशेष रूप से यह है कि पतित निरूपण जो केएसी तालिका में नहीं हैं, वे अलग हो जाते हैं।

लिउविल सिद्धांत

चूंकि लिउविले क्षेत्र सिद्धांत एक सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल में कम हो जाता है जब क्षेत्रों को पतित माना जाता है,जब केंद्रीय शुल्क भेजा जाता है तो यह ए-श्रृंखला के न्यूनतम मॉडल तक कम हो जाता है $c_{p,q}$.

इसके अलावा, ए-सीरीज़ के न्यूनतम मॉडलों की एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है $c\to 1$: सतत स्पेक्ट्रम वाला एक विकर्ण सीएफटी जिसे रंकेल-वाट्स सिद्धांत कहा जाता है, जो कि लिउविले सिद्धांत की सीमा से मेल खाता है $c\to 1^{+}$.

न्यूनतम मॉडल के उत्पाद

न्यूनतम मॉडल के तीन मामले हैं जो दो न्यूनतम मॉडल के उत्पाद हैं। उनके स्पेक्ट्रम के स्तर पर, संबंध हैं:

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .$

न्यूनतम मॉडल के फर्मिओनिक एक्सटेंशन

अगर $q\equiv 0{\bmod {4}}$, ए-सीरीज़ और डी-सीरीज़ $(p,q)$ न्यूनतम मॉडलों में से प्रत्येक में एक फर्मियोनिक विस्तार होता है। इन दो फर्मिओनिक एक्सटेंशन में आधे-पूर्णांक स्पिन वाले फ़ील्ड शामिल हैं, और वे समता-शिफ्ट ऑपरेशन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं।