पास्कल का प्रमेय

पास्कल रेखा GHK स्व-क्रॉसिंग षट्भुज का ABCDEFदीर्घवृत्त में अंकित. षट्भुज की विपरीत भुजाओं का रंग समान होता है।

स्वयं-पार करने वाला षट्भुज ABCDEF, एक वृत्त में अंकित. इसकी भुजाओं को इस प्रकार बढ़ाया गया है कि विपरीत भुजाओं के जोड़े पास्कल रेखा पर प्रतिच्छेद करते हैं। विस्तारित विपरीत भुजाओं के प्रत्येक जोड़े का अपना रंग होता है: एक लाल, एक पीला, एक नीला। पास्कल की रेखा सफेद रंग में दिखाई गई है।

प्रक्षेप्य ज्यामिति में, पास्कल के प्रमेय (जिसे hexagram म मिस्टिकम प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, रहस्यमय हेक्साग्राम के लिए लैटिन) में कहा गया है कि यदि एक शंकु खंड पर छह मनमाने बिंदु चुने जाते हैं (जो एक उपयुक्त संबंध में दीर्घवृत्त, परवलय या अतिशयोक्ति हो सकता है) समतल) और एक षट्भुज बनाने के लिए किसी भी क्रम में रेखा खंडों से जुड़ते हैं, तो षट्भुज के विपरीत किनारे (ज्यामिति) के तीन जोड़े (यदि आवश्यक हो तो विस्तारित पक्ष) तीन बिंदुओं पर मिलते हैं जो एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे पास्कल रेखा कहा जाता है। षट्कोण. इसका नाम ब्लेस पास्कल के नाम पर रखा गया है।

प्रमेय यूक्लिडियन विमान में भी मान्य है, लेकिन विशेष मामलों से निपटने के लिए कथन को समायोजित करने की आवश्यकता है जब विपरीत पक्ष समानांतर हों।

यह प्रमेय पप्पस के षट्भुज प्रमेय का सामान्यीकरण है|पप्पस (षट्कोण) प्रमेय, जो प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के साथ दो रेखाओं के पतित शंकु का विशेष मामला है।

यूक्लिडियन वेरिएंट

पास्कल के प्रमेय के लिए सबसे प्राकृतिक सेटिंग प्रक्षेप्य तल में है क्योंकि कोई भी दो रेखाएँ मिलती हैं और समानांतर रेखाओं के लिए कोई अपवाद बनाने की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, प्रमेय यूक्लिडियन विमान में मान्य है, जब षट्भुज के कुछ विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं तो क्या होता है इसकी सही व्याख्या होती है।

यदि षट्भुज की विपरीत भुजाओं का ठीक एक जोड़ा समानांतर है, तो प्रमेय का निष्कर्ष यह है कि दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्धारित पास्कल रेखा षट्भुज की समानांतर भुजाओं के समानांतर है। यदि विपरीत भुजाओं के दो जोड़े समानांतर हैं, तो विपरीत भुजाओं के सभी तीन जोड़े समानांतर रेखाओं के जोड़े बनाते हैं और यूक्लिडियन विमान में कोई पास्कल रेखा नहीं है (इस मामले में, विस्तारित यूक्लिडियन विमान के अनंत पर रेखा पास्कल रेखा है) षट्भुज)।

संबंधित परिणाम

पास्कल का प्रमेय ब्रायनचोन के प्रमेय का ध्रुवीय प्रत्यावर्तन और प्रक्षेप्य द्वैत है। इसे ब्लेज़ पास्कल द्वारा 1639 में लिखे गए एक नोट में तैयार किया गया था जब वह 16 साल के थे और अगले वर्ष एक ब्रॉडसाइड (मुद्रण) के रूप में प्रकाशित हुए जिसका शीर्षक था एस्से पौर लेस कॉनिक्स। पार बी.पी. पास्कल का प्रमेय केली-बाचरच प्रमेय का एक विशेष मामला है।

पास्कल के प्रमेय (चार अंक) का एक विकृत मामला दिलचस्प है; दिए गए अंक ABCD एक शंकु पर Γ, वैकल्पिक पक्षों का प्रतिच्छेदन, AB ∩ CD, BC ∩ DA, विपरीत शीर्षों पर स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन के साथ (A, C) और (B, D) चार बिंदुओं पर संरेख हैं; स्पर्शरेखाओं को 'षट्भुज' पर दो संभावित स्थानों पर लिया जाता है और संबंधित पास्कल रेखा या तो विकृत प्रतिच्छेदन को साझा करती है। इसे ध्रुव और ध्रुवीय|ध्रुव-ध्रुवीय गुण का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया जा सकता है। यदि शंकु एक वृत्त है, तो एक अन्य अपभ्रंश मामला कहता है कि एक त्रिभुज के लिए, तीन बिंदु जो गेर्गोन त्रिभुज की संगत पार्श्व रेखा के साथ एक पार्श्व रेखा के प्रतिच्छेदन के रूप में दिखाई देते हैं, संरेख हैं।

छह एक शंकु पर बिंदुओं की न्यूनतम संख्या है जिसके बारे में विशेष कथन दिए जा सकते हैं, क्योंकि पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं।

इसका विपरीत ब्रैकेनरिज-मैकलॉरिन प्रमेय है, जिसका नाम 18वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ विलियम ब्रैकेनरिज और कॉलिन मैकलॉरिन के नाम पर रखा गया है। (Mills 1984), जो बताता है कि यदि एक षट्भुज की विपरीत भुजाओं से होकर गुजरने वाली रेखाओं के तीन युग्मों के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु एक रेखा पर स्थित होते हैं, तो षट्भुज के छह शीर्ष एक शंकु पर स्थित होते हैं; पप्पस के प्रमेय के अनुसार, शंकु पतित हो सकता है। ब्रिकेनरिज-मैकलॉरिन प्रमेय को ब्रिकेनरिज-मैकलॉरिन निर्माण में लागू किया जा सकता है, जो छठे बिंदु को अलग करके, पांच बिंदुओं द्वारा परिभाषित शंकु का एक सिंथेटिक ज्यामिति निर्माण है।

इस प्रमेय को 1847 में ऑगस्ट फर्डिनेंड मोबियस द्वारा इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया था: मान लीजिए कि एक बहुभुज है 4n + 2 भुजाओं को एक शंकु खंड में अंकित किया गया है, और भुजाओं के विपरीत जोड़े को तब तक बढ़ाया जाता है जब तक वे आपस में नहीं मिलते 2n + 1 अंक. तो अगर 2n उनमें से बिंदु एक सामान्य रेखा पर स्थित हैं, अंतिम बिंदु भी उसी रेखा पर होगा।

हेक्साग्रामम मिस्टिकम

यदि एक शंकु खंड पर छह अव्यवस्थित बिंदु दिए गए हैं, तो उन्हें 60 अलग-अलग तरीकों से एक षट्भुज में जोड़ा जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप पास्कल के प्रमेय के 60 अलग-अलग उदाहरण और 60 अलग-अलग पास्कल रेखाएं प्राप्त होती हैं। 60 रेखाओं के इस प्रक्षेप्य विन्यास को हेक्साग्रामम मिस्टिकम कहा जाता है। जैसा कि थॉमस किर्कमैन ने 1849 में साबित किया था, इन 60 रेखाओं को 60 बिंदुओं के साथ इस तरह जोड़ा जा सकता है कि प्रत्येक बिंदु तीन रेखाओं पर हो और प्रत्येक रेखा में तीन बिंदु हों। इस प्रकार बने 60 बिंदुओं को अब किर्कमैन बिंदु के रूप में जाना जाता है। पास्कल रेखाएँ भी, एक समय में तीन, 20 स्टीनर बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। 20 केली रेखाएँ हैं जिनमें एक स्टीनर बिंदु और तीन किर्कमैन बिंदु शामिल हैं। स्टीनर बिंदु भी 15 प्लकर लाइनों पर एक समय में चार स्थित हैं। इसके अलावा, 20 केली रेखाएँ एक समय में चार बिंदुओं से होकर गुजरती हैं जिन्हें सैल्मन पॉइंट के रूप में जाना जाता है।

प्रमाण

पास्कल का मूल नोटइसका कोई प्रमाण नहीं है, लेकिन प्रमेय के विभिन्न आधुनिक प्रमाण मौजूद हैं।

जब शंकु एक वृत्त हो तो प्रमेय को सिद्ध करना पर्याप्त है, क्योंकि किसी भी (गैर-अपक्षयी) शंकु को प्रक्षेप्य परिवर्तन द्वारा एक वृत्त में घटाया जा सकता है। यह पास्कल द्वारा महसूस किया गया था, जिसका पहला लेम्मा एक वृत्त के लिए प्रमेय बताता है। उनका दूसरा लेम्मा कहता है कि जो एक तल में सत्य है वह दूसरे तल पर प्रक्षेपण पर भी सत्य रहता है।पतित शांकव निरंतरता का अनुसरण करते हैं (प्रमेय गैर-पतित शांकव के लिए सत्य है, और इस प्रकार पतित शांकव की सीमा में रहता है)।

एक वृत्त के मामले में पास्कल के प्रमेय का एक संक्षिप्त प्राथमिक प्रमाण किसके द्वारा पाया गया van Yzeren (1993), में प्रमाण के आधार पर (Guggenheimer 1967). यह प्रमाण वृत्त के लिए प्रमेय को सिद्ध करता है और फिर इसे शांकवों के लिए सामान्यीकृत करता है।

वास्तविक प्रक्षेप्य तल के मामले में एक संक्षिप्त प्रारंभिक कम्प्यूटेशनल प्रमाण पाया गया Stefanovic (2010).

हम आइसोगोनल संयुग्म के अस्तित्व से भी प्रमाण का अनुमान लगा सकते हैं। अगर हमें वो दिखाना है X = AB ∩ DE, Y = BC ∩ EF, Z = CD ∩ FA चक्रीय के लिए संरेख हैं ABCDEF, तो उस पर ध्यान दें △EYB और △CYF समान हैं, और वह X और {{math|Z}यदि हम समान त्रिभुजों को ओवरलैप करते हैं तो } आइसोगोनल संयुग्म के अनुरूप होगा। इस का मतलब है कि ∠CYX = ∠CYZ, इसलिए बना रहे हैं XYZ संरेख.

क्रॉस-अनुपात संरक्षण का उपयोग करके एक संक्षिप्त प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है। प्रोजेक्टिंग टेट्राड ABCE से D लाइन पर AB, हम टेट्राड प्राप्त करते हैं ABPX, और प्रोजेक्टिंग टेट्राड ABCE से F लाइन पर BC, हम टेट्राड प्राप्त करते हैं QBCY. इसलिए इसका मतलब यह है R(AB; PX) = R(QB; CY), जहां दो टेट्राड में से एक बिंदु ओवरलैप होता है, इसलिए इसका मतलब है कि अन्य तीन जोड़े को जोड़ने वाली अन्य रेखाओं को क्रॉस अनुपात को संरक्षित करने के लिए मेल खाना चाहिए। इसलिए, XYZ संरेख हैं।

एक वृत्त के लिए पास्कल के प्रमेय का एक अन्य प्रमाण मेनेलॉस के प्रमेय का बार-बार उपयोग करता है।

प्रसिद्ध डेंडेलिन क्षेत्रों की खोज करने वाले जियोमीटर जर्मिनल पियरे डैंडेलिन, 3डी लिफ्टिंग तकनीक का उपयोग करके एक सुंदर प्रमाण लेकर आए, जो डेसार्गेस प्रमेय के 3डी प्रमाण के अनुरूप है। प्रमाण इस संपत्ति का उपयोग करता है कि प्रत्येक शंकु खंड के लिए हम एक-शीट हाइपरबोलॉइड पा सकते हैं जो शंकु से होकर गुजरता है।

साइन और समानता (ज्यामिति) के नियम का उपयोग करके एक वृत्त के लिए पास्कल के प्रमेय का एक सरल प्रमाण भी मौजूद है।

घन वक्रों का उपयोग करके प्रमाण

सरल चक्रीय बहुभुज षट्भुज की विस्तारित विपरीत भुजाओं का प्रतिच्छेदन ABCDEF (दाएं) पास्कल रेखा एमएनपी (बाएं) पर स्थित है।

पास्कल के प्रमेय में केली-बाचरच प्रमेय का उपयोग करते हुए एक संक्षिप्त प्रमाण है जो सामान्य स्थिति में किसी भी 8 अंक को देखते हुए, एक अद्वितीय नौवां बिंदु होता है जैसे कि पहले 8 के माध्यम से सभी क्यूबिक्स नौवें बिंदु से भी गुजरते हैं। विशेष रूप से, यदि 2 सामान्य घन 8 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तो उन्हीं 8 बिंदुओं के माध्यम से कोई अन्य घन पहले दो घनों के प्रतिच्छेदन के नौवें बिंदु से मिलता है। पास्कल का प्रमेय 8 बिंदुओं को षट्भुज पर 6 बिंदुओं और दो बिंदुओं (मान लीजिए, M और N चित्र में) होने वाली पास्कल रेखा पर, और नौवां बिंदु तीसरे बिंदु के रूप में (P चित्र में)। पहले दो क्यूबिक्स षट्भुज पर 6 बिंदुओं के माध्यम से 3 रेखाओं के दो सेट हैं (उदाहरण के लिए, सेट AB, CD, EF, और सेट BC, DE, FA), और तीसरा घन शंकु और रेखा का मिलन है MN. यहाँ नौवाँ चौराहा है P सामान्यता द्वारा शंकु पर झूठ नहीं बोल सकता, और इसलिए यह पर झूठ बोलता है MN.

केली-बाचरच प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए भी किया जाता है कि घन अण्डाकार वक्रों पर समूह संचालन साहचर्य है। यदि हम एक बिंदु चुनते हैं तो समान समूह संक्रिया को शंकु पर लागू किया जा सकता है Eशंकव और एक रेखा पर MP प्लेन में। कुल मिलाकर A और B पहले रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है AB साथ MP, जो है M. अगला A और B रेखा के साथ शंकु के दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ें EM, जो है D. इस प्रकार यदि Q रेखा के साथ शंकु का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है EN, तब

$(A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)$

इस प्रकार समूह संचालन सहयोगी होता है। दूसरी ओर, पास्कल का प्रमेय उपरोक्त साहचर्य सूत्र से अनुसरण करता है, और इस प्रकार निरंतरता के माध्यम से अण्डाकार वक्रों के समूह संचालन की साहचर्यता से।

बेज़आउट के प्रमेय का उपयोग करके प्रमाण

कल्पना करना f तीन रेखाओं पर लुप्त होने वाला घन बहुपद है AB, CD, EF और g अन्य तीन रेखाओं पर लुप्त होने वाला घन है BC, DE, FA. एक सामान्य बिंदु चुनें P शंकु पर और चुनें λ ताकि घन h = f + λg गायब हो जाता है P. तब h = 0 एक घन है जिसमें 7 अंक हैं A, B, C, D, E, F, Pशंकव के साथ आम तौर पर। लेकिन बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार एक घन और एक शंकु में अधिकतम 3 × 2 = 6 अंक समान होते हैं, जब तक कि उनमें एक सामान्य घटक न हो। तो घन h = 0 में शंकु के साथ एक समान घटक होता है जो कि शंकु ही होना चाहिए, इसलिए h = 0शंकव और एक रेखा का मिलन है। अब यह जांचना आसान है कि यह रेखा पास्कल रेखा है।

पास्कल के षट्भुज का एक गुण

बिंदुओं के लिए उपरोक्त संकेतन के साथ पास्कल के प्रमेय के एक शंकु पर फिर से षट्भुज दिया गया है (पहले आंकड़े में), हमारे पास है

${\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.$

पास्कल प्रमेय का अध:पतन

पास्कल का प्रमेय: अध:पतन

पास्कल प्रमेय के 5-बिंदु, 4-बिंदु और 3-बिंदु पतित मामले मौजूद हैं। एक विकृत मामले में, आकृति के दो पहले से जुड़े बिंदु औपचारिक रूप से मेल खाएंगे और कनेक्टिंग लाइन एकजुट बिंदु पर स्पर्शरेखा बन जाएगी। जोड़ी गई योजना में दिए गए विकृत मामले और सर्कल ज्यामिति पर बाहरी लिंक देखें। यदि कोई पास्कल-आकृतियों की उपयुक्त रेखाओं को अनंत पर रेखाओं के रूप में चुनता है, तो उसे पास्कल के प्रमेय से संबंधित पैराबोला # परबोला के गुणों और हाइपरबोला y=1/x की एक एफ़िन छवि के रूप में हाइपरबोला # हाइपरबोला पर कई दिलचस्प आंकड़े मिलते हैं।

यह भी देखें

• डेसर्गेस का प्रमेय
• ब्रायनचॉन का प्रमेय
• यूनिकर्सल हेक्साग्राम

संदर्भ

• Biggs, N. L. (1981), "T. P. Kirkman, mathematician", Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 0608093

• Conway, John; Ryba, Alex (2012), "The Pascal Mysticum Demystified", The Mathematical Intelligencer, 34 (3): 4–8, doi:10.1007/s00283-012-9301-4, S2CID 122915551
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, Samuel L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 76
• Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., MR 0213943
• Mills, Stella (March 1984), "Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem", Notes and Records of the Royal Society of London, The Royal Society, 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819, S2CID 144663075
• Modenov, P.S.; Parkhomenko, A.S. (2001) [1994], "Pascal theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Pascal, Blaise (1640). "Essay pour les coniques" (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. Retrieved 21 June 2013.

• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4
• Stefanovic, Nedeljko (2010), A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications (PDF), Indian Academy of Sciences
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, London: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6
• Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, The Carus Mathematical Monographs, Number Four, The Mathematical Association of America
• van Yzeren, Jan (1993), "A simple proof of Pascal's hexagon theorem", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 100 (10): 930–931, doi:10.2307/2324214, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324214, MR 1252929

बाहरी संबंध

• Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) at cut-the-knot
• 60 Pascal Lines (Java required) at cut-the-knot
• The Complete Pascal Figure Graphically Presented by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
• Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
• How to Project Spherical Conics into the Plane by Yoichi Maeda (Tokai University)