पेंच अक्ष

एक पेंच अक्ष (पेचदार अक्ष या मोड़ अक्ष) एक रेखा है जो एक साथ रोटेशन की धुरी है और वह रेखा जिसके साथ शरीर का अनुवाद (ज्यामिति) होता है। चेसल्स प्रमेय (कीनेमेटीक्स) | चासल्स प्रमेय से पता चलता है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक यूक्लिडियन समूह में एक स्क्रू अक्ष होता है, और विस्थापन को इस स्क्रू अक्ष के साथ एक रोटेशन और एक स्लाइड में विघटित किया जा सकता है।^[1]^[2]

प्लकर निर्देशांक कार्तीय अंतरिक्ष में एक स्क्रू अक्ष का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है, और इसमें त्रि-आयामी वैक्टर की एक जोड़ी होती है। पहला वेक्टर अक्ष की दिशा की पहचान करता है, और दूसरा इसकी स्थिति का पता लगाता है। विशेष मामला जब पहला वेक्टर शून्य होता है, तो दूसरे वेक्टर की दिशा में शुद्ध अनुवाद के रूप में व्याख्या की जाती है। शिकंजा के बीजगणित में प्रत्येक जोड़ी वैक्टर के साथ एक पेंच अक्ष जुड़ा हुआ है, जिसे पेंच सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।^[3] एक पिंड के स्थानिक संचलन को विस्थापन के एक सतत सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है। क्योंकि इन विस्थापनों में से प्रत्येक में एक पेंच अक्ष होता है, आंदोलन में एक संबंधित शासित सतह होती है जिसे पेंच सतह के रूप में जाना जाता है। यह सतह एक्सोड के समान नहीं है, जो किसी पिंड के संचलन के तात्क्षणिक पेंच कुल्हाड़ियों द्वारा पता लगाया जाता है। तात्कालिक पेंच अक्ष, या 'तात्कालिक पेचदार अक्ष' (IHA), एक गतिमान पिंड में प्रत्येक बिंदु के वेगों द्वारा उत्पन्न हेलिकॉइडल क्षेत्र की धुरी है।

जब एक स्थानिक विस्थापन एक प्लानर विस्थापन के लिए विशेषज्ञ होता है, तो पेंच अक्ष विस्थापन ध्रुव बन जाता है, और तात्कालिक पेंच अक्ष वेग ध्रुव, या घूर्णन का तात्कालिक केंद्र बन जाता है, जिसे तत्काल केंद्र भी कहा जाता है। सेंट्रो शब्द का प्रयोग एक वेग ध्रुव के लिए भी किया जाता है, और इन बिंदुओं के स्थान को प्लानर आंदोलन के लिए केन्द्रक कहा जाता है।^[4]

इतिहास

सबूत है कि एक स्थानिक विस्थापन को चारों ओर एक घूर्णन में विघटित किया जा सकता है, और अनुवाद के साथ, अंतरिक्ष में एक रेखा को 1830 में माइकल चेसल्स को जिम्मेदार ठहराया गया है।^[5] हाल ही में Giulio Mozzi के काम को 1763 में इसी तरह के परिणाम पेश करने के रूप में पहचाना गया है।^[6]^[7]

पेंच अक्ष समरूपता

Boerdijk-Coxeter हेलिक्स एक पेंच अक्ष समरूपता का एक उदाहरण है जो गैर-आवधिक है।

एक स्क्रू विस्थापन (स्क्रू ऑपरेशन या रोटरी ट्रांसलेशन भी) एक अक्ष (जिसे स्क्रू अक्ष कहा जाता है) के बारे में एक कोण φ द्वारा इस अक्ष के साथ एक दूरी डी द्वारा अनुवाद के साथ एक रोटेशन की संरचना है। एक सकारात्मक घूर्णन दिशा का अर्थ आमतौर पर वह होता है जो दाहिने हाथ के नियम द्वारा अनुवाद दिशा से मेल खाती है। इसका मतलब यह है कि अगर घुमाव दक्षिणावर्त है, तो विस्थापन दर्शक से दूर है। φ = 180° को छोड़कर, हमें एक स्क्रू विस्थापन को उसकी दर्पण छवि से अलग करना होगा। घुमावों के विपरीत, एक दाहिने और बाएं हाथ के स्क्रू ऑपरेशन अलग-अलग समूह उत्पन्न करते हैं।

एक अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन का संयोजन और उस अक्ष के लम्बवत् दिशा में अनुवाद एक समानांतर अक्ष के बारे में एक घूर्णन है। हालाँकि, धुरी के साथ एक नॉनज़रो ट्रांसलेशन वेक्टर के साथ एक स्क्रू ऑपरेशन को इस तरह कम नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार 'किसी भी' अनुवाद के साथ संयुक्त रोटेशन का प्रभाव सामान्य अर्थों में एक पेंच ऑपरेशन है, विशेष मामलों में शुद्ध अनुवाद, शुद्ध रोटेशन और पहचान। साथ में ये सभी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन समूह हैं # तीन आयामों तक आइसोमेट्री का अवलोकन।

3₁ टेल्यूरियम की क्रिस्टल संरचना में पेंच अक्ष

क्रिस्टलोग्राफी में, एक पेंच अक्ष समरूपता एक अक्ष के बारे में रोटेशन का एक संयोजन है और उस अक्ष के समानांतर एक अनुवाद है जो एक क्रिस्टल अपरिवर्तित छोड़ देता है। यदि φ = 360°/n किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए है, तो स्क्रू अक्ष समरूपता का तात्पर्य ट्रांसलेशन वेक्टर के साथ अनुवादकीय समरूपता से है जो स्क्रू विस्थापन के n गुना है।

अंतरिक्ष समूह ों के लिए लागू एक धुरी के बारे में 360°/n द्वारा एक रोटेशन है, जो अनुवादिक समरूपता की दूरी के गुणक द्वारा अक्ष के साथ एक अनुवाद के साथ संयुक्त है, जिसे n से विभाजित किया गया है। यह एकाधिक एक सबस्क्रिप्ट द्वारा इंगित किया गया है। तो, 6₃ जाली सदिश के 1/2 के अनुवाद के साथ संयुक्त 60° का घूर्णन है, जिसका अर्थ है कि इस अक्ष के बारे में 3 गुना घूर्णी समरूपता भी है। संभावनाएं 2 हैं₁, 3₁, 4₁, 4₂, 6₁, 6₂, और 6₃, और एनेंटिओमोर्फस 3₂, 4₃, 6₄, और 6₅.^[8] पेंच अक्ष n को ध्यान में रखते हुए_m, यदि g, n और m का महत्तम समापवर्तक है, तो एक g-गुना घूर्णन अक्ष भी है। जब एन/जी स्क्रू संचालन किया जाता है, तो विस्थापन एम/जी होगा, क्योंकि यह एक पूर्ण संख्या है, इसका मतलब है कि कोई 360 डिग्री/जी द्वारा घूर्णन करते हुए जाली में एक समकक्ष बिंदु पर चला गया है। तो 4₂, 6₂ और 6₄ दो गुना रोटेशन कुल्हाड़ियों बनाएँ, जबकि 6₃ तीन गुना अक्ष बनाता है।

एक गैर-असतत स्क्रू अक्ष आइसोमेट्री समूह में किसी अक्ष के चारों ओर घूर्णन के सभी संयोजन होते हैं और अक्ष के साथ एक आनुपातिक अनुवाद होता है (लकीरें में, आनुपातिकता के स्थिरांक को मोड़ दर कहा जाता है); सामान्य तौर पर यह एक ही अक्ष के बारे में के-गुना घूर्णी आइसोमेट्रीज़ के साथ संयुक्त है (के ≥ 1); आइसोमेट्री के तहत एक बिंदु की छवियों का सेट एक के-फोल्ड हेलिक्स है; इसके अलावा लंबवत रूप से प्रतिच्छेदी अक्ष के बारे में 2-गुना घुमाव हो सकता है, और इसलिए ऐसी कुल्हाड़ियों का k-गुना हेलिक्स होता है।

एक स्थानिक विस्थापन का पेंच अक्ष

यह भी देखें

पेंचकश (रोलर कोस्टर तत्व)
यूलर का घूर्णन प्रमेय - बिना अनुवाद के घूर्णन
सरकना प्रतिबिंब
कुंडलाकार समरूपता
रेखा समूह
पेंच सिद्धांत
अंतरिक्ष समूह

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

कार्तीय स्थान
रोटेशन का तात्कालिक केंद्र
दाहिने हाथ का नियम
प्रतिबिम्बरुपी
महत्तम सामान्य भाजक
चार का समुदाय
संयुग्मन वर्ग
सख्त शरीर
कोणीय गति
पेचदार समरूपता

संदर्भ

↑ Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990), link to Google books
↑ Hunt, K. H., Kinematic Geometry of Mechanism, Oxford University Press, 1990
↑ R.S. Ball, A Treatise on the Theory of Screws, Hodges, Dublin, 1876, Appendix 1, University Press, Cambridge, 1900, p. 510
↑ Homer D. Eckhardt, Kinematic Design of Machines and Mechanisms, McGraw-Hill (1998) p. 63 ISBN 0-07-018953-6 on-line at Google books
↑ M. Chasles, Note sur les Proprietes Generales du Systeme de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, Paris, 1830, pp. 321±326
↑ G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Napoli, 1763
↑ M. Ceccarelli, Screw axis defined by Giulio Mozzi in 1763 and early studies on helicoidal motion, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770
↑ Walter Borchardt-Ott (1995). क्रिस्टलोग्राफी. Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.

श्रेणी: क्रिस्टलोग्राफी श्रेणी:यूक्लिडियन ज्यामिति श्रेणी:कीनेमेटीक्स श्रेणी:मशीनें श्रेणी: कठोर शरीर श्रेणी:समरूपता

[1] Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990), link to Google books

[2] Hunt, K. H., Kinematic Geometry of Mechanism, Oxford University Press, 1990

[3] R.S. Ball, A Treatise on the Theory of Screws, Hodges, Dublin, 1876, Appendix 1, University Press, Cambridge, 1900, p. 510

[4] Homer D. Eckhardt, Kinematic Design of Machines and Mechanisms, McGraw-Hill (1998) p. 63 ISBN 0-07-018953-6 on-line at Google books

[5] M. Chasles, Note sur les Proprietes Generales du Systeme de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, Paris, 1830, pp. 321±326

[6] G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Napoli, 1763

[7] M. Ceccarelli, Screw axis defined by Giulio Mozzi in 1763 and early studies on helicoidal motion, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770

[8] Walter Borchardt-Ott (1995). क्रिस्टलोग्राफी. Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.

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