प्रतिउदाहरण
प्रतिउदाहरण सामान्यीकरण का कोई अपवाद है। तर्क में एक प्रतिउदाहरण सामान्यीकरण को अस्वीकार करता है, और गणित और दर्शन के क्षेत्र में यह कठोरता करता है।[1] उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि छात्र जॉन स्मिथ आलसी नहीं है, इस सामान्यीकरण का एक प्रति उदाहरण है कि छात्र आलसी हैं, और सभी छात्र आलसी हैं, इस सार्वभौमिक परिमाणीकरण का एक प्रति उदाहरण और खंडन दोनों है।[2] गणित में, प्रतिउदाहरण शब्द का उपयोग (थोड़े दुरुपयोग के साथ) उन उदाहरणों को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है जो एक प्रमेय की पूर्ण परिकल्पना की आवश्यकता को दर्शाते हैं। यह अक्सर ऐसे मामले पर विचार करके किया जाता है जहां परिकल्पना का एक हिस्सा संतुष्ट नहीं होता है और प्रमेय का निष्कर्ष मान्य नहीं होता है।[citation needed]
गणित में
गणित में, संभावित प्रमेयों की सीमाओं को सिद्ध करने के लिए अक्सर प्रतिउदाहरणों का उपयोग किया जाता है। यह दिखाने के लिए कि कुछ अनुमान झूठे हैं, प्रतिउदाहरणों का उपयोग करके, गणितीय शोधकर्ता अंधी गलियों में जाने से बच सकते हैं और सिद्ध प्रमेयों का उत्पादन करने के लिए अनुमानों को संशोधित करना सीख सकते हैं। कभी-कभी यह कहा जाता है कि गणितीय विकास मुख्य रूप से प्रमेयों और प्रतिउदाहरणों को खोजने (और साबित करने) में शामिल होता है।[3]
आयत उदाहरण
मान लीजिए कि एक गणितज्ञ ज्यामिति और आकृतियों का अध्ययन कर रही है, और वह उनके बारे में कुछ प्रमेयों को सिद्ध करना चाहती है। वह अनुमान लगाती है कि सभी आयत वर्ग (ज्यामिति) हैं, और वह यह जानने में रुचि रखती है कि यह कथन सत्य है या गलत।
इस मामले में, वह या तो निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके कथन की सत्यता को गणितीय रूप से सिद्ध करने का प्रयास कर सकती है, या यदि उसे कथन के गलत होने का संदेह है तो वह उसका प्रति-उदाहरण खोजने का प्रयास कर सकती है। बाद के मामले में, एक प्रतिउदाहरण एक आयत होगा जो एक वर्ग नहीं है, जैसे कि एक आयत जिसकी दो भुजाएँ लंबाई 5 और दो भुजाएँ लंबाई 7 हैं। हालाँकि, ऐसे आयत मिलने के बावजूद जो वर्ग नहीं थे, उसने सभी आयतें बनाईं ढूंढें की चार भुजाएँ थीं। फिर वह नया अनुमान लगाती है सभी आयतों की चार भुजाएँ होती हैं। यह तार्किक रूप से उनके मूल अनुमान से कमज़ोर है, क्योंकि प्रत्येक वर्ग की चार भुजाएँ होती हैं, लेकिन प्रत्येक चार भुजाओं वाली आकृति एक वर्ग नहीं होती है।
उपरोक्त उदाहरण ने समझाया - सरल तरीके से - कैसे एक गणितज्ञ प्रति-उदाहरणों के सामने अपने अनुमान को कमजोर कर सकता है, लेकिन प्रति-उदाहरणों का उपयोग कुछ मान्यताओं और परिकल्पना की आवश्यकता को प्रदर्शित करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कुछ समय बाद, उपरोक्त गणितज्ञ ने नए अनुमान पर फैसला किया। वे सभी आकृतियाँ जो आयताकार हैं और जिनकी चार भुजाएँ समान लंबाई की हैं, वर्ग हैं। इस अनुमान के दो भाग हैं: आकार 'एक आयत' होना चाहिए और 'समान लंबाई की चार भुजाएँ' होनी चाहिए। गणितज्ञ तब जानना चाहेगा कि क्या वह किसी भी धारणा को हटा सकती है, और फिर भी अपने अनुमान की सच्चाई को बनाए रख सकती है। इसका मतलब यह है कि उसे निम्नलिखित दो कथनों की सत्यता की जाँच करने की आवश्यकता है:
- सभी आकृतियाँ जो आयत हैं, वर्ग हैं।
- वे सभी आकृतियाँ जिनकी चार भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, वर्ग होती हैं।
(1) का प्रति-उदाहरण पहले ही ऊपर दिया जा चुका है, और (2) का प्रति-उदाहरण एक गैर-वर्गाकार समचतुर्भुज है। इस प्रकार, गणितज्ञ अब जानता है कि दोनों धारणाएँ वास्तव में आवश्यक थीं।
अन्य गणितीय उदाहरण
सभी अभाज्य संख्याएँ समता (गणित) हैं, इस कथन का एक प्रति-उदाहरण संख्या 2 है, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या है, लेकिन विषम संख्या नहीं है।[1]संख्या 7 या 10 में से कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है, क्योंकि उनमें से कोई भी कथन का खंडन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। इस उदाहरण में, 2 वास्तव में कथन का एकमात्र संभावित प्रति उदाहरण है, भले ही वह अकेला कथन का खंडन करने के लिए पर्याप्त है। इसी तरह, कथन में सभी प्राकृतिक संख्याएँ या तो अभाज्य संख्या हैं या मिश्रित संख्या में प्रतिउदाहरण के रूप में संख्या 1 है, क्योंकि 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
यूलर की शक्तियों के योग का अनुमान प्रति उदाहरण द्वारा अस्वीकृत कर दिया गया। इसने दावा किया कि कम से कम n nद</सुपर>शक्तियाँ दूसरे n का योग करने के लिए आवश्यक थींथशक्ति. यह अनुमान 1966 में अस्वीकृत कर दिया गया था,[4] n = 5 से जुड़े प्रतिउदाहरण के साथ; अन्य n=5 प्रतिउदाहरण अब ज्ञात हैं, साथ ही कुछ n=4 प्रतिउदाहरण भी।[5] विट्सनहाउज़ेन के प्रतिउदाहरण से पता चलता है कि यह हमेशा सच नहीं होता है (नियंत्रण सिद्धांत के लिए) कि एक द्विघात हानि फ़ंक्शन और राज्य चर के विकास का एक रैखिक समीकरण इष्टतम नियंत्रण कानूनों को दर्शाता है जो रैखिक हैं।
अन्य उदाहरणों में सीफ़र्ट अनुमान, पोल्या अनुमान, हिल्बर्ट की चौदहवीं समस्या का अनुमान, टैट का अनुमान और गैनिया अनुमान का खंडन शामिल है।
दर्शनशास्त्र में
दर्शनशास्त्र में, आमतौर पर प्रतिउदाहरणों का उपयोग यह तर्क देने के लिए किया जाता है कि एक निश्चित दार्शनिक स्थिति यह दिखाकर गलत है कि यह कुछ मामलों में लागू नहीं होती है। वैकल्पिक रूप से, पहला दार्शनिक अपने दावे को संशोधित कर सकता है ताकि प्रतिउदाहरण अब लागू न हो; यह उस स्थिति के समान है जब एक गणितज्ञ किसी प्रतिउदाहरण के कारण किसी अनुमान को संशोधित करता है।
उदाहरण के लिए, प्लेटो के गोर्गियास (संवाद) में, कॉलिकल्स, यह परिभाषित करने की कोशिश कर रहे हैं कि यह कहने का क्या मतलब है कि कुछ लोग दूसरों की तुलना में बेहतर हैं, दावा करते हैं कि जो मजबूत हैं वे बेहतर हैं।
लेकिन सुकरात का उत्तर है कि, अपनी संख्या बल के कारण, आम भीड़ का वर्ग अमीरों के संपत्तिवान वर्ग से अधिक मजबूत है, भले ही जनता प्रथम दृष्टया बदतर चरित्र की हो। इस प्रकार सुकरात ने कैलिकल्स के दावे का एक प्रति-उदाहरण प्रस्तावित किया है, एक ऐसे क्षेत्र को देखकर जिसकी शायद कैलिकल्स को उम्मीद नहीं थी - व्यक्तिगत व्यक्तियों के बजाय लोगों के समूह।
कैलिकल्स सुकरात के प्रति-उदाहरण को चुनौती दे सकते हैं, शायद यह तर्क देते हुए कि आम भीड़ वास्तव में रईसों से बेहतर है, या कि उनकी बड़ी संख्या में भी, वे अभी भी मजबूत नहीं हैं। लेकिन यदि कैलिकल्स प्रति-उदाहरण स्वीकार करता है, तो उसे या तो अपना दावा वापस लेना होगा, या इसे संशोधित करना होगा ताकि प्रति-उदाहरण अब लागू न हो। उदाहरण के लिए, वह केवल व्यक्तिगत व्यक्तियों को संदर्भित करने के लिए अपने दावे को संशोधित कर सकता है, जिससे उसे आम लोगों को भीड़ के बजाय व्यक्तियों के संग्रह के रूप में सोचने की आवश्यकता होगी।
जैसा कि होता है, वह मजबूत के बजाय समझदार कहने के अपने दावे को संशोधित करता है, यह तर्क देते हुए कि संख्यात्मक श्रेष्ठता की कोई भी मात्रा लोगों को समझदार नहीं बना सकती है।
यह भी देखें
- विरोधाभास
- अपवाद जो नियम को सिद्ध करता है
- न्यूनतम प्रतिउदाहरण
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 "Mathwords: Counterexample". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-28.
- ↑ Weisstein, Eric W. "प्रतिउदाहरण". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-28.
- ↑ "What Is Counterexample?". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-11-28.
- ↑ Lander, Parkin (1966). "समान शक्तियों के योग पर यूलर के अनुमान का प्रति उदाहरण" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. Americal Mathematical Society. 72 (6): 1079. doi:10.1090/s0002-9904-1966-11654-3. ISSN 0273-0979. Retrieved 2 August 2018.
- ↑ Elkies, Noam (October 1988). "On A4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835.
अग्रिम पठन
- Imre Lakatos, Proofs and Refutations Cambridge University Press, 1976, ISBN 0521290384
- James Franklin and Albert Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Kew, Sydney, 2011. ISBN 978-0-646-54509-7, ch. 6.
- Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology, Springer, New York 1978, ISBN 0-486-68735-X.
- Joseph P. Romano and Andrew F. Siegel: Counterexamples in Probability and Statistics, Chapman & Hall, New York, London 1986, ISBN 0-412-98901-8.
- Gary L. Wise and Eric B. Hall: Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2.
- Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis. Corrected reprint of the second (1965) edition, Dover Publications, Mineola, NY 2003, ISBN 0-486-42875-3.
- Jordan M. Stoyanov: Counterexamples in Probability. Second edition, Wiley, Chichester 1997, ISBN 0-471-96538-3.
- Michael Copobianco & John Mulluzzo (1978) Examples and Counterexamples in Graph Theory, Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3.
बाहरी संबंध
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