प्रतिवर्ती स्थान

गणित के क्षेत्र में कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, एक रिफ्लेक्सिव स्पेस एक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है जिसके लिए विहित मूल्यांकन मानचित्र $X$ इसके द्विपक्षीय में (जो कि मजबूत डुअल का मजबूत डुअल है $X$) टीवीएस का एक समरूपता है। चूंकि एक मानक टीवीएस अर्ध-चिंतनशील है यदि और केवल यदि यह अर्ध-रिफ्लेक्सिव है, तो प्रत्येक मानक स्थान (और विशेष रूप से, प्रत्येक बनच स्थान) $X$ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि विहित मूल्यांकन मानचित्र से $X$ इसके द्विवचन में विशेषण है; इस मामले में मानक स्थान भी आवश्यक रूप से एक बानाच स्थान है। 1951 में, रॉबर्ट सी. जेम्स|आर. सी. जेम्स ने बानाच अंतरिक्ष की खोज की, जिसे अब जेम्स अंतरिक्ष के नाम से जाना जाता है not रिफ्लेक्सिव लेकिन फिर भी यह अपने द्विपक्षीय के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है (इस प्रकार कोई भी आइसोमोर्फिज्म आवश्यक है not विहित मूल्यांकन मानचित्र).

रिफ्लेक्सिव स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस के सामान्य सिद्धांत और विशेष रूप से बानाच स्पेस के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। हिल्बर्ट स्थान रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस के प्रमुख उदाहरण हैं। रिफ्लेक्सिव बानाच रिक्त स्थान को अक्सर उनके ज्यामितीय गुणों द्वारा चित्रित किया जाता है।

परिभाषा

बिडुअल की परिभाषा

Main article: Bidual

लगता है कि $X$ क्षेत्र के ऊपर एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है $\mathbb {F}$ (जो या तो वास्तविक या सम्मिश्र संख्या है) जिसका सतत दोहरा स्थान, $X^{\prime },$ पर बिंदुओं को अलग करता है $X$ (अर्थात्, किसी के लिए $x\in X,x\neq 0$ वहाँ कुछ मौजूद है $x^{\prime }\in X^{\prime }$ ऐसा है कि $x^{\prime }(x)\neq 0$). होने देना $X_{b}^{\prime }$ और $X_{b}^{\prime }$ दोनों ही मजबूत दोहरेपन को दर्शाते हैं $X,$ जो सदिश समष्टि है $X^{\prime }$ निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं पर $X$ एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न#मजबूत दोहरी टोपोलॉजी बी(एक्स*, एक्स) $X$; इस टोपोलॉजी को मजबूत दोहरी टोपोलॉजी भी कहा जाता है और यह एक निरंतर दोहरे स्थान पर रखी गई डिफ़ॉल्ट टोपोलॉजी है (जब तक कि कोई अन्य टोपोलॉजी निर्दिष्ट न हो)। अगर $X$ एक मानक स्थान है, फिर का मजबूत द्वैत $X$ सतत द्वैत स्थान है $X^{\prime }$ अपने सामान्य मानक टोपोलॉजी के साथ। का बिडुअल $X,$ द्वारा चिह्नित $X^{\prime \prime },$ का मजबूत द्वैत है $X_{b}^{\prime }$; अर्थात् यह स्थान है $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$ अगर $X$ तो फिर, यह एक मानक स्थान है $X^{\prime \prime }$ बानाच स्थान का सतत दोहरा स्थान है $X_{b}^{\prime }$ अपने सामान्य मानक टोपोलॉजी के साथ।

मूल्यांकन मानचित्र और रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान की परिभाषाएँ

किसी के लिए $x\in X,$ होने देना $J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F}$ द्वारा परिभाषित किया जाए $J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),$ कहाँ $J_{x}$ एक रेखीय मानचित्र है जिसे मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है $x$; तब से $J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ अनिवार्य रूप से निरंतर है, यह उसका अनुसरण करता है $J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.$ तब से $X^{\prime }$ पर बिंदुओं को अलग करता है $X,$ रेखीय मानचित्र $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ द्वारा परिभाषित $J(x):=J_{x}$ विशेषण है जहाँ इस मानचित्र को मूल्यांकन मानचित्र या विहित मानचित्र कहा जाता है। पुकारना $X$ अर्ध-प्रतिबिंबित यदि $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ विशेषण है (या समकक्ष, विशेषण) और हम कहते हैं $X$ प्रतिवर्ती यदि इसके अतिरिक्त $J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ टीवीएस का एक समरूपता है। एक सामान्य स्थान रिफ्लेक्सिव है यदि और केवल यदि यह अर्ध-रिफ्लेक्टिव या समकक्ष है, यदि और केवल यदि मूल्यांकन मानचित्र विशेषण है।

रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस

कल्पना करना $X$ संख्या क्षेत्र पर एक मानक वेक्टर स्थान है $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ या $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ (वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ), एक मानदंड के साथ $\|\,\cdot \,\|.$ इसके दोहरे मानदंड पर विचार करें $X^{\prime },$ जिसमें सभी सतत कार्य रैखिक क्रियाएँ शामिल हैं $f:X\to \mathbb {F}$ और दोहरे मानदंड से सुसज्जित है $\|\,\cdot \,\|^{\prime }$ द्वारा परिभाषित

$$\|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.$$

द्वैत $X^{\prime }$ एक मानकीकृत स्थान है (सटीक रूप से कहें तो एक बानाच स्थान), और इसका दोहरा मानकित स्थान है $X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }$ के लिए बिडुअल स्पेस कहा जाता है $X.$ बिडुअल में सभी सतत रैखिक कार्यात्मकताएं शामिल हैं $h:X^{\prime }\to \mathbb {F}$ और मानक से सुसज्जित है $\|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }$ दोहरे से $\|\,\cdot \,\|^{\prime }.$ प्रत्येक वेक्टर $x\in X$ एक अदिश फलन उत्पन्न करता है $J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F}$ सूत्र द्वारा:

$$J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },$$

और $J(x)$ पर एक सतत रैखिक कार्यात्मक है $X^{\prime },$ वह है, $J(x)\in X^{\prime \prime }.$ इस प्रकार एक मानचित्र प्राप्त होता है

$$J:X\to X^{\prime \prime }$$

मूल्यांकन मानचित्र कहलाता है, जो रैखिक होता है। यह हैन-बानाच प्रमेय से अनुसरण करता है $J$ इंजेक्शन है और मानदंडों को संरक्षित करता है:

$${\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,$$

वह है, $J$ एमएपीएस $X$ इसकी छवि पर सममितीय रूप से $J(X)$ में $X^{\prime \prime }.$ इसके अलावा, छवि $J(X)$ में बंद है $X^{\prime \prime },$ लेकिन यह बराबर होना जरूरी नहीं है $X^{\prime \prime }.$ एक आदर्श स्थान $X$ इसे रिफ्लेक्सिव कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों को पूरा करता है:

1. मूल्यांकन मानचित्र $J:X\to X^{\prime \prime }$ आक्षेप, अंतःक्षेपण और प्रक्षेप है,
2. मूल्यांकन मानचित्र $J:X\to X^{\prime \prime }$ मानक स्थानों का एक बनच स्थान है,
3. मूल्यांकन मानचित्र $J:X\to X^{\prime \prime }$ मानक स्थानों का एक बनच स्थान है।

एक प्रतिवर्ती स्थान $X$ तब से, यह एक बानाच स्थान है $X$ तब यह बानाच स्थान के सममितीय है $X^{\prime \prime }.$

टिप्पणी

एक बानाच स्थान $X$ यदि यह इस कैनोनिकल एम्बेडिंग के तहत अपने द्विपक्षीय के लिए रैखिक रूप से आइसोमेट्रिक है तो रिफ्लेक्सिव है $J.$ जेम्स का स्थान एक गैर-प्रतिवर्ती स्थान का एक उदाहरण है जो अपने दोहरे स्थान#डबल दोहरे के लिए रैखिक रूप से सममितीय है। इसके अलावा, कैनोनिकल एम्बेडिंग के तहत जेम्स के स्थान की छवि $J$ इसके बिडुअल में संहिताकरण एक है। एक बानाच स्थान $X$ अर्ध-प्रतिवर्ती (क्रम का) कहा जाता है $d$) यदि भागफल $X^{\prime \prime }/J(X)$ परिमित आयाम है $d.$

उदाहरण

1. प्रत्येक परिमित-आयामी मानक स्थान रिफ्लेक्सिव है, सिर्फ इसलिए कि इस मामले में, अंतरिक्ष, इसके दोहरे और द्विपक्षीय सभी का रैखिक आयाम समान है, इसलिए रैखिक इंजेक्शन $J$ परिभाषा से रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा विशेषण है।
2. बनच स्पेस सीक्वेंस स्पेस#सी और सी0|$c_{0}$अनंत पर 0 की ओर प्रवृत्त अदिश अनुक्रमों का, सर्वोच्च मानदंड से सुसज्जित, प्रतिवर्ती नहीं है। नीचे दिए गए सामान्य गुणों से यह पता चलता है कि अनुक्रम स्थान#.E2.84.93p स्थान|$\ell ^{1}$ और $\ell ^{\infty }$प्रतिवर्ती नहीं हैं, क्योंकि $\ell ^{1}$ के दोहरे का समरूपी है $c_{0}$ और $\ell ^{\infty }$ के दोहरे का समरूपी है $\ell ^{1}.$
3. सभी हिल्बर्ट स्पेस रिफ्लेक्सिव हैं, जैसे एलपी स्पेस हैं $L^{p}$ के लिए $1<p<\infty .$ अधिक सामान्यतः: मिलमैन-पेटिस प्रमेय के अनुसार सभी समान रूप से उत्तल स्थान बानाच स्थान प्रतिवर्ती होते हैं। $L^{1}(\mu )$ एच> और $L^{\infty }(\mu )$ रिक्त स्थान प्रतिवर्ती नहीं होते हैं (जब तक कि वे परिमित आयामी न हों, जो उदाहरण के लिए तब होता है जब $\mu$ एक परिमित समुच्चय पर एक माप है)। इसी तरह, बानाच स्थान $C([0,1])$ निरंतर कार्यों का $[0,1]$ प्रतिवर्ती नहीं है.
4. रिक्त स्थान $S_{p}(H)$ हिल्बर्ट स्पेस पर छाया वर्ग संचालक में ऑपरेटरों की संख्या $H$ समान रूप से उत्तल होते हैं, इसलिए प्रतिवर्ती होते हैं $1<p<\infty .$ जब का आयाम $H$ तो फिर अनंत है $S_{1}(H)$ (ट्रेस क्लास) रिफ्लेक्सिव नहीं है, क्योंकि इसमें एक सबस्पेस आइसोमोर्फिक शामिल है $\ell ^{1},$ और $S_{\infty }(H)=L(H)$ (परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों पर $H$) रिफ्लेक्सिव नहीं है, क्योंकि इसमें एक सबस्पेस आइसोमोर्फिक शामिल है $\ell ^{\infty }.$ दोनों मामलों में, उप-स्थान को किसी दिए गए ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में ऑपरेटर विकर्ण के रूप में चुना जा सकता है $H.$

गुण

चूँकि प्रत्येक परिमित-आयामी मानक स्थान एक प्रतिवर्ती बनच स्थान है, केवल अनंत-आयामी स्थान गैर-प्रतिवर्ती हो सकता है।

यदि एक बनच स्थान $Y$ रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है $X$ तब $Y$ प्रतिवर्ती है. रिफ्लेक्सिव स्पेस का प्रत्येक बंद सेट रैखिक उपस्थान रिफ्लेक्सिव होता है। रिफ्लेक्सिव स्पेस का निरंतर द्वैत रिफ्लेक्सिव होता है। एक बंद उपस्थान द्वारा प्रतिवर्ती स्थान का प्रत्येक भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) प्रतिवर्ती होता है। होने देना $X$ एक बानाच स्थान बनें। निम्नलिखित समतुल्य हैं.

1. अंतरिक्ष $X$ प्रतिवर्ती है.
2. निरंतर द्वैत $X$ प्रतिवर्ती है.
3. की बंद इकाई गेंद $X$ कमजोर टोपोलॉजी में सघन स्थान है। (इसे काकुतानी प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
4. प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम $X$ इसका कमजोर रूप से अभिसरण परिणाम है।
5. रिस्ज़ की लेम्मा का कथन वास्तविक संख्या पर आधारित है बिलकुल है $1.$स्पष्ट रूप से, प्रत्येक बंद उचित वेक्टर उप-स्थान के लिए $Y$ का $X,$ वहाँ कुछ वेक्टर मौजूद है $u\in X$ इकाई मानक का $\|u\|=1$ ऐसा है कि $\|u-y\|\geq 1$ सभी के लिए $y\in Y.$ * उपयोग करना $d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|$ वेक्टर के बीच की दूरी को दर्शाने के लिए $u$ और सेट $Y,$ इसे सरल भाषा में इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $X$ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि प्रत्येक बंद उचित वेक्टर उप-स्थान के लिए $Y,$ कुछ वेक्टर है $u$ के इकाई क्षेत्र पर $X$ वह सदैव कम से कम की दूरी होती है $1=d(u,Y)$ उपस्थान से दूर.
   • उदाहरण के लिए, यदि रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस $X=\mathbb {R} ^{3}$ सामान्य यूक्लिडियन मानदंड से संपन्न है और $Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}$ है $x-y$ समतल फिर अंक $u=(0,0,\pm 1)$ निष्कर्ष को संतुष्ट करें $d(u,Y)=1.$ अगर $Y$ इसके बजाय है $z$-अक्ष फिर इकाई वृत्त से संबंधित प्रत्येक बिंदु $x-y$ समतल निष्कर्ष को संतुष्ट करता है।
6. प्रत्येक सतत रैखिक कार्यात्मक पर $X$ बंद इकाई गेंद पर अपना सर्वोच्च प्राप्त कर लेता है $X.$ (जेम्स प्रमेय)

चूंकि बानाच स्थान में मानक-बंद उत्तल सेट कमजोर रूप से बंद हैं, यह तीसरी संपत्ति से अनुसरण करता है जो एक रिफ्लेक्सिव स्पेस के घिरे हुए उत्तल उपसमुच्चय को बंद कर देता है $X$ कमजोर रूप से सघन हैं. इस प्रकार, गैर-रिक्त बंद परिबद्ध उत्तल उपसमुच्चय के प्रत्येक घटते क्रम के लिए $X,$ चौराहा खाली नहीं है. परिणामस्वरूप, प्रत्येक सतत उत्तल कार्य $f$ एक बंद उत्तल उपसमुच्चय पर $C$ का $X,$ ऐसे कि सेट

$$C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}$$

गैर-रिक्त है और कुछ वास्तविक संख्या से घिरा हुआ है $t,$ पर अपना न्यूनतम मूल्य प्राप्त कर लेता है $C.$ रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस की वादा की गई ज्यामितीय संपत्ति निम्नलिखित है: यदि $C$ रिफ्लेक्सिव स्पेस का एक बंद गैर-रिक्त उत्तल सेट उपसमुच्चय है $X,$ फिर हर एक के लिए $x\in X$ वहाँ एक मौजूद है $c\in C$ ऐसा है कि $\|x-c\|$ के बीच की दूरी को कम करता है $x$ और के अंक $C.$ यह उत्तल कार्यों के लिए लागू पिछले परिणाम से अनुसरण करता है$f(y)+\|y-x\|.$ ध्यान दें कि बीच की दूरी न्यूनतम हो $x$ और $C$ द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है $x,$ बिंदु $c$ क्या नहीं है। निकटतम बिंदु $c$ अद्वितीय है जब $X$ समान रूप से उत्तल है.

एक रिफ्लेक्सिव बैनाच स्पेस वियोज्य स्थान है यदि और केवल तभी जब इसका निरंतर दोहराव वियोज्य हो। यह इस तथ्य से निकलता है कि प्रत्येक मानक स्थान के लिए $Y,$ निरंतर द्वैत की पृथक्करणीयता $Y^{\prime }$ का तात्पर्य पृथक्करण से है $Y.$

सुपर-रिफ्लेक्टिव स्पेस

अनौपचारिक रूप से, एक सुपर-रिफ्लेक्सिव बानाच स्थान $X$ निम्नलिखित संपत्ति है: एक मनमाना बनच स्थान दिया गया है $Y,$ यदि सभी परिमित-आयामी उप-स्थान $Y$ कहीं न कहीं ऐसी ही एक प्रति रखी हुई है $X,$ तब $Y$ प्रतिवर्ती होना चाहिए. इस परिभाषा के अनुसार, अंतरिक्ष $X$ स्वयं प्रतिवर्ती होना चाहिए। एक प्राथमिक उदाहरण के रूप में, प्रत्येक बनच स्थान $Y$ जिनके दो आयामी उप-स्थान उप-स्थानों के लिए आइसोमेट्री हैं $X=\ell ^{2}$ इसलिए, समांतर चतुर्भुज नियम को संतुष्ट करता है $Y$ इसलिए, यह हिल्बर्ट स्थान है $Y$ प्रतिवर्ती है. इसलिए $\ell ^{2}$ अति-चिंतनशील है.

औपचारिक परिभाषा में आइसोमेट्रीज़ का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि लगभग आइसोमेट्रीज़ का उपयोग किया जाता है। एक बानाच स्थान $Y$ अंतिम रूप से प्रतिनिधित्व योग्य है एक बानाच स्थान में $X$ यदि प्रत्येक परिमित-आयामी उप-स्थान के लिए $Y_{0}$ का $Y$ और हर $\epsilon >0,$ वहाँ एक उपस्थान है $X_{0}$ का $X$ इस प्रकार कि गुणक बानाच-मज़ूर कॉम्पेक्टम|बनच-मज़ूर के बीच की दूरी $X_{0}$ और $Y_{0}$ संतुष्ट

$$d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .$$

एक बानाच स्थान जिसमें अंतिम रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $\ell ^{2}$ एक हिल्बर्ट स्थान है. प्रत्येक बानाच स्थान परिमित रूप से प्रतिनिधित्व योग्य है $c_{0}.$ एलपी स्पेस $L^{p}([0,1])$ में अंतिम रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य है $\ell ^{p}.$ एक बानाच स्थान $X$ यदि सभी बैनाच स्थान सुपर-रिफ्लेक्सिव हैं $Y$ में अंतिम रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य $X$ प्रतिवर्ती हैं, या, दूसरे शब्दों में, यदि कोई गैर-प्रतिवर्ती स्थान नहीं है $Y$ में अंतिम रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य है $X.$ बानाच स्थानों के एक परिवार के अल्ट्राप्रोडक्ट की धारणा एक संक्षिप्त परिभाषा की अनुमति देता है: बनच स्थान $X$ सुपर-रिफ्लेक्सिव तब होता है जब इसकी अल्ट्रापॉवर रिफ्लेक्सिव होती हैं।

जेम्स ने साबित कर दिया कि कोई स्थान सुपर-रिफ्लेक्सिव है यदि और केवल तभी जब उसका द्वैत सुपर-रिफ्लेक्सिव हो।

बानाच स्थानों में परिमित वृक्ष

जेम्स की सुपर-रिफ्लेक्सिविटी की एक विशेषता अलग-अलग पेड़ों की वृद्धि का उपयोग करती है। एक वेक्टरियल बाइनरी ट्री का विवरण एक ट्री (ग्राफ सिद्धांत) से शुरू होता है # वैक्टर द्वारा लेबल की गई परिभाषाएँ: बाइनरी ट्री का एक पेड़ # जड़ वाले पेड़ों के लिए परिभाषाएँ $n$ एक बानाच स्थान में $X$ का एक परिवार है $2^{n+1}-1$ के वैक्टर $X,$ इसे क्रमिक स्तरों में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसकी शुरुआत स्तर 0 से होती है जिसमें एक ही वेक्टर होता है $x_{\varnothing },$ वृक्ष (ग्राफ़ सिद्धांत)#पेड़ की परिभाषाएँ, अनुसरण किया गया, के लिए $k=1,\ldots ,n,$ के एक परिवार द्वारा $s^{k}$2 सदिश स्तर बनाते हैं $k:$

$$\left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,$$

वह वृक्ष (ग्राफ़ सिद्धांत)#स्तर के शीर्षों की परिभाषाएँ हैं $k-1.$ ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) के अलावा, यहां यह आवश्यक है कि प्रत्येक वेक्टर जो एक ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) है#पेड़ की परिभाषाएँ उसके दो बच्चों के बीच का मध्यबिंदु हो:

$$x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.$$

एक सकारात्मक वास्तविक संख्या दी गई है $t,$ पेड़ कहा जाता है$t$-अलग-अलग यदि प्रत्येक आंतरिक शीर्ष के लिए, दो बच्चे हैं $t$-दिए गए स्थान मानदंड में अलग:

$$\left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.$$

<ब्लॉककोट>प्रमेय।बानाच स्थान $X$ सुपर-रिफ्लेक्सिव है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $t\in (0,2\pi ],$ वहाँ एक संख्या है $n(t)$ ऐसा कि हर $t$-यूनिट बॉल में समाहित अलग पेड़ $X$ से ऊंचाई कम है $n(t).$</ब्लॉककोट>

समान रूप से उत्तल स्थान सुपर-रिफ्लेक्टिव होते हैं।होने देना $X$ मापांक और उत्तलता की विशेषता के साथ समान रूप से उत्तल हो $\delta _{X}$ और जाने $t$ में एक वास्तविक संख्या हो $(0,2].$ उत्तलता के मापांक और विशेषता द्वारा#उत्तलता के मापांक की परिभाषाएँ, a $t$-ऊंचाई का अलग पेड़ $n,$ यूनिट बॉल में निहित, स्तर के सभी बिंदु होने चाहिए $n-1$ त्रिज्या की गेंद में निहित है $1-\delta _{X}(t)<1.$ प्रेरण द्वारा, यह इस प्रकार है कि स्तर के सभी बिंदु $n-k$ त्रिज्या की गेंद में समाहित हैं

$$\left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.$$

यदि ऊंचाई $n$ इतना बड़ा था कि

$$\left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,$$

फिर दो बिंदु $x_{1},x_{-1}$ प्रथम स्तर का नहीं हो सका $t$-पृथक, धारणा के विपरीत। यह आवश्यक सीमा देता है $n(t),$ के समारोह $\delta _{X}(t)$ केवल।

वृक्ष-विशेषता का उपयोग करते हुए, प्रति एनफ़्लो ने सिद्ध किया वह सुपर-रिफ्लेक्सिव बानाच स्थान एक समान रूप से उत्तल मानदंड को स्वीकार करता है। बानाच स्थान में पेड़ वेक्टर-मूल्यवान मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत) का एक विशेष उदाहरण हैं। स्केलर मार्टिंगेल सिद्धांत से तकनीकों को जोड़कर, गाइल्स पिसियेर ने एनफ्लो के परिणाम को बेहतर बनाया वह एक सुपर-रिफ्लेक्टिव स्पेस $X$ एक समान रूप से उत्तल मानदंड को स्वीकार करता है जिसके लिए उत्तलता का मापांक कुछ स्थिरांक के लिए संतुष्ट होता है $c>0$ और कुछ वास्तविक संख्या $q\geq 2,$

$$\delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].$$

प्रतिवर्ती स्थानीय उत्तल स्थान

रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस की धारणा को निम्नलिखित तरीके से टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

होने देना $X$ एक संख्या क्षेत्र पर एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बनें $\mathbb {F}$ (वास्तविक संख्याओं का $\mathbb {R}$ या सम्मिश्र संख्याएँ $\mathbb {C}$). इसकी सशक्त टोपोलॉजी (ध्रुवीय टोपोलॉजी) पर विचार करें $X_{b}^{\prime },$ जिसमें सभी सतत कार्य रैखिक कार्यात्मकताएं शामिल हैं $f:X\to \mathbb {F}$ और स्ट्रांग टोपोलॉजी (ध्रुवीय टोपोलॉजी) से सुसज्जित है $b\left(X^{\prime },X\right),$ अर्थात्, परिबद्ध उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी $X.$ अंतरिक्ष $X_{b}^{\prime }$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है (अधिक सटीक होने के लिए, एक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान), इसलिए कोई इसके मजबूत दोहरे स्थान पर विचार कर सकता है $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },$ जिसे स्ट्रॉन्ग बिडुअल स्पेस कहा जाता है $X.$ इसमें सभी सतत रैखिक क्रियाएँ शामिल हैं $h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ और मजबूत टोपोलॉजी से लैस है $b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).$ प्रत्येक वेक्टर $x\in X$ एक नक्शा बनाता है $J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा:

$$J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.$$

यह एक सतत रैखिक कार्यात्मकता है $X_{b}^{\prime },$ वह है,, $J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$ यह एक मानचित्र तैयार करता है जिसे मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है:

$$J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$$

यह मानचित्र रैखिक है. अगर $X$ स्थानीय रूप से उत्तल है, हैन-बानाच प्रमेय से यह इस प्रकार है $J$ इंजेक्टिव और ओपन है (अर्थात, शून्य के प्रत्येक पड़ोस के लिए $U$ में $X$ शून्य का एक पड़ोस है $V$ में $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ ऐसा है कि $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). लेकिन यह गैर-विशेषणात्मक और/या असंतत हो सकता है।

स्थानीय रूप से उत्तल स्थान $X$ कहा जाता है

• यदि मूल्यांकन मानचित्र अर्ध-प्रतिबिंबित है $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ विशेषण है (इसलिए विशेषण),
• प्रतिवर्ती यदि मूल्यांकन मानचित्र $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ विशेषणात्मक और सतत है (इस मामले में)। $J$ टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान का एक समरूपता है).

Theorem — A locally convex Hausdorff space $X$ is semi-reflexive if and only if $X$ with the $\sigma (X,X^{*})$-topology has the Heine–Borel property (i.e. weakly closed and bounded subsets of $X$ are weakly compact).

Theorem — A locally convex space $X$ is reflexive if and only if it is semi-reflexive and barreled.

Theorem — The strong dual of a semireflexive space is barrelled.

Theorem — If $X$ is a Hausdorff locally convex space then the canonical injection from $X$ into its bidual is a topological embedding if and only if $X$ is infrabarreled.

अर्धचिंतनशील स्थान

Main article: Semi-reflexive space

लक्षण वर्णन

का $X$ यदि हॉसडॉर्फ़ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $X$ अर्धप्रतिवर्ती है;
2. कमजोर टोपोलॉजी चालू $X$ हेइन-बोरेल संपत्ति थी (अर्थात कमजोर टोपोलॉजी के लिए)। $\sigma \left(X,X^{\prime }\right),$ प्रत्येक बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय $X_{\sigma }$ कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट है)।
3. यदि रैखिक रूप चालू है $X^{\prime }$ वह निरंतर जब $X^{\prime }$ मजबूत दोहरी टोपोलॉजी है, तो यह निरंतर है जब $X^{\prime }$ कमज़ोर टोपोलॉजी है;
4. $X_{\tau }^{\prime }$ बैरल किया गया है;
5. $X$ कमजोर टोपोलॉजी के साथ $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ अर्ध-पूर्ण है.

प्रतिवर्ती स्थानों की विशेषताएँ

अगर $X$ यदि हॉसडॉर्फ़ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $X$ प्रतिवर्ती है;
2. $X$ सेमी अर्धचिंतनशील स्थान और इंफ्रा इन्फ़्राबैरल स्पेस है;
3. $X$ सेमीरिफ्लेक्सिव स्पेस और बैरल वाली जगह है;
4. $X$ बैरेल स्पेस और कमजोर टोपोलॉजी है $X$ हेइन-बोरेल संपत्ति थी (अर्थात कमजोर टोपोलॉजी के लिए)। $\sigma \left(X,X^{\prime }\right),$ प्रत्येक बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय $X_{\sigma }$ कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट है)।
5. $X$ सेमी रिफ्लेक्सिव स्पेस और क्वासी अर्धबैरेल्ड स्थान है।

अगर $X$ एक मानक स्थान है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $X$ प्रतिवर्ती है;
2. बंद यूनिट बॉल कब कॉम्पैक्ट होती है $X$ कमजोर टोपोलॉजी है $\sigma \left(X,X^{\prime }\right).$
3. $X$ एक बनच स्थान है और $X_{b}^{\prime }$ प्रतिवर्ती है.
4. हर क्रम $\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },$ साथ $C_{n+1}\subseteq C_{n}$ सभी के लिए $n$ के गैर-रिक्त बंद परिबद्ध उत्तल उपसमुच्चय $X$ गैर-रिक्त चौराहा है।

Theorem — A real Banach space is reflexive if and only if every pair of non-empty disjoint closed convex subsets, one of which is bounded, can be strictly separated by a hyperplane.

James' theorem — A Banach space $B$ is reflexive if and only if every continuous linear functional on $B$ attains its supremum on the closed unit ball in $B.$

पर्याप्त स्थितियाँ

सामान्य स्थान

एक मानक स्थान जो सेमीरिफ्लेक्सिव है, वह रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस है। रिफ्लेक्सिव बानाच स्पेस का एक बंद वेक्टर उपस्पेस रिफ्लेक्सिव है।

होने देना $X$ एक बानाच स्थान बनें और $M$ का एक बंद वेक्टर उपस्थान $X.$ यदि दो में से $X,M,$ और $X/M$ रिफ्लेक्सिव हैं तो वे सभी हैं। यही कारण है कि रिफ्लेक्सिविटी को ए के रूप में जाना जाता है three-space property.

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस

यदि एक बैरल वाला स्थान स्थानीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ स्थान अर्ध-प्रतिवर्ती है तो यह प्रतिवर्ती है।

रिफ्लेक्सिव स्पेस का मजबूत द्वैत रिफ्लेक्सिव होता है।प्रत्येक मॉन्टेल स्पेस रिफ्लेक्सिव है। और मोंटेल स्पेस का मजबूत दोहरा एक मोंटेल स्पेस है (और इस प्रकार रिफ्लेक्सिव है)।

गुण

स्थानीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ रिफ्लेक्सिव स्पेस बैरल वाली जगह है। अगर $X$ तो यह एक मानक स्थान है $I:X\to X^{\prime \prime }$ के एक बंद उपस्थान पर एक आइसोमेट्री है $X^{\prime \prime }.$ इस आइसोमेट्री को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.$$

लगता है कि $X$ एक मानक स्थान है और $X^{\prime \prime }$ क्या इसका बिडुअल बिडुअल मानक से सुसज्जित है। फिर यूनिट बॉल की $X,$ $I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})$ यूनिट बॉल में सघन है

$\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}$ का $X^{\prime \prime }$ कमजोर टोपोलॉजी के लिए $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).$

उदाहरण

1. प्रत्येक परिमित-आयामी हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस रिफ्लेक्सिव है, क्योंकि $J$ रैखिक बीजगणित द्वारा विशेषण है, और क्योंकि एक परिमित आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर एक अद्वितीय हॉसडॉर्फ वेक्टर अंतरिक्ष टोपोलॉजी है।
2. एक मानक स्थान $X$ एक मानक स्थान के रूप में प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से उत्तल स्थान के रूप में प्रतिवर्ती है। यह इस तथ्य से निकलता है कि एक मानक स्थान के लिए $X$ इसका दोहरा मानक स्थान $X^{\prime }$ मजबूत दोहरे स्थान के साथ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के रूप में मेल खाता है $X_{b}^{\prime }.$ परिणाम के रूप में, मूल्यांकन मानचित्र $J:X\to X^{\prime \prime }$ मूल्यांकन मानचित्र से मेल खाता है $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },$ और निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हो जाती हैं:
   <ली>$X$ एक रिफ्लेक्सिव मानकीकृत स्थान है (अर्थात्, $J:X\to X^{\prime \prime }$ मानक स्थानों की एक समरूपता है), <ली>$X$ एक प्रतिवर्ती स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है (अर्थात्, $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान का एक समरूपता है), <ली>$X$ एक अर्ध-प्रतिवर्ती स्थानीय उत्तल स्थान है (अर्थात्, $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ विशेषण है).
3. अर्ध-रिफ्लेक्सिव स्पेस का एक (कुछ हद तक कृत्रिम) उदाहरण जो रिफ्लेक्सिव नहीं है, इस प्रकार प्राप्त किया गया है: चलो $Y$ एक अनंत आयामी प्रतिवर्ती बनच स्थान बनें, और चलो $X$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बनें $\left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),$ अर्थात् सदिश समष्टि $Y$ कमजोर टोपोलॉजी से लैस। फिर निरंतर द्वैत $X$ और $Y^{\prime }$ कार्यात्मकताओं का एक ही सेट और बंधे हुए उपसमुच्चय हैं $X$ (अर्थात, कमजोर रूप से बंधे हुए उपसमुच्चय $Y$) मानदंड-बद्ध हैं, इसलिए बानाच स्थान है $Y^{\prime }$ का मजबूत द्वैत है $X.$ तब से $Y$ प्रतिवर्ती है, का सतत द्वैत $X^{\prime }=Y^{\prime }$ छवि के बराबर है $J(X)$ का $X$ विहित एम्बेडिंग के अंतर्गत $J,$ लेकिन टोपोलॉजी चालू है $X$ (की कमजोर टोपोलॉजी $Y$) मजबूत टोपोलॉजी नहीं है $\beta \left(X,X^{\prime }\right),$ यह के मानक टोपोलॉजी के बराबर है $Y.$
4. मोंटेल स्पेस रिफ्लेक्टिव स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हैं। विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण में अक्सर उपयोग किए जाने वाले निम्नलिखित कार्यात्मक स्थान प्रतिवर्ती स्थानीय उत्तल स्थान हैं:
   • अंतरिक्ष $C^{\infty }(M)$ मनमाना (वास्तविक) स्मूथ मैनिफ़ोल्ड पर सुचारु कार्यों का $M,$ और इसका मजबूत दोहरा स्थान $\left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वितरण का $M,$
   • अंतरिक्ष ${\mathcal {D}}(M)$ मनमाने ढंग से (वास्तविक) चिकनी मैनिफोल्ड पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ चिकनी कार्यों की $M,$ और इसका मजबूत दोहरा स्थान ${\mathcal {D}}^{\prime }(M)$ वितरण का $M,$
   • अंतरिक्ष ${\mathcal {O}}(M)$ मनमाने ढंग से जटिल मैनिफ़ोल्ड पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस का $M,$ और इसका मजबूत दोहरा स्थान ${\mathcal {O}}^{\prime }(M)$ विश्लेषणात्मक कार्यप्रणाली पर $M,$
   • श्वार्ट्ज स्थान ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ पर $\mathbb {R} ^{n},$ और इसका मजबूत दोहरा स्थान ${\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ टेम्पर्ड वितरण पर $\mathbb {R} ^{n}.$
   <ली> </al>

   प्रति-उदाहरण

   • एक गैर-रिफ्लेक्सिव स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस मौजूद है जिसका मजबूत डुअल रिफ्लेक्सिव है।

   अन्य प्रकार की रिफ्लेक्सिविटी

   एक स्टीरियोटाइप स्पेस, या पोलर रिफ्लेक्सिव स्पेस को एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के रूप में परिभाषित किया गया है, जो रिफ्लेक्सिविटी की समान स्थिति को संतुष्ट करता है, लेकिन दोहरे की परिभाषा में पूरी तरह से बंधे सेट सबसेट (बंधा हुआ सेट सबसेट के बजाय) पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ। अंतरिक्ष $X^{\prime }.$ अधिक सटीक रूप से, एक टीवीएस $X$ ध्रुवीय प्रतिवर्ती कहा जाता है या यदि मूल्यांकन मानचित्र दूसरे दोहरे स्थान में है तो स्टीरियोटाइप

   $$J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }$$
   एक टीवीएस-समरूपता है।यहां स्टीरियोटाइप डुअल स्पेस है $X^{\star }$ निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है $X^{\prime }$ पूरी तरह से बंधे हुए सेटों पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न $X$ (और स्टीरियोटाइप दूसरा दोहरा स्थान $X^{\star \star }$ अंतरिक्ष दोहरी है $X^{\star }$ उसी अर्थ में)।

   शास्त्रीय रिफ्लेक्सिव स्पेस के विपरीत, स्टीरियोटाइप स्पेस का वर्ग स्टी बहुत व्यापक है (इसमें, विशेष रूप से, सभी फ़्रेचेट स्पेस और इस प्रकार, सभी बानाच स्पेस शामिल हैं), यह एक बंद मोनोइडल श्रेणी बनाता है, और यह मानक संचालन (के अंदर परिभाषित) को स्वीकार करता है एसटीई) नए स्थानों का निर्माण करना, जैसे बंद उप-स्थान, भागफल स्थान, प्रक्षेप्य और इंजेक्शन सीमाएं, ऑपरेटरों का स्थान, टेंसर उत्पाद इत्यादि। श्रेणी एसटीई में गैर-कम्यूटेटिव समूहों के लिए द्वैत सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

   इसी प्रकार, कोई परिबद्ध (और पूर्णतः परिबद्ध) उपसमुच्चय के वर्ग को प्रतिस्थापित कर सकता है $X$ दोहरे स्थान की परिभाषा में $X^{\prime },$ उपसमुच्चय के अन्य वर्गों द्वारा, उदाहरण के लिए, सघन उपसमुच्चय के वर्ग द्वारा $X$ - संबंधित रिफ्लेक्सिविटी स्थिति द्वारा परिभाषित रिक्त स्थान कहलाते हैं reflective, और वे Ste से भी अधिक व्यापक वर्ग बनाते हैं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है (2012), कि क्या यह वर्ग Ste के समान गुणों वाली एक श्रेणी बनाता है।

   यह भी देखें

   • Grothendieck space
     • एक सामान्यीकरण जिसमें रिफ्लेक्सिव स्पेस के कुछ गुण हैं और इसमें व्यावहारिक महत्व के कई स्पेस शामिल हैं, ग्रोथेंडिक स्थान की अवधारणा है।
   • Reflexive operator algebra

   संदर्भ

   टिप्पणियाँ

   
   

   उद्धरण

   
   

   सामान्य सन्दर्भ

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   श्रेणी:बैनाच स्थान श्रेणी:द्वैत सिद्धांत