फर्मी समस्या

This article is about the estimation technique. For Fermi's question about extraterrestrial life, see Fermi paradox.

भौतिकी या अभियांत्रिकी शिक्षा में, एक फर्मी समस्या, फर्मी प्रश्नोत्तरी, फर्मी प्रश्न, फर्मी अनुमान, क्रम-परिमाण समस्या, आदेश-परिमाण अनुमान, या आदेश अनुमान एक अनुमान सिद्धांत समस्या है जिसे आयामी विश्लेषण या चरम के सन्निकटन को पढ़ाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। वैज्ञानिक गणनाएं, और ऐसी समस्या आमतौर पर एक बैक-ऑफ-द-लिफाफा गणना होती है। अनुमान तकनीक का नाम भौतिक विज्ञानी एनरिको फर्मी के नाम पर रखा गया है क्योंकि वह बहुत कम या बिना वास्तविक डेटा के अच्छी अनुमानित गणना करने की अपनी क्षमता के लिए जाने जाते थे। फर्मी समस्याओं में आम तौर पर मात्राओं और उनके भिन्नता या निचली और ऊपरी सीमाओं के बारे में उचित अनुमान लगाना शामिल होता है। कुछ मामलों में, आयामी विश्लेषण का उपयोग करके ऑर्डर-ऑफ-परिमाण अनुमान भी प्राप्त किए जा सकते हैं।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

एक उदाहरण एनरिको फर्मी का परमाणु हथियार की ताकत का अनुमान है जो ट्रिनिटी परीक्षण में विस्फोट हुआ था, विस्फोट के दौरान उसके हाथ से गिराए गए कागज के टुकड़ों द्वारा तय की गई दूरी के आधार पर। 10 किलोटन टीएनटी का फर्मी का अनुमान 21 किलोटन के अब स्वीकृत मूल्य के परिमाण के एक क्रम के भीतर था।

उदाहरण

फर्मी के प्रश्न अक्सर चरम प्रकृति के होते हैं, और आमतौर पर सामान्य गणितीय या वैज्ञानिक जानकारी का उपयोग करके हल नहीं किए जा सकते हैं।

आधिकारिक फर्मी प्रतियोगिता द्वारा दिए गए उदाहरण प्रश्न:

"If the mass of one teaspoon of water could be converted entirely into energy in the form of heat, what volume of water, initially at room temperature, could it bring to a boil? (litres)."

"How much does the Thames River heat up in going over the Fanshawe Dam? (Celsius degrees)."

"What is the mass of all the automobiles scrapped in North America this month? (kilograms)."

संभवतः सबसे प्रसिद्ध फर्मी प्रश्न ड्रेक समीकरण है, जो आकाशगंगा में बुद्धिमान सभ्यताओं की संख्या का अनुमान लगाना चाहता है। मूल प्रश्न यह है कि, यदि ऐसी महत्वपूर्ण संख्या में ऐसी सभ्यताएँ थीं, तो हमारी सभ्यताओं का कभी किसी अन्य से सामना नहीं हुआ, इसे फर्मी विरोधाभास कहा जाता है।

लाभ और दायरा

सटीक उत्तर की गणना करने के लिए अधिक परिष्कृत तरीकों की ओर मुड़ने से पहले वैज्ञानिक अक्सर किसी समस्या के उत्तर के फर्मी अनुमानों की तलाश करते हैं। यह परिणामों पर एक उपयोगी जाँच प्रदान करता है। जबकि अनुमान लगभग निश्चित रूप से गलत है, यह एक साधारण गणना भी है जो आसान त्रुटि जाँच की अनुमति देती है, और दोषपूर्ण धारणाओं को खोजने के लिए यदि उत्पादित आंकड़ा हमारी यथोचित अपेक्षा से कहीं अधिक है। इसके विपरीत, सटीक गणना अत्यंत जटिल हो सकती है लेकिन इस अपेक्षा के साथ कि वे जो उत्तर देते हैं वह सही है। बहुत बड़ी संख्या में शामिल कारक और संचालन एक बहुत ही महत्वपूर्ण त्रुटि को अस्पष्ट कर सकते हैं, या तो गणितीय प्रक्रिया में या उन मान्यताओं में जो समीकरण पर आधारित हैं, लेकिन परिणाम अभी भी सही माना जा सकता है क्योंकि यह एक सटीक सूत्र से प्राप्त किया गया है अच्छे परिणाम मिलने की उम्मीद है। यदि परिणाम स्वीकार्य रूप से सटीक है या परिमाण की कई डिग्री (दसियों या सैकड़ों बार) बहुत बड़ा या बहुत छोटा है, तो काम करने के संदर्भ के एक उचित फ्रेम के बिना यह शायद ही कभी स्पष्ट होता है। फर्मी का अनुमान संदर्भ के इस फ्रेम को प्राप्त करने का एक त्वरित, सरल तरीका देता है, जो उत्तर के रूप में यथोचित रूप से अपेक्षित हो सकता है।

जब तक अनुमान में प्रारंभिक धारणाएँ उचित मात्राएँ हैं, तब तक प्राप्त परिणाम सही परिणाम के समान पैमाने के भीतर उत्तर देगा, और यदि नहीं, तो यह समझने का आधार देता है कि ऐसा क्यों है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपको शिकागो में पियानो ट्यूनर की संख्या निर्धारित करने के लिए कहा गया है। यदि आपका प्रारंभिक अनुमान आपको बताता है कि सौ या तो होना चाहिए, लेकिन सटीक उत्तर आपको बताता है कि कई हजारों हैं, तो आप जानते हैं कि आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि अपेक्षित परिणाम से यह भिन्नता क्यों है। पहले त्रुटियों की तलाश में, फिर कारकों के लिए अनुमान पर ध्यान नहीं दिया गया - क्या शिकागो में कई संगीत विद्यालय या अन्य स्थान हैं जहां लोगों के लिए पियानो का असमान रूप से उच्च अनुपात है? देखे गए परिणामों के करीब या बहुत दूर, अनुमान प्रदान करने वाला संदर्भ गणना की प्रक्रिया और समस्याओं को देखने के लिए उपयोग की जाने वाली मान्यताओं दोनों के बारे में उपयोगी जानकारी देता है।

फर्मी के अनुमान उन समस्याओं को हल करने में भी उपयोगी होते हैं जहाँ गणना पद्धति का इष्टतम विकल्प उत्तर के अपेक्षित आकार पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक फर्मी अनुमान यह संकेत दे सकता है कि क्या संरचना के आंतरिक तनाव इतने कम हैं कि इसे रैखिक लोच द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है; या यदि अनुमान पहले से ही किसी अन्य मूल्य के सापेक्ष स्केल (अनुपात) में महत्वपूर्ण संबंध रखता है, उदाहरण के लिए, यदि एक संरचना को अनुमान से कई गुना अधिक भार का सामना करने के लिए अति-इंजीनियर किया जाएगा।

हालांकि फर्मी की गणना अक्सर सटीक नहीं होती है, क्योंकि उनकी धारणाओं के साथ कई समस्याएं हो सकती हैं, इस प्रकार का विश्लेषण हमें बताता है कि बेहतर उत्तर पाने के लिए क्या देखना चाहिए। उपरोक्त उदाहरण के लिए, हम एक विशिष्ट दिन में पियानो ट्यूनर द्वारा ट्यून किए गए पियानो की संख्या का बेहतर अनुमान लगाने का प्रयास कर सकते हैं, या शिकागो की आबादी के लिए सटीक संख्या देख सकते हैं। यह हमें एक मोटा अनुमान भी देता है जो कुछ उद्देश्यों के लिए काफी अच्छा हो सकता है: यदि हम शिकागो में एक स्टोर शुरू करना चाहते हैं जो पियानो ट्यूनिंग उपकरण बेचता है, और हम गणना करते हैं कि हमें व्यवसाय में बने रहने के लिए 10,000 संभावित ग्राहकों की आवश्यकता है, तो हम उचित रूप से यह मान सकते हैं उपरोक्त अनुमान 10,000 से काफी नीचे है जिसके लिए हमें एक अलग व्यवसाय योजना पर विचार करना चाहिए (और, थोड़े और काम के साथ, हम प्रत्येक ट्यूनर में दिखाई देने वाले सबसे चरम उचित मूल्यों पर विचार करके पियानो ट्यूनर की संख्या पर ऊपरी ऊपरी सीमा की गणना कर सकते हैं। हमारी मान्यताओं के)।

स्पष्टीकरण

फर्मी का अनुमान आम तौर पर काम करता है क्योंकि व्यक्तिगत शर्तों के अनुमान अक्सर सही होने के करीब होते हैं, और अधिक अनुमान और कम अनुमान एक दूसरे को रद्द करने में मदद करते हैं। यही है, यदि कोई सुसंगत पूर्वाग्रह नहीं है, तो एक फर्मी गणना जिसमें कई अनुमानित कारकों (जैसे कि शिकागो में पियानो ट्यूनर की संख्या) का गुणन शामिल है, संभवतः पहले की तुलना में अधिक सटीक होगा।

विस्तार से, गुणा करने वाले अनुमान उनके लघुगणक को जोड़ने के अनुरूप होते हैं; इस प्रकार एक प्रकार की वीनर प्रक्रिया या लघुगणकीय पैमाने पर यादृच्छिक चलना प्राप्त होता है, जो कि के रूप में फैलता है ${\sqrt {n}}$ (शर्तों की संख्या n में)। असतत शब्दों में, ओवरएस्टीमेट्स माइनस अंडरएस्टीमेट्स की संख्या का द्विपद वितरण होगा। निरंतर शब्दों में, यदि कोई वास्तविक मूल्य से लॉग स्केल पर मानक विचलन σ इकाइयों के साथ n चरणों का फर्मी अनुमान लगाता है, तो समग्र अनुमान में मानक विचलन होगा $\sigma ^{\sqrt {n}}$, क्योंकि योग के मानक विचलन के रूप में ${\sqrt {n}}$ योगों की संख्या में।

उदाहरण के लिए, यदि कोई 9-चरणीय फर्मी अनुमान लगाता है, तो प्रत्येक चरण में 2 के गुणक (या मानक विचलन 2 के साथ) द्वारा सही संख्या को अधिक या कम करके आँका जाता है, तो 9 चरणों के बाद मानक त्रुटि एक लघुगणक कारक द्वारा बढ़ जाएगी। का ${\sqrt {9}}=3$, तो 2³ = 8. इस प्रकार व्यक्ति भीतर होने की अपेक्षा करेगा 1⁄8 से 8 गुना सही मान - परिमाण के एक क्रम के भीतर, और 2 के कारक द्वारा ग़लती के सबसे खराब मामले से बहुत कम⁹ = 512 (परिमाण के लगभग 2.71 आदेश)। यदि किसी के पास एक छोटी श्रृंखला है या अधिक सटीक अनुमान है, तो समग्र अनुमान तदनुसार बेहतर होगा।

यह भी देखें

• अनुमान
• मृत गणना
• हाथ लहराते हुए
• अनुमानी
• सन्निकटन के आदेश
• स्टीन का उदाहरण
• गोलाकार गाय
• ड्रेक समीकरण

अग्रिम पठन

The following books contain many examples of Fermi problems with solutions:

• John Harte, Consider a Spherical Cow: A Course in Environmental Problem Solving University Science Books. 1988. ISBN 0-935702-58-X.
• John Harte, Consider a Cylindrical Cow: More Adventures in Environmental Problem Solving University Science Books. 2001. ISBN 1-891389-17-3.
• Clifford Swartz, Back-of-the-Envelope Physics Johns Hopkins University Press. 2003. ISBN 0-8018-7263-4. ISBN 978-0801872631.
• Lawrence Weinstein & John A. Adam, Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin Princeton University Press. 2008. ISBN 0-691-12949-5. ISBN 978-1-4008-2444-1. A textbook on Fermi problems.
• Aaron Santos, How Many Licks?: Or, How to Estimate Damn Near Anything. Running Press. 2009. ISBN 0-7624-3560-7. ISBN 978-0-7624-3560-9.
• Sanjoy Mahajan, Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving MIT Press. 2010. ISBN 026251429X. ISBN 978-0262514293.
• Göran Grimvall, Quantify! A Crash Course in Smart Thinking Johns Hopkins University Press. 2010. ISBN 0-8018-9717-3. ISBN 978-0-8018-9717-7.
• Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0: Solving Today's Problems on the Back of a Napkin Princeton University Press. 2012. ISBN 978-0-691-15080-2.
• Sanjoy Mahajan, The Art of Insight in Science and Engineering MIT Press. 2014. ISBN 9780262526548.
• Dmitry Budker, Alexander O. Sushkov, Physics on your feet. Berkeley Graduate Exam Questions Oxford University Press. 2015. ISBN 978-0199681655.
• Rob Eastaway, Maths on the Back of an Envelope: Clever ways to (roughly) calculate anything HarperCollins. 2019. ISBN 978-0008324582.

बाहरी संबंध

• The University of Maryland Physics Education Group maintains a collection of Fermi problems.
• Fermi Questions: A Guide for Teachers, Students, and Event Supervisors by Lloyd Abrams.
• "What if? Paint the Earth" from the book What if? Serious Scientific Answers to Absurd Hypothetical Questions by Randall Munroe.
• An example of a Fermi Problem relating to total gasoline consumed by cars since the invention of cars and comparison to the output of the energy released by the sun.
• "Introduction to Fermi estimates" by Nuño Sempere, which has a proof sketch of why Fermi-style decompositions produce better estimates.
• "How should mathematics be taught to non-mathematicians?" by Timothy Gowers.

There are or have been a number of university-level courses devoted to estimation and the solution of Fermi problems. The materials for these courses are a good source for additional Fermi problem examples and material about solution strategies:

• 6.055J / 2.038J The Art of Approximation in Science and Engineering taught by Sanjoy Mahajan at the Massachusetts Institute of Technology (MIT).
• Physics on the Back of an Envelope taught by Lawrence Weinstein at Old Dominion University.
• Order of Magnitude Physics taught by Sterl Phinney at the California Institute of Technology.
• Order of Magnitude Estimation taught by Patrick Chuang at the University of California, Santa Cruz.
• Order of Magnitude Problem Solving taught by Linda Strubbe at the University of Toronto.
• Order of Magnitude Physics taught by Eugene Chiang at the University of California, Berkeley.
• Chapter 2: Discoveries on the Back of an Envelope from Frontiers of Science: Scientific Habits of Mind taught by David Helfand at Columbia University.