फेलर का सिक्का उछालने का स्थिरांक

फेलर का सिक्का उछालने वाले स्थिरांक संख्यात्मक स्थिरांकों का एक समूह है जो स्पर्शोन्मुख संभावना का वर्णन करता है कि एक निष्पक्ष सिक्के के एन स्वतंत्र उछाल में, के लगातार हेड (या, समान रूप से, पूंछ) का कोई रन दिखाई नहीं देता है।

विलियम फेलर ने दिखाया यदि इस प्रायिकता को p(n,k) के रूप में लिखा जाए तो

$\lim _{n\rightarrow \infty }p(n,k)\alpha _{k}^{n+1}=\beta _{k}$

जहां α_k की सबसे छोटी सकारात्मक वास्तविक जड़ है

$x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)$

और

$\beta _{k}={2-\alpha _{k} \over k+1-k\alpha _{k}}.$

अचर का मान

k	$\alpha _{k}$	$\beta _{k}$
1	2	2
2	1.23606797...	1.44721359...
3	1.08737802...	1.23683983...
4	1.03758012...	1.13268577...

के लिए $k=2$ स्थिरांक स्वर्णिम अनुपात से संबंधित हैं, $\varphi$, और फाइबोनैचि संख्याएँ; स्थिरांक हैं ${\sqrt {5}}-1=2\varphi -2=2/\varphi$ और $1+1/{\sqrt {5}}$. सटीक संभावना p(n,2) की गणना या तो Fibonacci_number, p(n,2)= का उपयोग करके की जा सकती है${\tfrac {F_{n+2}}{2^{n}}}$ या उसी परिणाम की ओर ले जाने वाले प्रत्यक्ष पुनरावृत्ति संबंध को हल करके। के उच्च मूल्यों के लिए $k$, स्थिरांक Generalizations_of_Fibonacci_numbers#Fibonacci_numbers_of_higher_order से संबंधित हैं जैसे ट्राइबोनैचि और टेट्रानैचि संख्याएँ। संबंधित सटीक संभावनाओं की गणना p(n,k)= के रूप में की जा सकती है${\tfrac {F_{n+2}^{(k)}}{2^{n}}}$.

उदाहरण

यदि हम एक निष्पक्ष सिक्के को दस बार उछालते हैं तो सटीक संभावना है कि कोई जोड़ी चित एक के बाद एक नहीं आती (यानी n = 10 और k = 2) p(10,2) = है${\tfrac {9}{64}}$= 0.140625. सन्निकटन $p(n,k)\approx \beta _{k}/\alpha _{k}^{n+1}$ 1.44721356...×1.23606797... देता है⁻¹¹ = 0.1406263...

बाहरी संबंध

• Steve Finch's constants at Mathsoft