फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक

फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक, जिसे कभी-कभी एफ कहा जाता है, गणितीय स्थिरांक है जो पारस्परिक गामा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बीच के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, 1/Γ(x), और धनात्मक x अक्ष। वह है,

$F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx=2.8077702420285...$

अन्य भाव

फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक का संख्यात्मक मान है F = 2.8077702420285... (sequence A058655 in the OEIS), और निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (sequence A046943 in the OEIS). स्थिरांक कुछ हद तक e (गणितीय स्थिरांक)|यूलर की संख्या के करीब है e = 2.71828... . इस तथ्य को एक योग द्वारा अभिन्न का अनुमान लगाकर समझाया जा सकता है:

$F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},$

और यह योग ई के लिए मानक श्रृंखला है। अंतर यह है

$F-e=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{\pi ^{2}+(\ln x)^{2}}}\,dx$

या समकक्ष

$F=e+{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{\pi \tan \theta }e^{-e^{\pi \tan \theta }}\,d\theta .$

फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक को सीमा के रूप में मिट्टाग-लेफ़लर फ़ंक्शन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है

$F=\lim _{\alpha \to 0}\alpha E_{\alpha ,0}(1).$

हालाँकि यह अज्ञात है कि क्या F को अन्य ज्ञात स्थिरांकों के संदर्भ में बंद-रूप अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है।

गणना इतिहास

उच्च सटीकता के साथ फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए उचित मात्रा में प्रयास किए गए हैं।

मान की गणना हरमन पी. रॉबिन्सन द्वारा 11 बिंदु न्यूटन-कोट्स चतुर्भुज का उपयोग करके 36 दशमलव स्थानों पर की गई थी, ए. फ्रांसेन द्वारा यूलर-मैकलॉरिन योग का उपयोग करके 65 अंकों तक, और फ्रांसेन और एस. रिग्गे द्वारा टेलर श्रृंखला और अन्य तरीकों का उपयोग करके 80 अंकों तक की गई थी। . विलियम ए. जॉनसन ने 300 अंकों की गणना की, और पास्कल सेबाह क्लेंशॉ-कर्टिस क्वाडरेचर|क्लेंशॉ-कर्टिस एकीकरण का उपयोग करके 1025 अंकों की गणना करने में सक्षम थे।

संदर्भ

• Fransen, Arne (1979). "Accurate determination of the inverse Gamma integral". BIT. 19 (1): 137–138. doi:10.1007/BF01931232. MR 0530126. S2CID 122091723.
• Fransen, Arne; Wrigge, Staffan (1980). "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients". Mathematics of Computation. 34 (150): 553–566. doi:10.2307/2006104. JSTOR 2006104. MR 0559204.
• Fransen, Arne (1981). "Addendum and corrigendum to "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients"". Mathematics of Computation. 37 (155): 233–235. doi:10.2307/2007517. JSTOR 2007517. MR 0616377.
• Finch, Steve. "Fransén–Robinson Constant".
• Weisstein, Eric W. "Fransén–Robinson Constant". MathWorld.
• Borwein, Jonathan; Bailey, David; Girgensohn, Roland (2003). Experimentation in Mathematics – Computational Paths to Discovery. A. K. Peters. p. 288. ISBN 1-56881-136-5.