बर्नौली परीक्षण

File:Bernoulli trial progression.svg

विभिन्न पी के लिए एन बर्नौली परीक्षण बनाम एनपी के बाद प्रत्येक संभावना पी की स्वतंत्र घटनाओं का अवलोकन न करने की संभाव्यता पी के ग्राफ। तीन उदाहरण दिखाए गए हैं:
'नीला वक्र': 6-तरफा पासे को 6 बार फेंकने से 33.5% संभावना मिलती है कि 6 (या कोई अन्य दी गई संख्या) कभी नहीं आएगी; यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, n प्रयासों के बाद कभी भी प्रकट न होने वाली 1/n-मौका घटना की संभावना तेजी से 0 में परिवर्तित हो जाती है।
'ग्रे कर्व': Yahtzee को फेंकने का 50-50 मौका पाने के लिए (5 घन पासे सभी समान संख्या दर्शाते हैं) 0.69 × 1296 ~ 898 थ्रो की आवश्यकता होती है।
'ग्रीन कर्व': ताश के डेक से जोकर के बिना 100 (1.92 × 52) बार प्रतिस्थापन के साथ एक कार्ड खींचने से कम से कम एक बार हुकुम का इक्का निकालने की 85.7% संभावना मिलती है।

संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत में, बर्नौली परीक्षण (या द्विपद परीक्षण) बिल्कुल दो संभावित परिणामों (संभावना), सफलता और विफलता के साथ एक यादृच्छिक प्रयोग (संभावना सिद्धांत) है, जिसमें हर बार प्रयोग के दौरान सफलता की संभावना समान होती है संचालित हुआ। इसका नाम 17वीं सदी के स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपनी पुस्तक में इनका विश्लेषण किया थाArs Conjectandi (1713).

बर्नौली परीक्षण की गणितीय औपचारिकता को बर्नौली प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है। यह लेख अवधारणा का प्रारंभिक परिचय प्रदान करता है, जबकि बर्नौली प्रक्रिया पर लेख अधिक उन्नत उपचार प्रदान करता है।

चूँकि बर्नौली परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम हैं, इसे कुछ हाँ या ना वाले प्रश्न के रूप में तैयार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

• क्या शफ़ल डेक का शीर्ष कार्ड इक्का है?
• क्या नवजात बच्ची लड़की थी? (मानव लिंगानुपात देखें।)

इसलिए, सफलता और विफलता केवल दो परिणामों के लिए लेबल हैं, और इसका शाब्दिक अर्थ नहीं लगाया जाना चाहिए। इस अर्थ में सफलता शब्द निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करने वाले परिणाम में निहित है; यह कोई मूल्य निर्णय नहीं है. अधिक आम तौर पर, किसी भी घटना (संभावना सिद्धांत) (परिणामों का सेट) के लिए किसी भी संभाव्यता स्थान को देखते हुए, कोई बर्नौली परीक्षण को परिभाषित कर सकता है, जो कि घटना हुई या नहीं (घटना या पूरक घटना) के अनुरूप है। बर्नौली परीक्षणों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• सिक्का उछालना. इस संदर्भ में, उल्टा (हेड्स) पारंपरिक रूप से सफलता को दर्शाता है और उल्टा (टेल्स) विफलता को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार एक निष्पक्ष सिक्के की सफलता की संभावना 0.5 है। इस मामले में, बिल्कुल दो संभावित परिणाम हैं।
• रोलिंग ए die, जहां एक छक्का सफलता है और बाकी सब विफलता। इस मामले में, छह संभावित परिणाम हैं, और घटना छह है; पूरक घटना छह नहीं अन्य पांच संभावित परिणामों से मेल खाती है।
• राजनीतिक जनमत सर्वेक्षण आयोजित करने में, यह सुनिश्चित करने के लिए यादृच्छिक रूप से एक मतदाता का चयन करना कि क्या वह मतदाता आगामी जनमत संग्रह में हाँ में मतदान करेगा।

परिभाषा

बिल्कुल दो संभावित परिणामों वाले प्रयोग के स्वतंत्र बार-बार किए गए परीक्षणों को बर्नौली परीक्षण कहा जाता है। एक परिणाम को सफलता और दूसरे परिणाम को विफलता कहें। होने देना $p$ बर्नौली परीक्षण में सफलता की संभावना हो, और $q$ विफलता की संभावना हो. तब सफलता की संभावना और विफलता की संभावना का योग एक हो जाता है, क्योंकि ये पूरक घटनाएँ हैं: सफलता और विफलता परस्पर अनन्य और सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाएँ हैं। इस प्रकार, किसी के निम्नलिखित संबंध हैं:

$p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.$

वैकल्पिक रूप से, इन्हें ऑड्स (सांख्यिकी) के संदर्भ में कहा जा सकता है: दी गई संभावना$p$सफलता की और$q$असफलता के योग हैं $p:q$ और संभावनाएँ विरुद्ध हैं $q:p.$ इन्हें संख्याओं के रूप में भी विभाजित करके, संभावनाएँ प्राप्त करके, व्यक्त किया जा सकता है, $o_{f}$, और विपरीत संभावनाएं, $o_{a}$:

${\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q).\end{aligned}}$

ये गुणक व्युत्क्रम हैं, इसलिए इन्हें निम्नलिखित संबंधों के साथ 1 से गुणा किया जाता है:

$o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.$

इस मामले में कि बर्नौली परीक्षण एक ऐसी घटना का प्रतिनिधित्व कर रहा है जिसमें बहुत से समान रूप से संभावित परिणाम हैं, जहां$S$परिणामों में सफलता है और$F$परिणामों में असफलता की संभावना है $S:F$ और संभावनाएँ विरुद्ध हैं $F:S.$ इससे संभाव्यता और संभावना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

${\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S.\end{aligned}}$

यहां बाधाओं की गणना संभावनाओं की नहीं, बल्कि परिणामों की संख्या को विभाजित करके की जाती है, लेकिन अनुपात समान होता है, क्योंकि ये अनुपात केवल दोनों पदों को एक ही स्थिर कारक से गुणा करने पर भिन्न होते हैं।

बर्नौली परीक्षणों का वर्णन करने वाले यादृच्छिक चर अक्सर इस परंपरा का उपयोग करके एन्कोड किए जाते हैं कि 1 = सफलता, 0 = विफलता।

बर्नौली परीक्षण से निकटता से संबंधित एक द्विपद प्रयोग है, जिसमें एक निश्चित संख्या होती है $n$ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में से प्रत्येक की सफलता की संभावना है $p$, और सफलताओं की संख्या गिनता है। एक द्विपद प्रयोग के अनुरूप एक यादृच्छिक चर को निरूपित किया जाता है $B(n,p)$, और कहा जाता है कि इसका द्विपद वितरण होता है। बिल्कुल की संभावना $k$ प्रयोग में सफलता $B(n,p)$ द्वारा दिया गया है:

$P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}$

कहाँ ${n \choose k}$ एक द्विपद गुणांक है.

बर्नौली परीक्षणों से नकारात्मक द्विपद वितरण भी हो सकता है (जो बार-बार बर्नौली परीक्षणों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या की गणना करता है जब तक कि निर्दिष्ट संख्या में विफलताएं नहीं देखी जाती हैं), साथ ही साथ विभिन्न अन्य वितरण भी हो सकते हैं।

जब कई बर्नौली परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक की सफलता की अपनी संभावना होती है, तो इन्हें कभी-कभी पॉइसन परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: सिक्के उछालना

उस सरल प्रयोग पर विचार करें जहां एक निष्पक्ष सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उछालने पर ठीक दो बार सिर निकले।

समाधान

इस प्रयोग के लिए, हेड को सफलता और टेल को विफलता के रूप में परिभाषित किया जाए। क्योंकि सिक्का निष्पक्ष माना जाता है, सफलता की संभावना है $p={\tfrac {1}{2}}$. इस प्रकार, विफलता की संभावना, $q$, द्वारा दिया गया है

$q=1-p=1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}$.

उपरोक्त समीकरण का उपयोग करते हुए, कुल चार उछालों में से ठीक दो उछालों के परिणामस्वरूप चित आने की संभावना इस प्रकार दी गई है:

${\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{4-2}\\&=6\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\\&={\dfrac {3}{8}}.\end{aligned}}$

यह भी देखें

• बर्नौली योजना
• बर्नौली नमूनाकरण
• बर्नौली वितरण
• द्विपद वितरण
• द्विपद गुणांक
• द्विपद अनुपात विश्वास अंतराल
• पॉइसन नमूनाकरण
• नमूना डिज़ाइन
• सिक्का उछालना
• जैकब बर्नौली
• फिशर का सटीक परीक्षण
• बॉशलू का परीक्षण

बाहरी संबंध

• "Bernoulli trials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Simulation of n Bernoulli trials". math.uah.edu. Retrieved 2014-01-21.