बर्फ-प्रकार का मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बर्फ-प्रकार के मॉडल या छह-शीर्ष मॉडल हाइड्रोजन बांड के साथ क्रिस्टल लैटिस के लिए शीर्ष मॉडल का एक परिवार हैं। इस तरह का पहला मॉडल लिनस पॉलिंग द्वारा 1935 में पानी की बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी को ध्यान में रखते हुए पेश किया गया था। वेरिएंट को कुछ फेरोइलेक्ट्रिक के मॉडल के रूप में प्रस्तावित किया गया है और एंटीफेरोइलेक्ट्रिक क्रिस्टल.

1967 में, इलियट एच. लिब ने द्वि-आयामी बर्फ मॉडल का बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल पाया, जिसे वर्गाकार बर्फ के रूप में जाना जाता है। तीन आयामों में सटीक समाधान केवल एक विशेष जमे हुए अवस्था के लिए जाना जाता है।

विवरण

बर्फ-प्रकार का मॉडल एक जाली मॉडल है जिसे समन्वय संख्या 4 की जाली पर परिभाषित किया गया है। यानी, जाली का प्रत्येक शीर्ष एक किनारे से चार निकटतम पड़ोसियों से जुड़ा हुआ है। मॉडल की एक स्थिति में जाली के प्रत्येक किनारे पर एक तीर होता है, जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अंदर की ओर इशारा करने वाले तीरों की संख्या 2 है। तीर विन्यास पर इस प्रतिबंध को बर्फ नियम के रूप में जाना जाता है। ग्राफ सिद्धांत के संदर्भ में, राज्य एक अंतर्निहित 4-नियमित ग्राफ अप्रत्यक्ष ग्राफ के यूलेरियन पथ अभिविन्यास (ग्राफ सिद्धांत) हैं। विभाजन फ़ंक्शन कहीं नहीं-शून्य प्रवाह|कहीं नहीं-शून्य 3-प्रवाह की संख्या भी गिनता है। द्वि-आयामी मॉडल के लिए, जाली को वर्गाकार जाली के रूप में लिया जाता है। अधिक यथार्थवादी मॉडल के लिए, विचाराधीन सामग्री के लिए उपयुक्त त्रि-आयामी जाली का उपयोग किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, बर्फ Ih का उपयोग बर्फ का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

किसी भी शीर्ष पर, तीरों के छह विन्यास होते हैं जो बर्फ नियम को संतुष्ट करते हैं (छह-शीर्ष मॉडल के नाम को उचित ठहराते हुए)। (द्वि-आयामी) वर्गाकार जाली के लिए मान्य विन्यास निम्नलिखित हैं:

किसी अवस्था की ऊर्जा को प्रत्येक शीर्ष पर विन्यास का एक कार्य माना जाता है। वर्गाकार जालकों के लिए, कोई यह मानता है कि कुल ऊर्जा $E$ द्वारा दिया गया है

$E=n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\ldots +n_{6}\epsilon _{6},$

कुछ स्थिरांक के लिए $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{6}$, कहाँ $n_{i}$ यहां शीर्षों की संख्या को दर्शाया गया है $i$उपरोक्त चित्र से वां विन्यास। मूल्य $\epsilon _{i}$ शीर्ष विन्यास संख्या से जुड़ी ऊर्जा है $i$.

एक का उद्देश्य विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गणना करना है $Z$ बर्फ-प्रकार के मॉडल का, जो सूत्र द्वारा दिया गया है

$Z=\sum \exp(-E/k_{\rm {B}}T),$

जहां मॉडल की सभी अवस्थाओं का योग लिया जाता है, $E$ राज्य की ऊर्जा है, $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और $T$ सिस्टम का तापमान है.

आमतौर पर, किसी को थर्मोडायनामिक सीमा में रुचि होती है जिसमें संख्या होती है $N$ शीर्षों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। उस स्थिति में, व्यक्ति प्रति शीर्ष पर मुक्त ऊर्जा का मूल्यांकन करता है $f$ के रूप में सीमा में $N\to \infty$, कहाँ $f$ द्वारा दिया गया है

$f=-k_{\rm {B}}TN^{-1}\log Z.$

समान रूप से, कोई प्रति शीर्ष विभाजन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करता है $W$ थर्मोडायनामिक सीमा में, जहां

$W=Z^{1/N}.$

मूल्य $f$ और $W$ से संबंधित हैं

$f=-k_{\rm {B}}T\log W.$

भौतिक औचित्य

हाइड्रोजन बांड वाले कई वास्तविक क्रिस्टल बर्फ सहित बर्फ मॉडल को संतुष्ट करते हैंऔर पोटेशियम डाइहाइड्रोजन फॉस्फेट KH
₂PO
₄(केडीपी)। दरअसल, ऐसे क्रिस्टल ने बर्फ-प्रकार के मॉडल के अध्ययन को प्रेरित किया।

बर्फ में, प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु एक बंधन द्वारा चार अन्य ऑक्सीजन से जुड़ा होता है, और प्रत्येक बंधन में टर्मिनल ऑक्सीजन के बीच एक हाइड्रोजन परमाणु होता है। हाइड्रोजन दो सममित रूप से स्थित स्थितियों में से एक पर कब्जा कर लेता है, जिनमें से कोई भी बंधन के बीच में नहीं है। पॉलिंग ने तर्क दियाहाइड्रोजन परमाणुओं का अनुमत विन्यास ऐसा है कि प्रत्येक ऑक्सीजन के करीब हमेशा दो हाइड्रोजन होते हैं, इस प्रकार स्थानीय वातावरण पानी के अणु की नकल करता है, H
₂O. इस प्रकार, यदि हम ऑक्सीजन परमाणुओं को जाली के शीर्ष के रूप में लेते हैं और हाइड्रोजन बांड को जाली के किनारों के रूप में लेते हैं, और यदि हम एक बंधन पर एक तीर खींचते हैं जो बंधन के उस तरफ इंगित करता है जिस पर हाइड्रोजन परमाणु बैठता है, तो बर्फ बर्फ को संतुष्ट करता है नमूना। इसी तरह का तर्क यह दिखाने के लिए लागू होता है कि केडीपी बर्फ मॉडल को भी संतुष्ट करता है।

हाल के वर्षों में, बर्फ-प्रकार के मॉडल को पायरोक्लोर स्पिन बर्फ के विवरण के रूप में खोजा गया है और ज्यामितीय हताशा#कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश लौहचुंबक प्रणाली, जिसमें द्वि-स्थिर चुंबकीय क्षणों (स्पिन) के बीच परस्पर क्रिया में ज्यामितीय निराशा के कारण बर्फ-नियम स्पिन विन्यास को बढ़ावा मिलता है। हाल ही में ऐसी उपमाओं का विस्तार उन परिस्थितियों का पता लगाने के लिए किया गया है जिनके तहत स्पिन-बर्फ प्रणालियों को राइस एफ-मॉडल द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है।

शीर्ष ऊर्जाओं के विशिष्ट विकल्प

वर्गाकार जाली पर, ऊर्जाएँ $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{6}$ वर्टेक्स कॉन्फ़िगरेशन 1-6 से जुड़े राज्यों की सापेक्ष संभावनाओं को निर्धारित करते हैं, और इस प्रकार सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक व्यवहार को प्रभावित कर सकते हैं। इन शीर्ष ऊर्जाओं के लिए निम्नलिखित सामान्य विकल्प हैं।

बर्फ मॉडल

बर्फ की मॉडलिंग करते समय, कोई लेता है $\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\ldots =\epsilon _{6}=0$, क्योंकि सभी अनुमेय शीर्ष विन्यासों को समान रूप से संभावित समझा जाता है। इस स्थिति में, विभाजन कार्य करता है $Z$ वैध राज्यों की कुल संख्या के बराबर है। इस मॉडल को बर्फ मॉडल के रूप में जाना जाता है (बर्फ-प्रकार मॉडल के विपरीत)।

फेरोइलेक्ट्रिक का केडीपी मॉडल

कड़ा आलोचकतर्क दिया कि केडीपी को ऊर्जा के साथ बर्फ-प्रकार के मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है

$\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=0,\epsilon _{3}=\epsilon _{4}=\epsilon _{5}=\epsilon _{6}>0$

इस मॉडल के लिए (जिसे केडीपी मॉडल कहा जाता है), सबसे संभावित स्थिति (सबसे कम ऊर्जा वाली स्थिति) में सभी क्षैतिज तीर एक ही दिशा में इंगित करते हैं, और इसी तरह सभी ऊर्ध्वाधर तीरों के लिए भी। ऐसी अवस्था एक फेरोइलेक्ट्रिक अवस्था होती है, जिसमें सभी हाइड्रोजन परमाणुओं को अपने बंधनों के एक निश्चित पक्ष के लिए प्राथमिकता होती है।

एंटीफेरोइलेक्ट्रिक का Rys F मॉडल

'Rys $F$ नमूनासेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है

$\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\epsilon _{3}=\epsilon _{4}>0,\epsilon _{5}=\epsilon _{6}=0.$

इस मॉडल के लिए सबसे कम-ऊर्जा वाली स्थिति शीर्ष विन्यास 5 और 6 पर हावी है। ऐसी स्थिति के लिए, आसन्न क्षैतिज बांड में आवश्यक रूप से विपरीत दिशाओं में तीर होते हैं और इसी तरह ऊर्ध्वाधर बांड के लिए, इसलिए यह स्थिति एक एंटीफेरोइलेक्ट्रिक स्थिति है।

शून्य क्षेत्र धारणा

यदि कोई परिवेशीय विद्युत क्षेत्र नहीं है, तो किसी राज्य की कुल ऊर्जा चार्ज रिवर्सल के तहत अपरिवर्तित रहनी चाहिए, यानी सभी तीरों को फ़्लिप करने के तहत। इस प्रकार कोई भी व्यापकता की हानि के बिना यह मान सकता है

$\epsilon _{1}=\epsilon _{2},\quad \epsilon _{3}=\epsilon _{4},\quad \epsilon _{5}=\epsilon _{6}$

इस धारणा को शून्य क्षेत्र धारणा के रूप में जाना जाता है, और यह बर्फ मॉडल, केडीपी मॉडल और रिस एफ मॉडल के लिए लागू होती है।

इतिहास

बर्फ नियम को 1935 में लिनुस पॉलिंग द्वारा बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी के लिए पेश किया गया था जिसे विलियम एफ. जियाउक और जे.डब्ल्यू. स्टाउट द्वारा मापा गया था। अवशिष्ट एन्ट्रापी, $S$, बर्फ का सूत्र द्वारा दिया गया है

$S=k_{\rm {B}}\log Z=k_{\rm {B}}\,N\,\log W,$

कहाँ $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $N$ बर्फ के टुकड़े में ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या है, जिसे हमेशा बड़ा माना जाता है (थर्मोडायनामिक सीमा) और $Z=W^{N}$ पॉलिंग के बर्फ नियम के अनुसार हाइड्रोजन परमाणुओं के विन्यास की संख्या है। बर्फ नियम के बिना हमारे पास होता $W=4$ चूँकि हाइड्रोजन परमाणुओं की संख्या है $2N$ और प्रत्येक हाइड्रोजन के दो संभावित स्थान हैं। पॉलिंग ने अनुमान लगाया कि बर्फ नियम इसे कम कर देता है $W=1.5$, एक संख्या जो जियाउक-स्टाउट माप से बहुत अच्छी तरह सहमत होगी $S$. ऐसा कहा जा सकता है कि पॉलिंग की गणना $S$ बर्फ वास्तविक पदार्थों पर सांख्यिकीय यांत्रिकी के सबसे सरल, फिर भी सबसे सटीक अनुप्रयोगों में से एक है। प्रश्न यह था कि क्या, मॉडल को देखते हुए, पॉलिंग की गणना की जाएगी $W$, जो बहुत अनुमानित था, एक कठोर गणना द्वारा कायम रखा जाएगा। साहचर्य में यह एक महत्वपूर्ण समस्या बन गई।

त्रि-आयामी और द्वि-आयामी दोनों मॉडलों की गणना 1966 में जॉन एफ. नागल द्वारा संख्यात्मक रूप से की गई थी जिसने उसे पाया $W=1.50685\pm 0.00015$ तीन-आयामों में और $W=1.540\pm 0.001$ दो-आयामों में. दोनों आश्चर्यजनक रूप से पॉलिंग की अनुमानित गणना, 1.5 के करीब हैं।

1967 में, लिब ने तीन द्वि-आयामी बर्फ-प्रकार के मॉडल का सटीक समाधान खोजा: बर्फ मॉडल,द राइस $F$ नमूना, और केडीपी मॉडल। बर्फ मॉडल के समाधान ने सटीक मान दिया $W$ जैसे दो-आयामों में

$W_{2D}=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3/2}=1.5396007....$

जिसे लिब के वर्ग बर्फ स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।

बाद में 1967 में, बिल सदरलैंड ने शून्य क्षेत्र धारणा को संतुष्ट करने वाले वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के मॉडल के लिए एक सामान्य सटीक समाधान के लिए तीन विशिष्ट बर्फ-प्रकार के मॉडल के लिब के समाधान को सामान्यीकृत किया। फिर भी बाद में 1967 में, सी. पी. यांग क्षैतिज विद्युत क्षेत्र में वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के मॉडल के सटीक समाधान के लिए सामान्यीकृत सदरलैंड का समाधान।

1969 में, जॉन नागले ने तापमान की एक विशिष्ट सीमा के लिए केडीपी मॉडल के त्रि-आयामी संस्करण के लिए सटीक समाधान निकाला।ऐसे तापमान के लिए, मॉडल इस अर्थ में जमे हुए है कि (थर्मोडायनामिक सीमा में) प्रति शीर्ष ऊर्जा और प्रति शीर्ष एन्ट्रॉपी दोनों शून्य हैं। त्रि-आयामी बर्फ-प्रकार के मॉडल के लिए यह एकमात्र ज्ञात सटीक समाधान है।

आठ-शीर्ष मॉडल से संबंध

आठ-वर्टेक्स मॉडल, जिसे बिल्कुल हल किया गया है, (स्क्वायर-जाली) छह-वर्टेक्स मॉडल का सामान्यीकरण है: आठ-वर्टेक्स मॉडल से छह-वर्टेक्स मॉडल को पुनर्प्राप्त करने के लिए, वर्टेक्स कॉन्फ़िगरेशन 7 के लिए ऊर्जा सेट करें और 8 से अनंत तक. कुछ मामलों में छह-वर्टेक्स मॉडल को हल किया गया है, जिसके लिए आठ-वर्टेक्स मॉडल को हल नहीं किया गया है; उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी केडीपी मॉडल के लिए नागले का समाधानऔर क्षैतिज क्षेत्र में छह-शीर्ष मॉडल का यांग का समाधान।

सीमा स्थितियाँ

यह बर्फ मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण 'प्रतिउदाहरण' प्रदान करता है: थर्मोडायनामिक सीमा में थोक मुक्त ऊर्जा सीमा स्थितियों पर निर्भर करती है। मॉडल को आवधिक सीमा स्थितियों, एंटी-आवधिक, लौहचुंबकीय और डोमेन दीवार सीमा स्थितियों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया था। एक वर्गाकार जाली पर डोमेन दीवार सीमा स्थितियों के साथ छह वर्टेक्स मॉडल का कॉम्बिनेटरिक्स में विशिष्ट महत्व है, यह वैकल्पिक साइन मैट्रिक्स की गणना करने में मदद करता है। इस मामले में विभाजन फ़ंक्शन को मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसका आयाम जाली के आकार के बराबर है), लेकिन अन्य मामलों में गणना $W$ इतने सरल बंद रूप में सामने नहीं आता.

जाहिर है, सबसे बड़ा $W$ मुक्त सीमा शर्तों द्वारा दिया गया है (सीमा पर कॉन्फ़िगरेशन पर कोई बाधा नहीं), लेकिन वही $W$ आवधिक सीमा स्थितियों के लिए, थर्मोडायनामिक सीमा में होता है, जैसा कि मूल रूप से प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है $W_{2D}$.

3-जाली के रंग

एक जाली के वर्गों के एक परिमित सरल रूप से जुड़े संघ के आंतरिक किनारों पर एक बर्फ प्रकार के मॉडल की स्थितियों की संख्या वर्गों को 3-रंग करने के तरीकों की संख्या के एक तिहाई के बराबर है, जिसमें कोई भी दो आसन्न वर्गों का रंग समान नहीं है . राज्यों के बीच यह पत्राचार एंड्रयू लेनार्ड के कारण है और इसे इस प्रकार दिया गया है। यदि किसी वर्ग का रंग i = 0, 1, या 2 है, तो तीर आसन्न वर्ग के किनारे पर बाएँ या दाएँ जाता है (वर्ग में एक पर्यवेक्षक के अनुसार) यह इस पर निर्भर करता है कि आसन्न वर्ग में रंग i+1 है या i−1 mod 3. किसी निश्चित प्रारंभिक रंग को रंगने के 3 संभावित तरीके हैं वर्गाकार, और एक बार जब यह प्रारंभिक रंग चुन लिया जाता है तो यह बर्फ-प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करने वाले तीरों के रंगों और व्यवस्था के बीच 1:1 का पत्राचार देता है।

यह भी देखें

• आठ-वर्टेक्स मॉडल

अग्रिम पठन

• Lieb, E.H.; Wu, F.Y. (1972), "Two Dimensional Ferroelectric Models", in C. Domb; M. S. Green (eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1, New York: Academic Press, pp. 331–490
• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578, archived from the original (PDF) on 2021-04-14, retrieved 2012-08-12