बहुपद शेष प्रमेय

"Little Bézout's theorem" redirects here. For the number of intersection points of two algebraic curves, see Bézout's theorem. For the relation between two numbers and their greatest common divisor, see Bézout's identity.

बीजगणित में, बहुपद शेष प्रमेय या थोड़ा बेज़ाउट प्रमेय (एटिने बेज़ाउट के नाम पर) बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन का एक अनुप्रयोग है। यह बताता है कि एक बहुपद के विभाजन का शेषफल $f(x)$ एक रैखिक बहुपद द्वारा $x-r$ के बराबर है $f(r).$ विशेष रूप से, $x-r$ का भाजक है $f(x)$ अगर और केवल अगर $f(r)=0,$ एक संपत्ति जिसे कारक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

होने देना $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$. का बहुपद विभाजन $f(x)$ द्वारा $(x-3)$ भागफल देता है $x^{2}-9x-27$ और शेष $-123$. इसलिए, $f(3)=-123$.

उदाहरण 2

दिखाएँ कि बहुपद शेष प्रमेय एक मनमानी दूसरी डिग्री बहुपद के लिए लागू होता है $f(x)=ax^{2}+bx+c$ बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करके:

$${\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}v\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}$$

दोनों पक्षों को से गुणा करना (x − r) देता है

$$f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}.$$

तब से $R=ar^{2}+br+c$ शेष है, हमने वास्तव में यह दिखाया है $f(r)=R$.

प्रमाण

बहुपद शेष प्रमेय बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के प्रमेय से अनुसरण करता है, जिसमें दो बहुपद दिए गए हैं f(x) (लाभांश) और g(x) (भाजक), भागफल के अस्तित्व (और अद्वितीयता) पर जोर देता है Q(x) और शेष R(x) ऐसा है कि

$f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).$

यदि भाजक है $g(x)=x-r,$ जहाँ r एक अचर है, तो या तो R(x) = 0 या इसकी डिग्री शून्य है; दोनों ही मामलों में, R(x) एक स्थिरांक है जो स्वतंत्र है x; वह है

$f(x)=Q(x)(x-r)+R.$

सेटिंग $x=r$ इस सूत्र में, हम प्राप्त करते हैं:

$f(r)=R.$

थोड़ा अलग प्रमाण, जो कुछ लोगों को अधिक प्राथमिक लग सकता है, एक अवलोकन से शुरू होता है $f(x)-f(r)$ प्रपत्र की शर्तों का एक रैखिक संयोजन है $x^{k}-r^{k},$ जिनमें से प्रत्येक से विभाज्य है $x-r$ तब से $x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).$

अनुप्रयोग

बहुपद शेष प्रमेय का उपयोग मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है $f(r)$ शेष की गणना करके, $R$. यद्यपि बहुपद लंबा विभाजन स्वयं फलन (गणित) का मूल्यांकन करने से अधिक कठिन है, सिंथेटिक विभाजन कम्प्यूटेशनल रूप से आसान है। इस प्रकार, सिंथेटिक डिवीजन और बहुपद शेष प्रमेय का उपयोग करके फ़ंक्शन का अधिक सस्ते में मूल्यांकन किया जा सकता है।

गुणनखंड प्रमेय शेषफल प्रमेय का एक अन्य अनुप्रयोग है: यदि शेषफल शून्य है, तो रैखिक भाजक एक गुणनखंड है। गुणनखंड प्रमेय के बार-बार प्रयोग से बहुपद का गुणनखंड किया जा सकता है।