बानाच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय

गणित में, बैनाच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय (संकुचन मानचित्रण प्रमेय या संकुचन मानचित्रण प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) मीट्रिक रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अभिसरण प्रमाण तकनीक # संकुचन मानचित्रण है; यह मीट्रिक रिक्त स्थान के कुछ स्व-मानचित्रों के निश्चित बिंदु (गणित) के अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी देता है, और उन निश्चित बिंदुओं को खोजने के लिए एक रचनात्मक विधि प्रदान करता है। इसे फिक्स्ड-पॉइंट पुनरावृत्ति के एक सार सूत्रीकरण के रूप में समझा जा सकता है। पिकार्ड की क्रमिक सन्निकटन की विधि। प्रमेय का नाम स्टीफन बानाच (1892-1945) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1922 में इसे बताया था।

कथन

परिभाषा। होने देना $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बनें। फिर एक नक्शा $T:X\to X$ मौजूद होने पर एक्स पर संकुचन मानचित्रण कहा जाता है $q\in [0,1)$ ऐसा है कि

$d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)$

सबके लिए $x,y\in X.$ <ब्लॉककोट>बनच फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय। होने देना $(X,d)$ एक खाली सेट हो | एक संकुचन मानचित्रण के साथ गैर-रिक्त पूर्ण मीट्रिक स्थान $T:X\to X.$ फिर टी एक अद्वितीय निश्चित बिंदु (गणित) | निश्चित-बिंदु स्वीकार करता है $x^{*}$ एक्स में (यानी $T(x^{*})=x^{*})$. आगे, $x^{*}$ निम्नानुसार पाया जा सकता है: एक मनमाना तत्व से प्रारंभ करें $x_{0}\in X$ और अनुक्रम परिभाषित करें $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ द्वारा $x_{n}=T(x_{n-1})$ के लिए $n\geq 1.$ फिर $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}$</ब्लॉककोट>

टिप्पणी 1. निम्नलिखित असमानताएँ समतुल्य हैं और अभिसरण की दर का वर्णन करती हैं:

${\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}$

क्यू के ऐसे किसी भी मूल्य को लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है $T$, और सबसे छोटे को कभी-कभी सबसे अच्छा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है $T$.

टिप्पणी 2। $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ सबके लिए $x\neq y$ एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए सामान्य रूप से पर्याप्त नहीं है, जैसा कि मानचित्र द्वारा दिखाया गया है

$T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,$

जिसका कोई निश्चित बिंदु न हो। हालांकि, यदि $X$ कॉम्पैक्ट स्पेस है, तो यह कमजोर धारणा एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व और विशिष्टता को दर्शाती है, जिसे आसानी से न्यूनतम के रूप में पाया जा सकता है $d(x,T(x))$, वास्तव में, एक मिनिमाइज़र कॉम्पैक्टनेस द्वारा मौजूद होता है, और इसका एक निश्चित बिंदु होना चाहिए $T$. इसके बाद यह आसानी से अनुसरण करता है कि निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों के किसी भी क्रम की सीमा है $T$.

टिप्पणी 3। व्यवहार में प्रमेय का उपयोग करते समय, सबसे कठिन हिस्सा आमतौर पर परिभाषित करना होता है $X$ ठीक से ताकि $T(X)\subseteq X.$

प्रमाण

होने देना $x_{0}\in X$ मनमाना हो और एक अनुक्रम परिभाषित करें $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ एक्स सेट करके_n= टी (एक्स_n−1). हम पहले ध्यान दें कि सभी के लिए $n\in \mathbb {N} ,$ हमारे पास असमानता है

$d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).$

यह n पर गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुसरण करता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि T एक संकुचन मानचित्रण है। तब हम उसे दिखा सकते हैं $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ कॉशी क्रम है। विशेष रूप से, चलो $m,n\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि एम > एन:

${\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}$

चलो ε > 0 मनमाना हो। चूंकि q ∈ [0, 1), हम एक बड़ा पा सकते हैं $N\in \mathbb {N}$ ताकि

$q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.$

इसलिए, N से अधिक m और n चुनकर हम लिख सकते हैं:

$d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .$

इससे सिद्ध होता है कि क्रम $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ कॉची है। (एक्स, डी) की पूर्णता से, अनुक्रम की एक सीमा होती है $x^{*}\in X.$ आगे, $x^{*}$ T का निश्चित बिंदु (गणित) होना चाहिए:

$x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).$

संकुचन मानचित्रण के रूप में, T निरंतर है, इसलिए सीमा को T के अंदर लाना उचित था। अंत में, टी में (एक्स, डी) में एक से अधिक निश्चित बिंदु नहीं हो सकते हैं, क्योंकि विशिष्ट निश्चित बिंदु पी की कोई भी जोड़ी₁और पी₂T के संकुचन का खंडन करेगा:

$d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).$

अनुप्रयोग

• एक मानक अनुप्रयोग पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय का प्रमाण है जो कुछ सामान्य अंतर समीकरणों के अस्तित्व और समाधानों की विशिष्टता के बारे में है। विभेदक समीकरण के वांछित समाधान को एक उपयुक्त इंटीग्रल ऑपरेटर के निश्चित बिंदु के रूप में व्यक्त किया जाता है जो निरंतर कार्यों को निरंतर कार्यों में बदल देता है। बानाच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि इस इंटीग्रल ऑपरेटर के पास एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है।
• बनाच निश्चित-बिंदु प्रमेय का एक परिणाम यह है कि पहचान के छोटे लिप्सचिट्ज़ गड़बड़ी लिप्सचिट्ज़ निरंतरता#परिभाषाएँ|द्वि-लिप्सचिट्ज़ होमोमोर्फिज्म हैं। चलो Ω एक Banach अंतरिक्ष E का एक खुला सेट हो; मान लीजिए I : Ω → E तत्समक (समावेशन) मानचित्र को दर्शाता है और मान लीजिए g : Ω → E स्थिर k < 1 का एक लिपशिट्ज मानचित्र है। तब

1. Ω' := (I+g)(Ω) ई का एक खुला उपसमुच्चय है: ठीक है, किसी भी x के लिए Ω में ऐसा है कि B(x, r) ⊂ Ω एक में B((I+g)(x) है, आर (1-के)) ⊂ Ω';
2. I+g : Ω → Ω' एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ होमोमोर्फिज़्म है;

ठीक है, (आई+जी)⁻¹ अभी भी I + h : Ω → Ω' के रूप का है, जिसमें स्थिर k/(1−k) का लिप्सचिट्ज़ मानचित्र है। इस परिणाम का सीधा परिणाम व्युत्क्रम फलन प्रमेय का प्रमाण देता है।

• इसका उपयोग पर्याप्त स्थितियाँ देने के लिए किया जा सकता है जिसके तहत न्यूटन की क्रमिक सन्निकटन की विधि काम करने की गारंटी देती है, और इसी तरह चेबीशेव की तीसरी ऑर्डर विधि के लिए भी।
• इसका उपयोग अभिन्न समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग नैश एम्बेडिंग प्रमेय को प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग मूल्य पुनरावृत्ति, नीति पुनरावृत्ति, और सुदृढीकरण सीखने के नीति मूल्यांकन के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग कोर्टनॉट प्रतियोगिता में एक संतुलन के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करने के लिए किया जा सकता है, और अन्य गतिशील आर्थिक मॉडल।

बातचीत

बनच संकुचन सिद्धांत के कई रूपांतरण मौजूद हैं। 1959 से Czeslaw Bessaga के कारण निम्नलिखित है:

मान लीजिए कि f : X → X एक सार समुच्चय (गणित) का मानचित्र है, जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्त फलन f हैⁿ का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है। होने देना $q\in (0,1),$ तो X पर एक पूर्ण मीट्रिक मौजूद है जैसे कि f सिकुड़ा हुआ है, और q संकुचन स्थिरांक है।

वास्तव में, इस प्रकार का विलोम प्राप्त करने के लिए बहुत कमजोर धारणाएँ पर्याप्त हैं। उदाहरण के लिए अगर $f:X\to X$ एक T1 स्थान पर एक नक्शा है|T₁ एक अद्वितीय निश्चित बिंदु (गणित) ए के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस, जैसे कि प्रत्येक के लिए $x\in X$ हमारे पास एफ हैⁿ(x) → a, तो X पर पहले से ही एक मीट्रिक मौजूद है, जिसके संबंध में f 1/2 संकुचन स्थिरांक के साथ बनच संकुचन सिद्धांत की शर्तों को संतुष्ट करता है। इस मामले में मीट्रिक वास्तव में एक अल्ट्रामेट्रिक है।

सामान्यीकरण

कई सामान्यीकरण हैं (जिनमें से कुछ तात्कालिक परिणाम हैं)। मान लीजिए कि T : X → X एक पूर्ण गैर-रिक्त मीट्रिक स्थान पर एक मानचित्र है। फिर, उदाहरण के लिए, बनच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय के कुछ सामान्यीकरण हैं:

• मान लें कि कुछ पुनरावृत्त टीⁿ T का एक संकुचन है। तब T का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु होता है।
• मान लें कि प्रत्येक n के लिए, c मौजूद है_nऐसा है कि डी (टी^एन(x), टीⁿ(y)) ≤ c_nडी (एक्स, वाई) सभी एक्स और वाई के लिए, और वह

$\sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .$

तब T का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है।

अनुप्रयोगों में, एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व और विशिष्टता को अक्सर मानक बनच निश्चित बिंदु प्रमेय के साथ सीधे मीट्रिक के उपयुक्त विकल्प द्वारा दिखाया जा सकता है जो नक्शा टी को एक संकुचन बनाता है। वास्तव में, बेसागा द्वारा उपरोक्त परिणाम दृढ़ता से इस तरह के मीट्रिक की तलाश करने का सुझाव देते हैं। सामान्यीकरण के लिए अनंत-आयामी स्थानों में निश्चित बिंदु प्रमेय पर लेख भी देखें।

मीट्रिक स्थान की धारणा के उपयुक्त सामान्यीकरण से सामान्यीकरण का एक अलग वर्ग उत्पन्न होता है, उदा। मीट्रिक की धारणा के लिए परिभाषित स्वयंसिद्धों को कमजोर करके। इनमें से कुछ के अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में प्रोग्रामिंग शब्दार्थ के सिद्धांत में।

यह भी देखें

• ब्रोवर फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
• कैरिस्टी फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
• संकुचन मानचित्रण
• फिचेरा का अस्तित्व सिद्धांत
• फिक्स्ड-पॉइंट पुनरावृत्ति
• फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
• विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
• कांटोरोविच प्रमेय

संदर्भ

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach Contraction Principle and Applications". Fixed Point Theory in Metric Spaces. Singapore: Springer. pp. 1–23. doi:10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Contraction". Ordinary Differential Equations with Applications (2nd ed.). New York: Springer. pp. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory: An Introduction. The Netherlands: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7. See chapter 7.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. New York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

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