बीजगणितीय तत्व

गणित में, यदि L का क्षेत्र विस्तार है K, फिर एक तत्व a का L को एक बीजगणितीय अवयव over कहा जाता है K, या बस बीजीय खत्म K, यदि कोई गैर-शून्य बहुपद मौजूद है g(x) में गुणांक के साथ K ऐसा है कि g(a) = 0. घटक L जो बीजगणितीय नहीं हैं K को ट्रान्सेंडैंटल ओवर कहा जाता है K.

ये धारणाएं बीजगणितीय संख्याओं और पारलौकिक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं (जहां क्षेत्र विस्तार है C/Q, C जटिल संख्याओं का क्षेत्र होने के नाते और Q परिमेय संख्याओं का क्षेत्र होना)।

उदाहरण

• 2 का वर्गमूल बीजगणितीय अति है Q, क्योंकि यह बहुपद का मूल है g(x) = x² − 2 जिनके गुणांक तर्कसंगत हैं।
• पाई ट्रान्सेंडैंटल ओवर है Q लेकिन वास्तविक संख्या के क्षेत्र में बीजगणितीय R: यह की जड़ है g(x) = x − π, जिनके गुणांक (1 और -π) दोनों वास्तविक हैं, लेकिन केवल परिमेय गुणांक वाले किसी बहुपद के नहीं हैं। (शब्द पारलौकिक संख्या की परिभाषा का उपयोग करता है C/Q, नहीं C/R.)

गुण

किसी तत्व के लिए निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं $a$ का $L$:

• $a$ बीजीय खत्म हो गया है $K$,
• क्षेत्र विस्तार $K(a)/K$ बीजगणितीय है, यानी का हर तत्व $K(a)$ बीजीय खत्म हो गया है $K$ (यहाँ $K(a)$ के सबसे छोटे उपक्षेत्र को दर्शाता है $L$ युक्त $K$ और $a$),
• क्षेत्र विस्तार $K(a)/K$ परिमित डिग्री है, यानी एक सदिश स्थान का आयाम $K(a)$ के तौर पर $K$-वेक्टर स्थान परिमित है,
• $K[a]=K(a)$, कहाँ $K[a]$ के सभी तत्वों का समुच्चय है $L$ जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है $g(a)$ एक बहुपद के साथ $g$ जिसका गुणांक है $K$.

इसे और स्पष्ट करने के लिए, बहुपद वलय#बहुपद_मूल्यांकन पर विचार करें $\varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)$. यह एक समाकारिता है और इसका समाकारिता#कर्नेल है $\{P\in K[X]\mid P(a)=0\}$. अगर $a$ बीजगणितीय है, इस Ideal_(ring_theory) में गैर-शून्य बहुपद शामिल हैं, लेकिन जैसा $K[X]$ एक यूक्लिडियन डोमेन है, इसमें एक अद्वितीय बहुपद है $p$ न्यूनतम डिग्री और अग्रणी गुणांक के साथ $1$, जो तब आदर्श भी उत्पन्न करता है और इसे इर्रेड्यूसिबल_पोलिनोमियल होना चाहिए। बहुपद $p$ का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है $a$ और यह कई महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करता है $a$. इसलिए रिंग आइसोमोर्फिज्म $K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})$ समरूपता प्रमेयों द्वारा प्राप्त किया गया #प्रमेय_A_(रिंग्स) क्षेत्रों का एक समरूपता है, जहां हम तब देख सकते हैं $\mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)$. अन्यथा, $\varepsilon _{a}$ अंतःक्षेपी है और इसलिए हमें एक क्षेत्र तुल्याकारिता प्राप्त होती है $K(X)\rightarrow K(a)$, कहाँ $K(X)$ के अंशों का क्षेत्र है $K[X]$, यानी परिमेय_कार्य#सार_बीजगणित_और_ज्यामितीय_धारणा $K$, अंशों के क्षेत्र की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी स्थिति में, हम एक तुल्याकारिता पाते हैं $K(a)\cong K[X]/(p)$ या $K(a)\cong K(X)$. इस निर्माण की जांच से वांछित परिणाम प्राप्त होते हैं।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि बीजगणितीय तत्वों का योग, अंतर, उत्पाद और भागफल खत्म हो गया है $K$ फिर से बीजीय खत्म हो गए हैं $K$. यदि $a$ और $b$ फिर दोनों बीजगणितीय हैं $(K(a))(b)$ परिमित है। चूंकि इसमें उपरोक्त संयोजन शामिल हैं $a$ और $b$, उनमें से एक से सटे $K$ एक परिमित विस्तार भी देता है, और इसलिए ये तत्व बीजगणितीय भी हैं। इस प्रकार के सभी तत्वों का सेट $L$ जो बीजगणितीय हैं $K$ एक ऐसा क्षेत्र है जो बीच में बैठता है $L$ और $K$.

वे क्षेत्र जो अपने ऊपर किसी भी बीजगणितीय तत्वों की अनुमति नहीं देते हैं (अपने स्वयं के तत्वों को छोड़कर) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र कहलाते हैं। जटिल संख्याओं का क्षेत्र एक उदाहरण है। अगर $L$ बीजगणितीय रूप से बंद है, फिर बीजगणितीय तत्वों का क्षेत्र $L$ ऊपर $K$ बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसे उपरोक्त सरल बीजगणितीय एक्सटेंशन के लक्षण वर्णन का उपयोग करके फिर से सीधे दिखाया जा सकता है। इसका एक उदाहरण बीजगणितीय संख्या है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय स्वतंत्रता

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001