बेबीलोनियाई गणित

एनोटेशन के साथ बेबीलोनियन क्ले टैबलेट YBC 7289। विकर्ण चार साठवाँ आंकड़ों में 2 के वर्गमूल का एक अनुमान प्रदर्शित करता है, 1 24 51 10, जो लगभग छह दशमलव अंकों तक अच्छा है।
1 + 24/60 + 51/60²+10/60³ = 1.41421296... टैबलेट एक उदाहरण भी देता है जहां वर्ग की एक भुजा 30 है, और परिणामी विकर्ण 42 25 35 या 42.4263888 है...

बेबीलोनियन गणित (असीरो-बेबीलोनियन गणित के रूप में भी जाना जाता है)^[1]^[2]^[3]^[4]) प्रारंभिक सुमेरियों के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बेबीलोन के पतन के बाद की शताब्दियों तक मेसोपोटामिया के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। बेबीलोनियाई गणितीय पाठ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं।^[5] समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन राजवंश काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से पिछली तीन या चार शताब्दियों ईसा पूर्व से सेल्यूसिड साम्राज्य से। सामग्री के संबंध में, पाठों के दो समूहों के बीच शायद ही कोई अंतर है। बेबीलोनियाई गणित एक सहस्राब्दी से अधिक समय तक चरित्र और सामग्री में स्थिर रहा।^[5]

मिस्र के गणित में स्रोतों की कमी के विपरीत, बेबिलोनिया ई गणित का ज्ञान 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। क्यूनिफॉर्म लिपि में लिखी गई, गोलियाँ तब अंकित की गईं जब मिट्टी गीली थी, और ओवन में या सूरज की गर्मी से पकाया गया था। बरामद मिट्टी की अधिकांश गोलियाँ 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और ये उन विषयों को कवर करती हैं जिनमें फ्रैक्शन (गणित), बीजगणित, द्विघात समीकरण और घन समीकरण और पाइथागोरस प्रमेय शामिल हैं। बेबीलोनियन टैबलेट YBC 7289 इसका एक अनुमान देता है ${\sqrt {2}}$ तीन महत्वपूर्ण सेक्सजेसिमल अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) तक सटीक।

बेबीलोनियाई गणित की उत्पत्ति

बेबीलोनियाई गणित प्राचीन निकट पूर्व में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय प्रथाओं की एक श्रृंखला है, जो क्यूनिफॉर्म लिपि में लिखी जाती है। उपलब्ध आंकड़ों की प्रचुरता के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में पहले बेबीलोनियन राजवंश पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियाई गणित की प्रारंभिक उपस्थिति पर बहस चल रही है, इतिहासकार 5वीं और तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तारीखों का सुझाव देते हैं।^[6] बेबीलोनियाई गणित मुख्य रूप से अक्काडियन भाषा या सुमेरियन भाषा में कीलाकार लिपि में मिट्टी की पट्टियों पर लिखा गया था।

बेबीलोनियन गणित शायद एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले सुझाई गई उत्पत्ति 5वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (मुहर) और प्राचीन संख्या #मिट्टी के टोकन लिखने के इतिहास जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग की बताई गई है।^[7]

बेबीलोनियन अंक

गणित की बेबीलोनियाई प्रणाली एक सेक्सजेसिमल (आधार 60) अंक प्रणाली थी। इससे हम आधुनिक समय में एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत्त में 360 डिग्री का उपयोग प्राप्त करते हैं।^[8] बेबीलोनवासी दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च भाज्य संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (उन सहित जो स्वयं समग्र हैं) के गुणनखंड हैं, जिससे गणना की सुविधा मिलती है। भिन्न (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थिति संकेतन|स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं कॉलम में लिखे गए अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 +4×1).^[9]

सुमेरियन गणित

मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से मैट्रोलोजी की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की पट्टियों पर गुणन सारणी लिखी और ज्यामिति अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियाई अंकों के शुरुआती निशान भी इसी काल के हैं।^[10]

पुराना बेबीलोनियाई गणित (2000-1600 ईसा पूर्व)

बेबीलोनियाई गणित का वर्णन करने वाली अधिकांश मिट्टी की गोलियाँ प्रथम बेबीलोनियाई राजवंश की हैं, यही कारण है कि मेसोपोटामिया के गणित को आमतौर पर बेबीलोनियाई गणित के रूप में जाना जाता है। कुछ मिट्टी की गोलियों में गणितीय सूचियाँ और तालिकाएँ होती हैं, अन्य में समस्याएँ और कारगर समाधान होते हैं।

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, पाइथागोरस प्रमेय के समान। टेल अल-धब्बाई, इराक से। 2003-1595 ई.पू. इराक संग्रहालय

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, यूक्लिडियन ज्यामिति के समान। टेल हरमल, इराक से। 2003-1595 ई.पू. इराक संग्रहालय

अंकगणित

बेबीलोन के लोग अंकगणित में सहायता के लिए पूर्व-गणना की गई तालिकाओं का उपयोग करते थे। उदाहरण के लिए, 1854 में महानद पर सेनकेराह में पाई गई दो पट्टियाँ, जो 2000 ईसा पूर्व की हैं, 59 तक की संख्याओं के वर्ग संख्या और 32 तक की संख्याओं के घन (अंकगणित) की सूची देती हैं। बेबीलोनियों ने वर्गों की सूचियों का एक साथ उपयोग किया था सूत्र के साथ:

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}

गुणन को सरल बनाने के लिए.

बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं था।^[11] इसके बजाय उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

गुणात्मक व्युत्क्रम की एक तालिका के साथ। वे संख्याएँ जिनके एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 2, 3 या 5 हैं (जिन्हें 5-सम संख्याओं या नियमित संख्याओं के रूप में जाना जाता है) में सेक्सजेसिमल नोटेशन में परिमित व्युत्क्रम (गणित) होते हैं, और इन व्युत्क्रमों की व्यापक सूची वाली तालिकाएँ पाई गई हैं।

1/7, 1/11, 1/13 आदि जैसे व्युत्क्रमों का सेक्सजेसिमल नोटेशन में कोई सीमित प्रतिनिधित्व नहीं है। 1/13 की गणना करने या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोनवासी एक सन्निकटन का उपयोग करते थे जैसे:

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.

बीजगणित

बेबीलोनियाई मिट्टी की गोली येल बेबीलोनियन संग्रह 7289 (c. 1800–1600 BC) का अनुमान देता है $\sqrt 2$ चार सेक्सजेसिमल आकृतियों में, 1;24,51,10,^[12] जो लगभग छह दशमलव अंकों तक सटीक है,^[13] और यह निकटतम संभव तीन-स्थानीय सेक्सजेसिमल प्रतिनिधित्व है $\sqrt 2$ :

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.

अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने समीकरणों को हल करने के लिए प्रारंभिक बीजगणित के तरीके भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-गणना तालिकाओं पर आधारित थे।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक द्विघात सूत्र का उपयोग किया। उन्होंने निम्न प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:

\ x^{2}+bx=c

जहाँ b और c आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन c हमेशा सकारात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का समाधान यह है:^{[citation needed]}

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

और उन्होंने विभाजन और औसत का कुशलतापूर्वक उपयोग करके वर्गमूल ढूंढे।^[14] उन्होंने हमेशा सकारात्मक जड़ का उपयोग किया क्योंकि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय यह समझ में आता था^{[citation needed]}. इस प्रकार की समस्याओं में एक आयत का क्षेत्रफल और उसकी लंबाई चौड़ाई से अधिक होने की मात्रा को ध्यान में रखते हुए उसके आयामों का पता लगाना शामिल था।

n के मानों की तालिकाएँ³+n²का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

समीकरण को से गुणा करना²और b से भाग देना³देता है:

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.

y = ax/b को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

जिसे अब n को देखकर हल किया जा सकता है³+n^{दाईं ओर के निकटतम मान ज्ञात करने के लिए 2} तालिका। बेबीलोनियों ने समझ की उल्लेखनीय गहराई दिखाते हुए, बीजगणितीय संकेतन के बिना इसे पूरा किया। हालाँकि, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।

विकास

बेबीलोनियों ने ऋण पर ब्याज के संदर्भ में घातीय वृद्धि, बाधित वृद्धि (सिग्मॉइड कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोगुनी समय का मॉडल तैयार किया।

सी से मिट्टी की गोलियाँ। 2000 ईसा पूर्व में 1/60 प्रति माह (कोई चक्रवृद्धि नहीं) की ब्याज दर को देखते हुए, दोगुनी समय की गणना करें। इससे 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर प्राप्त होती है, और इसलिए प्रति वर्ष 100% वृद्धि/20% वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष होता है।^[15]^[16]

प्लिम्पटन 322

प्लिम्पटन 322 टैबलेट में पायथागॉरियन त्रिगुणों की एक सूची है, अर्थात, पूर्णांक $(a,b,c)$ ऐसा है कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . त्रिक बहुत अधिक और इतने बड़े हैं कि उन्हें क्रूर बल से प्राप्त नहीं किया जा सकता।

इस विषय पर बहुत कुछ लिखा गया है, जिसमें कुछ अटकलें (शायद कालानुक्रमिक) भी शामिल हैं कि क्या टैबलेट प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिका के रूप में काम कर सकता था। टैबलेट को उस समय के लेखकों के लिए परिचित या सुलभ तरीकों के संदर्भ में देखने में सावधानी बरतनी चाहिए। <ब्लॉककोट> [...] सवाल यह है कि टैबलेट की गणना कैसे की गई? का होना आवश्यक नहीं है प्रश्न के समान उत्तर, टैबलेट में क्या समस्याएँ आती हैं? पहले का उत्तर दिया जा सकता है पारस्परिक जोड़ियों द्वारा सर्वाधिक संतोषजनक, जैसा कि पहली बार आधी सदी पहले सुझाया गया था, और दूसरा कुछ प्रकार की समकोण-त्रिभुज समस्याओं द्वारा। </ब्लॉककोट> (ई. रॉबसन, न तो शर्लक होम्स और न ही बेबीलोन: प्लिम्पटन 322 का पुनर्मूल्यांकन, हिस्टोरिया गणित। '28' (3), पृष्ठ 202)।

ज्यामिति

बेबीलोनवासी आयतन और क्षेत्रफल मापने के सामान्य नियम जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि को उसके व्यास का तीन गुना और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के बारहवें हिस्से के रूप में मापा, जो सही होगा यदि पाई| $π$ का अनुमान 3 है। वे जानते थे कि यह एक अनुमान था, और 1936 में सूसा के पास खुदाई में मिली एक पुरानी बेबीलोनियाई गणितीय गोली (19वीं और 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच की) इसका बेहतर अनुमान देती है। $π$ 25/8 = 3.125 के रूप में, सटीक मान से लगभग 0.5 प्रतिशत कम।^[17] एक सिलेंडर के आयतन को आधार और ऊँचाई के गुणनफल के रूप में लिया गया था, हालाँकि, एक शंकु या वर्ग पिरामिड के छिन्नक के आयतन को ग़लती से ऊँचाई और आधारों के योग के आधे गुणनफल के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय#इतिहास बेबीलोनवासियों को भी ज्ञात था।^[18]^[19]^[20]

बेबीलोनियन मील लगभग 11.3 किमी (या लगभग सात आधुनिक मील) के बराबर दूरी का माप था। दूरियों के लिए यह माप अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले समय-मील में परिवर्तित हो गया, इसलिए, यह समय का प्रतिनिधित्व करता है।^[21] प्राचीन बेबीलोनवासी कई शताब्दियों तक समान त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात से संबंधित सूत्रों के बारे में जानते थे, लेकिन उनके पास कोण माप की अवधारणा का अभाव था और परिणामस्वरूप, उन्होंने त्रिभुजों की भुजाओं का अध्ययन किया।^[22] बेबीलोनियाई खगोल विज्ञान ने तारों के उदय और अस्त होने, ग्रहों की गति और सौर और चंद्र ग्रहणों का विस्तृत रिकॉर्ड रखा, जिनमें से सभी के लिए आकाशीय क्षेत्र पर मापी गई कोण दूरियों से परिचित होना आवश्यक था।^[23] उन्होंने एक पंचांग (खगोलीय स्थिति की तालिका) की गणना करने के लिए फूरियर विश्लेषण के एक रूप का भी उपयोग किया, जिसे 1950 के दशक में ओटो नेउगेबाउर द्वारा खोजा गया था।^[24]^[25]^[26]^[27] आकाशीय पिंडों की गतिविधियों की गणना करने के लिए, बेबीलोनियों ने बुनियादी अंकगणित और क्रांतिवृत्त पर आधारित एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया, आकाश का वह हिस्सा जहां से सूर्य और ग्रह यात्रा करते हैं।

ब्रिटिश संग्रहालय में रखी गोलियाँ इस बात का प्रमाण देती हैं कि बेबीलोनवासी एक अमूर्त गणितीय स्थान में वस्तुओं की अवधारणा तक भी पहुँच गए थे। गोलियाँ 350 और 50 ईसा पूर्व के बीच की हैं, जिससे पता चलता है कि बेबीलोन के लोग पहले सोच से भी पहले ज्यामिति को समझते थे और उसका उपयोग करते थे। बेबीलोनियों ने वक्र के नीचे एक समलम्बाकार रेखा खींचकर उसके नीचे के क्षेत्र का अनुमान लगाने की एक विधि का उपयोग किया, यह तकनीक पहले 14वीं शताब्दी के यूरोप में उत्पन्न हुई मानी जाती थी। अनुमान की इस पद्धति ने उन्हें, उदाहरण के लिए, यह पता लगाने की अनुमति दी कि बृहस्पति ने एक निश्चित समय में कितनी दूरी तय की थी।^[28]

यह भी देखें

बेबीलोनिया
बेबीलोनियाई खगोल विज्ञान
गणित का इतिहास
इराक के इतिहास में गणित के लिए इस्लामी गणित|इस्लामिक इराक/मेसोपोटामिया

↑ Lewy, H. (1949). "असीरो-बेबीलोनियन गणित और मेट्रोलॉजी में अध्ययन". Orientalia. NS. 18: 40–67, 137–170.
↑ Lewy, H. (1951). "असीरो-बेबीलोनियन गणित और मेट्रोलॉजी में अध्ययन". Orientalia. NS. 20: 1–12.
↑ Bruins, E. M. (1953). "La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes". Revue d'Assyriologie. 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221.
↑ Robson, E. (2002). "Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology". In Wunsch, C. (ed.). Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the occasion of his 60th birthday. Dresden: ISLET. pp. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1.
↑ ^5.0 ^5.1 Aaboe, Asger (1991). "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy". In Boardman, John; Edwards, I. E. S.; Hammond, N. G. L.; Sollberger, E.; Walker, C. B. F. (eds.). असीरियन और बेबीलोनियन साम्राज्य और निकट पूर्व के अन्य राज्य, आठवीं से छठी शताब्दी ईसा पूर्व तक।. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22717-8.
↑ Henryk Drawnel (2004). An Aramaic Wisdom Text From Qumran: A New Interpretation Of The Levi Document. Supplements to the Journal for the Study of Judaism. Vol. 86 (illustrated ed.). BRILL. ISBN 9789004137530.
↑ Jane McIntosh (2005). Ancient Mesopotamia: New Perspectives. Understanding ancient civilizations (illustrated ed.). ABC-CLIO. p. 265. ISBN 9781576079652.
↑ Michael A. Lombardi, "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?", "Scientific American" March 5, 2007
↑ Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (2001). प्रारंभिक गणित की ऐतिहासिक जड़ें (reprint ed.). Courier Corporation. p. 44. ISBN 9780486139685.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
↑ "बेबीलोनियाई गणित". Maths History.
↑ The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2, ISBN 9780940490291
↑ Fowler and Robson, p. 368.
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
↑ Allen, Arnold (January 1999). "Reviews: Mathematics: From the Birth of Numbers. By Jan Gullberg". The American Mathematical Monthly. 106 (1): 77–85. doi:10.2307/2589607. JSTOR 2589607.
↑ Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises Archived 2012-05-10 at the Wayback Machine, by Michael Hudson
↑ Have we caught your interest? by John H. Webb
↑ David Gilman Romano, Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion, American Philosophical Society, 1993, p. 78. "A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of 3+1⁄8 or 3.125." E. M. Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950. E. M. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse, Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV (1961). See also Beckmann, Petr (1971), A History of Pi, New York: St. Martin's Press, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. [...] The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, [...] states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60 + 36/(60)² [i.e. $π$ = 3/0.96 = 25/8]". Jason Dyer, On the Ancient Babylonian Value for Pi, 3 December 2008.
↑ Neugebauer 1969, p. 36. "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."
↑ Høyrup, p. 406. "To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors' environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db₂-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." (Db₂-146 is an Old Babylonian clay tablet from Eshnunna concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)
↑ Robson 2008, p. 109. "Many Old Babylonian mathematical practitioners ... knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste 'algebra' on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."
↑ Eves, Chapter 2.
↑ Boyer (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". गणित का इतिहास. John Wiley & Sons. pp. 158–159. ISBN 9780471543978.
↑ Maor, Eli (1998). त्रिकोणमितीय प्रसन्नता. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.
↑ Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62
↑ Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete thoughts. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3866-5., p. 11
↑ Neugebauer 1969.
↑ Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias (2004). "Analyzing shell structure from Babylonian and modern times". International Journal of Modern Physics E. 13 (1): 247–260. arXiv:physics/0310126. Bibcode:2004IJMPE..13..247B. doi:10.1142/S0218301304002028. S2CID 15704235.
↑ Emspak, Jesse. "बेबीलोनवासी सोच से भी सदियों पहले ज्यामिति का उपयोग कर रहे थे". Smithsonian. Retrieved 2016-02-01.

संदर्भ

Berriman, A. E. (1956). The Babylonian quadratic equation.
Boyer, C. B. (1989). Merzbach, Uta C. (ed.). A History of Mathematics (2nd rev. ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-09763-2. (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
Høyrup, Jens. "Pythagorean 'Rule' and 'Theorem' – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics". In Renger, Johannes (ed.). Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin (PDF). Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. pp. 393–407.
Joseph, G. G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919.
[1]Muroi, Kazuo, "Sexagesimal Calculations in Ancient Sumer", arXiv preprint arXiv:2207.12102, 2022
O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (December 2000). "An overview of Babylonian mathematics". MacTutor History of Mathematics.
Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322". Historia Math. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
Robson, E. (2002). "Words and pictures: New light on Plimpton 322". American Mathematical Monthly. Washington. 109 (2): 105–120. doi:10.1080/00029890.2002.11919845. JSTOR 2695324. S2CID 33907668.
Robson, E. (2008). Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press.
Toomer, G. J. (1981). Hipparchus and Babylonian Astronomy.

[1] Lewy, H. (1949). "असीरो-बेबीलोनियन गणित और मेट्रोलॉजी में अध्ययन". Orientalia. NS. 18: 40–67, 137–170.

[2] Lewy, H. (1951). "असीरो-बेबीलोनियन गणित और मेट्रोलॉजी में अध्ययन". Orientalia. NS. 20: 1–12.

[3] Bruins, E. M. (1953). "La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes". Revue d'Assyriologie. 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221.

[4] Robson, E. (2002). "Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology". In Wunsch, C. (ed.). Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the occasion of his 60th birthday. Dresden: ISLET. pp. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1.

[Aaboe.2C_Asger-5] 5.0 ^5.1 Aaboe, Asger (1991). "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy". In Boardman, John; Edwards, I. E. S.; Hammond, N. G. L.; Sollberger, E.; Walker, C. B. F. (eds.). असीरियन और बेबीलोनियन साम्राज्य और निकट पूर्व के अन्य राज्य, आठवीं से छठी शताब्दी ईसा पूर्व तक।. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22717-8.

[6] Henryk Drawnel (2004). An Aramaic Wisdom Text From Qumran: A New Interpretation Of The Levi Document. Supplements to the Journal for the Study of Judaism. Vol. 86 (illustrated ed.). BRILL. ISBN 9789004137530.

[7] Jane McIntosh (2005). Ancient Mesopotamia: New Perspectives. Understanding ancient civilizations (illustrated ed.). ABC-CLIO. p. 265. ISBN 9781576079652.

[8] Michael A. Lombardi, "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?", "Scientific American" March 5, 2007

[9] Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (2001). प्रारंभिक गणित की ऐतिहासिक जड़ें (reprint ed.). Courier Corporation. p. 44. ISBN 9780486139685.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[10] Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.

[11] "बेबीलोनियाई गणित". Maths History.

[sexagesimal-12] The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2, ISBN 9780940490291

[13] Fowler and Robson, p. 368.
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection

[Allen-14] Allen, Arnold (January 1999). "Reviews: Mathematics: From the Birth of Numbers. By Jan Gullberg". The American Mathematical Monthly. 106 (1): 77–85. doi:10.2307/2589607. JSTOR 2589607.

[hudson-15] Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises Archived 2012-05-10 at the Wayback Machine, by Michael Hudson

[16] Have we caught your interest? by John H. Webb

[17] David Gilman Romano, Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion, American Philosophical Society, 1993, p. 78. "A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of 3+1⁄8 or 3.125." E. M. Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950. E. M. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse, Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV (1961). See also Beckmann, Petr (1971), A History of Pi, New York: St. Martin's Press, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. [...] The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, [...] states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60 + 36/(60)² [i.e. $π$ = 3/0.96 = 25/8]". Jason Dyer, On the Ancient Babylonian Value for Pi, 3 December 2008.

[FOOTNOTENeugebauer196936-18] Neugebauer 1969, p. 36. "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."

[FOOTNOTEH.C3.B8yrup406-19] Høyrup, p. 406. "To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors' environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db₂-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." (Db₂-146 is an Old Babylonian clay tablet from Eshnunna concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)

[FOOTNOTERobson2008109-20] Robson 2008, p. 109. "Many Old Babylonian mathematical practitioners ... knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste 'algebra' on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."

[21] Eves, Chapter 2.

[Boyer_Early_Trigonometry-22] Boyer (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". गणित का इतिहास. John Wiley & Sons. pp. 158–159. ISBN 9780471543978.

[Maor-20-23] Maor, Eli (1998). त्रिकोणमितीय प्रसन्नता. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.

[24] Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62

[25] Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete thoughts. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3866-5., p. 11

[FOOTNOTENeugebauer1969-26] Neugebauer 1969.

[27] Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias (2004). "Analyzing shell structure from Babylonian and modern times". International Journal of Modern Physics E. 13 (1): 247–260. arXiv:physics/0310126. Bibcode:2004IJMPE..13..247B. doi:10.1142/S0218301304002028. S2CID 15704235.

[28] Emspak, Jesse. "बेबीलोनवासी सोच से भी सदियों पहले ज्यामिति का उपयोग कर रहे थे". Smithsonian. Retrieved 2016-02-01.

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