गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है[1] : 101
y
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
k
)
!
(
n
−
k
)
!
k
!
(
x
2
)
k
.
{\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.}
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है[2] : 8 [3] : 15
θ
n
(
x
)
=
x
n
y
n
(
1
/
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
k
)
!
(
n
−
k
)
!
k
!
x
n
−
k
2
k
.
{\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.}
दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
{\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1}
जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है
θ
3
(
x
)
=
x
3
+
6
x
2
+
15
x
+
15.
{\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.}
बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।
गुण बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।
y
n
(
x
)
=
x
n
θ
n
(
1
/
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}
y
n
(
x
)
=
2
π
x
e
1
/
x
K
n
+
1
2
(
1
/
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}
θ
n
(
x
)
=
2
π
x
n
+
1
/
2
e
x
K
n
+
1
2
(
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
जहां Kn (x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन :आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, yn n [2] : 7, 34 [4]
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
=
2
π
x
e
1
/
x
K
3
+
1
2
(
1
/
x
)
{\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है[5] : 8
y
n
(
x
)
=
2
F
0
(
−
n
,
n
+
1
;
;
−
x
/
2
)
=
(
2
x
)
−
n
U
(
−
n
,
−
2
n
,
2
x
)
=
(
2
x
)
n
+
1
U
(
n
+
1
,
2
n
+
2
,
2
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}
सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के लिए समान अभिव्यक्ति सही है (नीचे देखें):[2] : 35
y
n
(
x
;
a
,
b
)
=
2
F
0
(
−
n
,
n
+
a
−
1
;
;
−
x
/
b
)
=
(
b
x
)
n
+
a
−
1
U
(
n
+
a
−
1
,
2
n
+
a
,
b
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}
रिवर्स बेसेल बहुपद को एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
θ
n
(
x
)
=
n
!
(
−
2
)
n
L
n
−
2
n
−
1
(
2
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}
जिससे यह अनुसरण करता है कि इसे हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
θ
n
(
x
)
=
(
−
2
n
)
n
(
−
2
)
n
1
F
1
(
−
n
;
−
2
n
;
2
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}
जहां (−2n)n
जनरेटिंग फंक्शन बेसल बहुपद, सूचकांक स्थानांतरित होने के साथ, जनरेटिंग फ़ंक्शन है
∑
n
=
0
∞
2
π
x
n
+
1
2
e
x
K
n
−
1
2
(
x
)
t
n
n
!
=
1
+
x
∑
n
=
1
∞
θ
n
−
1
(
x
)
t
n
n
!
=
e
x
(
1
−
1
−
2
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}
के सम्बन्ध में विभेद करना t {\displaystyle t} x {\displaystyle x}
{
θ
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \{\theta _{n}\}_{n\geq 0}}
∑
n
=
0
∞
θ
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
1
−
2
t
e
x
(
1
−
1
−
2
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}
के लिए समान जनरेटिंग फ़ंक्शन सम्मिलित है
y
n
{\displaystyle y_{n}}
[1] : 106
∑
n
=
0
∞
y
n
−
1
(
x
)
t
n
n
!
=
exp
(
1
−
1
−
2
x
t
x
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}
सेट होने पर
t
=
z
−
x
z
2
/
2
{\displaystyle t=z-xz^{2}/2}
[1] : 107
e
z
=
∑
n
=
0
∞
y
n
−
1
(
x
)
(
z
−
x
z
2
/
2
)
n
n
!
.
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}
पुनरावर्तन बेसेल बहुपद को पुनरावर्तन सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है:
y
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle y_{0}(x)=1\,}
y
1
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}
y
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
y
n
−
1
(
x
)
+
y
n
−
2
(
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}
और
θ
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}
θ
1
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}
θ
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
θ
n
−
1
(
x
)
+
x
2
θ
n
−
2
(
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}
विभेदक समीकरण बेसेल बहुपद निम्नलिखित अवकल समीकरण का पालन करता है:
x
2
d
2
y
n
(
x
)
d
x
2
+
2
(
x
+
1
)
d
y
n
(
x
)
d
x
−
n
(
n
+
1
)
y
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}
और
x
d
2
θ
n
(
x
)
d
x
2
−
2
(
x
+
n
)
d
θ
n
(
x
)
d
x
+
2
n
θ
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}
ओर्थोगोनलिटी वजन के संबंध में बेसेल बहुपद ऑर्थोगोनल हैं
e
−
2
/
x
{\displaystyle e^{-2/x}}
[1] : 104
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
∫
0
2
π
y
n
(
e
i
θ
)
y
m
(
e
i
θ
)
i
e
i
θ
d
θ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}
सामान्यीकरण स्पष्ट रूप बेसेल बहुपदों का एक सामान्यीकरण साहित्य में निम्नलिखित के रूप में सुझाया गया है:
y
n
(
x
;
α
,
β
)
:=
(
−
1
)
n
n
!
(
x
β
)
n
L
n
(
−
1
−
2
n
−
α
)
(
β
x
)
,
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}
संगत विपरीत बहुपद हैं
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
:=
n
!
(
−
β
)
n
L
n
(
−
1
−
2
n
−
α
)
(
β
x
)
=
x
n
y
n
(
1
x
;
α
,
β
)
.
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}
के स्पष्ट गुणांक
y
n
(
x
;
α
,
β
)
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}
[1] : 108
y
n
(
x
;
α
,
β
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
+
α
−
2
)
k
_
(
x
β
)
k
.
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}
नतीजतन, द
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
2
n
−
k
+
α
−
2
)
n
−
k
_
x
k
β
n
−
k
.
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}
वेटिंग फंक्शन के लिए
ρ
(
x
;
α
,
β
)
:=
1
F
1
(
1
,
α
−
1
,
−
β
x
)
{\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}
वे संबंध के लिए ओर्थोगोनल हैं
0
=
∮
c
ρ
(
x
;
α
,
β
)
y
n
(
x
;
α
,
β
)
y
m
(
x
;
α
,
β
)
d
x
{\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\mathrm {d} x}
m ≠ n और c के लिए 0 बिंदु के चारों ओर एक वक्र रखता है।
वे α = β = 2 के लिए बेसेल बहुपदों के विशेषज्ञ हैं, किस स्थिति में ρ(x) = exp(−2 / x)।
बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र उपरोक्त अंतर समीकरण के विशेष समाधान के रूप में बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र है:
B
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
a
n
(
α
,
β
)
x
α
e
−
β
x
(
d
d
x
)
n
(
x
α
+
2
n
e
−
β
x
)
{\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}
जहाँ a(α, β) n
संबद्ध बेसेल बहुपद इस सामान्यीकरण के अनुसार संबंधित बेसेल बहुपदों के लिए हमारे पास निम्नलिखित सामान्यीकृत अवकल समीकरण हैं:
x
2
d
2
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
2
+
[
(
α
+
2
)
x
+
β
]
d
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
−
[
n
(
α
+
n
+
1
)
+
m
β
x
]
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}
जहाँ
0
≤
m
≤
n
{\displaystyle 0\leq m\leq n}
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
=
a
n
,
m
(
α
,
β
)
x
α
+
m
e
−
β
x
(
d
d
x
)
n
−
m
(
x
α
+
2
n
e
−
β
x
)
{\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}
शून्य यदि एक के शून्य को निरूपित करता है
y
n
(
x
;
α
,
β
)
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}
α
k
(
n
)
(
α
,
β
)
{\displaystyle \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}
β
k
(
n
)
(
α
,
β
)
{\displaystyle \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}
[2] : 82
2
n
(
n
+
α
−
1
)
≤
α
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
2
n
+
α
−
1
,
{\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}
और
n
+
α
−
1
2
≤
β
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
n
(
n
+
α
−
1
)
2
,
{\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}
सभी के लिए
α
≥
2
{\displaystyle \alpha \geq 2}
तीव्र परिणाम कहा जा सकता है यदि कोई बहुपदों के शून्यों के अनुमानों के बारे में अधिक शक्तिशाली प्रमेयों का सहारा लेता है (अधिक संक्षेप में, सैफ और वर्गा का परबोला प्रमेय, या अंतर समीकरण तकनीकें)।[2] : 88 [6]
एक परिणाम निम्न है:[7]
2
2
n
+
α
−
2
3
≤
α
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
2
n
+
α
−
1
.
{\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}
विशेष मूल्य बेसेल बहुपद
y
n
(
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)}
n
=
5
{\displaystyle n=5}
[8]
y
0
(
x
)
=
1
y
1
(
x
)
=
x
+
1
y
2
(
x
)
=
3
x
2
+
3
x
+
1
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
y
4
(
x
)
=
105
x
4
+
105
x
3
+
45
x
2
+
10
x
+
1
y
5
(
x
)
=
945
x
5
+
945
x
4
+
420
x
3
+
105
x
2
+
15
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}
परिमेय गुणांकों वाले निम्न कोटि के बहुपदों में किसी भी बेसल बहुपद का गुणनखण्ड नहीं किया जा सकता है।[9]
विपरीत बेसेल बहुपद गुणांकों को उलट कर प्राप्त किया जाता है।
समान रूप से,
θ
k
(
x
)
=
x
k
y
k
(
1
/
x
)
{\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}
इसका परिणाम निम्नलिखित होता है:
θ
0
(
x
)
=
1
θ
1
(
x
)
=
x
+
1
θ
2
(
x
)
=
x
2
+
3
x
+
3
θ
3
(
x
)
=
x
3
+
6
x
2
+
15
x
+
15
θ
4
(
x
)
=
x
4
+
10
x
3
+
45
x
2
+
105
x
+
105
θ
5
(
x
)
=
x
5
+
15
x
4
+
105
x
3
+
420
x
2
+
945
x
+
945
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}}
यह भी देखें संदर्भ
↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Krall, H. L.; Frink, O. (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials" . Trans. Amer. Math. Soc . 65 (1): 100–115. doi :10.2307/1990516 ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Grosswald, E. (1978). बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स) . New York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4 ↑ Berg, Christian; Vignat, Christophe (2008). "Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions" (PDF) . Constructive Approximation . 27 : 15–32. doi :10.1007/s00365-006-0643-6 . Retrieved 2006-08-16 . ↑ Wolfram Alpha example ↑ Dita, Petre; Grama, Nicolae (May 14, 1997). "On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations". arXiv :solv-int/9705008 ↑ Saff, E. B.; Varga, R. S. (1976). "बहुपदों के अनुक्रमों के लिए शून्य-मुक्त परवलयिक क्षेत्र". SIAM J. Math. Anal . 7 (3): 344–357. doi :10.1137/0507028 . ↑ de Bruin, M. G.; Saff, E. B.; Varga, R. S. (1981). "सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं". Indag. Math . 84 (1): 1–13. ↑ *Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001498 (Triangle a(n,k) (n >= 0, 0 <= k <= n) of coefficients of Bessel polynomials y_n(x) (exponents in increasing order).)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.
↑ Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian (August 2, 2002). "बेसेल बहुपदों की इर्रेड्यूसबिलिटी". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 2002 (550): 125–140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538 doi :10.1515/crll.2002.069 .
बाहरी संबंध