बैरोमीटर का सूत्र

बैरोमीटर का सूत्र एक ऐसा सूत्र है जिसका उपयोग यह मॉडल करने के लिए किया जाता है कि हवा का दबाव (या घनत्व) ऊंचाई के साथ कैसे बदलता है।

दबाव समीकरण

See also: Atmospheric pressure

समुद्र तल से ऊँचाई के फलन के रूप में दबाव

ऊंचाई के फलन के रूप में दबाव की गणना के लिए दो समीकरण हैं। पहला समीकरण क्षोभमंडल के मानक मॉडल पर लागू होता है जिसमें तापमान को ह्रास दर पर ऊंचाई के साथ भिन्न माना जाता है। $L_{b}$:

$$P=P_{b}\left[{\frac {T_{b}-\left(h-h_{b}\right)L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\tfrac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}$$

दूसरा समीकरण समताप मंडल के मानक मॉडल पर लागू होता है जिसमें तापमान में परिवर्तन नहीं होने का अनुमान लगाया गया है ऊंचाई के साथ:

$$P=P_{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$$

कहाँ:

• $P_{b}$ = संदर्भ दबाव
• $T_{b}$ = संदर्भ तापमान (केल्विन)
• $L_{b}$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमंडल में तापमान ह्रास दर (K/m)।
• $h$ = ऊंचाई जिस पर दबाव की गणना की जाती है (एम)
• $h_{b}$ = संदर्भ स्तर बी की ऊंचाई (मीटर; उदाहरण के लिए, एच_b= 11,000 मी)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक: 8.3144598 J/(mol·K)
• $g_{0}$ = मानक गुरुत्व: 9.80665 मी/से²
• $M$ = पृथ्वी की वायु का दाढ़ द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

या शाही इकाइयों में परिवर्तित: कहाँ:

• $P_{b}$ = संदर्भ दबाव
• $T_{b}$ = संदर्भ तापमान (केल्विन)
• $L_{b}$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वातावरण में तापमान ह्रास दर (K/ft)।
• $h$ = ऊंचाई जिस पर दबाव की गणना की जाती है (फीट)
• $h_{b}$ = संदर्भ स्तर बी की ऊंचाई (फीट; उदाहरण के लिए, एच_b=36,089 फीट)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक; फ़ुट, केल्विन और (SI) मोल (इकाई) का उपयोग करना: 8.9494596×10⁴ lb·ft²/(lb-mol·K·s²)
• $g_{0}$ = मानक गुरुत्व: 32.17405 फीट/सेकेंड²
• $M$ = पृथ्वी की वायु का दाढ़ द्रव्यमान: 28.9644 पौंड/पौंड-मोल

नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए वायुमंडल की सात क्रमिक परतों में से प्रत्येक के अनुसार सबस्क्रिप्ट बी का मान 0 से 6 तक है। इन समीकरणों में, जी₀, एम और आर^* प्रत्येक एकल-मूल्यवान स्थिरांक हैं, जबकि पी, एल, टी, और एच नीचे दी गई तालिका के अनुसार बहुमूल्यवान स्थिरांक हैं। एम, जी के लिए प्रयुक्त मान₀, और आर^* यू.एस. मानक वायुमंडल, 1976 के अनुसार हैं, और आर के लिए मूल्य^* विशेष रूप से इस स्थिरांक के मानक मानों से सहमत नहीं है। पी के लिए संदर्भ मूल्य_bb = 0 के लिए परिभाषित समुद्र स्तर मान, P है₀ = 101 325 पास्कल (इकाई) या 29.92126 इंच एचजी। पी के मान_bb = 1 से b = 6 तक की स्थिति के लिए जोड़ी समीकरण 1 और 2 के उपयुक्त सदस्य के अनुप्रयोग से प्राप्त किया जाता है जब h = h_b+1.

Subscript b	Height above sea level		Static pressure		Standard temperature (K)	Temperature lapse rate		Exponent g0 M / R L
	(m)	(ft)	(Pa)	(inHg)		(K/m)	(K/ft)
0	0	0	101 325.00	29.92126	288.15	0.0065	0.0019812	5.2558
1	11 000	36,089	22 632.10	6.683245	216.65	0.0	0.0	—
2	20 000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	-0.001	-0.0003048	-34.1626
3	32 000	104,987	868.02	0.2563258	228.65	-0.0028	-0.00085344	-12.2009
4	47 000	154,199	110.91	0.0327506	270.65	0.0	0.0	—
5	51 000	167,323	66.94	0.01976704	270.65	0.0028	0.00085344	12.2009
6	71 000	232,940	3.96	0.00116833	214.65	0.002	0.0006096	17.0813

घनत्व समीकरण

Further information: Atmospheric density

घनत्व की गणना के लिए अभिव्यक्तियाँ दबाव की गणना के लगभग समान हैं। समीकरण 1 में एकमात्र अंतर घातांक का है।

ऊंचाई के फलन के रूप में घनत्व की गणना के लिए दो समीकरण हैं। पहला समीकरण क्षोभमंडल के मानक मॉडल पर लागू होता है जिसमें तापमान को ह्रास दर पर ऊंचाई के साथ भिन्न माना जाता है। $L_{b}$; दूसरा समीकरण समताप मंडल के मानक मॉडल पर लागू होता है जिसमें माना जाता है कि तापमान ऊंचाई के साथ बदलता नहीं है।

समीकरण 1:

$$\rho =\rho _{b}\left[{\frac {T_{b}-(h-h_{b})L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\left({\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}-1\right)}$$

जो सापेक्ष दबाव और तापमान परिवर्तन के अनुपात के बराबर है

$$\rho =\rho _{b}{\frac {P}{T}}{\frac {T_{b}}{P_{b}}}$$

समीकरण 2:

$$\rho =\rho _{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$$

कहाँ

• ${\rho }$ = द्रव्यमान घनत्व (किग्रा/मीटर)³)
• $T_{b}$ = मानक तापमान (K)
• $L$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमंडल में मानक तापमान चूक दर (नीचे तालिका देखें) (K/m)।
• $h$ = समुद्र तल से ऊँचाई (भू-क्षमता मीटर)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक 8.3144598 N·m/(mol·K)
• $g_{0}$ = गुरुत्वीय त्वरण: 9.80665 मी/से²
• $M$ = पृथ्वी की वायु का दाढ़ द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

या, यू.एस. गुरुत्वाकर्षण फुट-पाउंड-सेकंड इकाइयों में परिवर्तित (अब यू.के. में उपयोग नहीं किया जाता है):*${\rho }$ = द्रव्यमान घनत्व (स्लग (इकाई)/फीट³)

• ${T_{b}}$ = मानक तापमान (K)
• ${L}$ = मानक तापमान चूक दर (के/फीट)
• ${h}$ = समुद्र तल से ऊँचाई (भूसंभावित फ़ुट)
• ${R^{*}}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक: 8.9494596×10⁴ फीट²/(s·K)
• ${g_{0}}$ = गुरुत्वीय त्वरण: 32.17405 फीट/सेकेंड²
• ${M}$ = पृथ्वी की वायु का दाढ़ द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए वायुमंडल की सात क्रमिक परतों में से प्रत्येक के अनुसार सबस्क्रिप्ट बी का मान 0 से 6 तक है। ρ के लिए संदर्भ मान_bb = 0 के लिए परिभाषित समुद्र स्तर मान, ρ है₀ = 1.2250 किग्रा/मीटर³या 0.0023768908 स्लग/फीट³. ρ का मान_bb = 1 से b = 6 तक की स्थिति के लिए जोड़ी समीकरण 1 और 2 के उपयुक्त सदस्य के अनुप्रयोग से प्राप्त किया जाता है जब h = h_b+1.

इन समीकरणों में, जी₀, एम और आर^* प्रत्येक एकल-मूल्यवान स्थिरांक हैं, जबकि ρ, L, T और h नीचे दी गई तालिका के अनुसार बहु-मूल्यवान स्थिरांक हैं। एम, जी के लिए प्रयुक्त मान₀ और आर^*यू.एस. मानक वायुमंडल, 1976 के अनुसार हैं, और आर के लिए मूल्य^* विशेष रूप से इस स्थिरांक के मानक मानों से सहमत नहीं है।

Subscript b	Height Above Sea Level (h)		Mass Density ($\rho$)		Standard Temperature (T') (K)	Temperature Lapse Rate (L)
	(m)	(ft)	(kg/m3)	(slug/ft3)		(K/m)	(K/ft)
0	0	0	1.2250	2.3768908×10−3	288.15	0.0065	0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7.0611703×10−4	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1.7081572×10−4	216.65	-0.001	-0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2.5660735×10−5	228.65	-0.0028	-0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2.7698702×10−6	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1.6717895×10−6	270.65	0.0028	0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1.2458989×10−7	214.65	0.002	0.0006096

व्युत्पत्ति

आदर्श गैस नियम का उपयोग करके बैरोमीटर का सूत्र प्राप्त किया जा सकता है:

$$P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T$$

यह मानते हुए कि सारा दबाव हीड्रास्टाटिक दबाव है:

$$dP=-\rho g\,dz$$

और विभाजित कर रहा हूँ $dP$ से $P$ अभिव्यक्ति हमें मिलती है:

$${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}$$

इस अभिव्यक्ति को सतह से ऊंचाई z तक एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}$$

रैखिक तापमान परिवर्तन मानकर $T=T_{0}-Lz$ और स्थिर दाढ़ द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण त्वरण, हमें पहला बैरोमीटर का सूत्र मिलता है:

$$P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}$$

इसके बजाय, स्थिर तापमान मानकर, एकीकृत करने से दूसरा बैरोमीटर का सूत्र मिलता है:

$$P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}$$

इस सूत्रीकरण में, आर^*गैस स्थिरांक है, और शब्द R है^*T/Mg पैमाने की ऊंचाई देता है (क्षोभमंडल के लिए लगभग 8.4 किमी के बराबर)।

(सटीक परिणामों के लिए, यह याद रखना चाहिए कि पानी युक्त वायुमंडल एक आदर्श गैस के रूप में व्यवहार नहीं करता है। अधिक समझने के लिए वास्तविक गैस या आदर्श गैस या गैस देखें।)

यह भी देखें

• हाइप्सोमेट्रिक समीकरण
• NRLMSISE-00
• ऊर्ध्वाधर दबाव भिन्नता