मजबूत उपाय शून्य सेट
गणितीय विश्लेषण में, एक मजबूत माप शून्य सेट[1]निम्नलिखित गुण के साथ वास्तविक रेखा का एक उपसमुच्चय A है:
- प्रत्येक अनुक्रम के लिए (εn) सकारात्मक वास्तविकताओं का एक क्रम मौजूद है (In) अंतराल (गणित) का ऐसा है कि |In| <ईn सभी n और A के लिए I के मिलन में निहित हैn.
(यहाँ |मैंn| अंतराल I की लंबाई को दर्शाता हैn.)
प्रत्येक गणनीय समुच्चय एक मजबूत माप शून्य समुच्चय है, और इसी तरह प्रत्येक गणनीय रूप से कई मजबूत माप शून्य समुच्चयों का संघ है। प्रत्येक मजबूत माप शून्य सेट में लेब्सेग माप 0 होता है। कैंटर सेट लेब्सेग माप 0 के बेशुमार सेट का एक उदाहरण है जो मजबूत माप शून्य का नहीं है।[2] एमिल बोरेल|बोरेल का अनुमान[1] बताता है कि प्रत्येक मजबूत माप शून्य सेट गणनीय है। अब यह ज्ञात है कि यह कथन ZFC (सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध, जो गणित में ग्रहण की गई मानक स्वयंसिद्ध प्रणाली है) की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है। इसका मतलब यह है कि बोरेल के अनुमान को ZFC में न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है (यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है)। वाक्ला सिएरपिंस्की|सिएरपिंस्की ने 1928 में साबित किया कि सातत्य परिकल्पना (जिसे अब ZFC से स्वतंत्र भी माना जाता है) का तात्पर्य अनगिनत मजबूत माप शून्य सेटों के अस्तित्व से है।[3] 1976 में रिचर्ड लेवर ने ZFC का एक मॉडल बनाने के लिए फोर्सिंग (सेट सिद्धांत) की एक विधि का उपयोग किया जिसमें बोरेल का अनुमान लागू होता है।[4] ये दोनों परिणाम मिलकर बोरेल के अनुमान की स्वतंत्रता स्थापित करते हैं।
मजबूत माप शून्य सेट का निम्नलिखित लक्षण वर्णन 1973 में सिद्ध हुआ था:
- एक सेट A ⊆ R का मजबूत माप शून्य है यदि और केवल यदि A + M ≠ R प्रत्येक छोटे सेट के लिए M ⊆ R.[5]
यह परिणाम अत्यधिक अल्प समुच्चय की धारणा से संबंध स्थापित करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
- एक सेट M ⊆ R अत्यधिक अल्प है यदि और केवल यदि A + M ≠ R प्रत्येक सेट के लिए A ⊆ R लेबेस्ग्यू का माप शून्य है।
दोहरे बोरेल अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक अत्यधिक अल्प सेट गणनीय है। यह कथन ZFC से भी स्वतंत्र है।[6]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Borel, Émile (1919). "माप शून्य के सेट के वर्गीकरण पर" (PDF). Bull. Soc. Math. France. 47: 97–125. doi:10.24033/bsmf.996.
- ↑ Jech, Thomas (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer Monographs in Mathematics (3rd ed.). Springer. p. 539. ISBN 978-3540440857.
- ↑ Sierpiński, W. (1928). "एक गैर-गणनीय सेट पर, जिसमें से प्रत्येक सतत छवि का माप शून्य है" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in français). 11 (1): 302–4. doi:10.4064/fm-11-1-302-303.
- ↑ Laver, Richard (1976). "बोरेल के अनुमान की स्थिरता पर". Acta Math. 137 (1): 151–169. doi:10.1007/BF02392416.
- ↑ Galvin, F.; Mycielski, J.; Solovay, R.M. (1973). "मजबूत माप शून्य सेट". Notices of the American Mathematical Society. 26.
- ↑ Carlson, Timothy J. (1993). "मजबूत माप शून्य और दृढ़ता से अल्प सेट". Proc. Amer. Math. Soc. 118 (2): 577–586. doi:10.1090/s0002-9939-1993-1139474-6. JSTOR 2160341.