मतिहीनता (गणित)
गणित में अमूर्तन एक गणितीय अवधारणा की अंतर्निहित गणितीय संरचना, पैटर्न या गुणों को निकालने की प्रक्रिया है, वास्तविक दुनिया की वस्तुओं पर किसी भी निर्भरता को दूर करना, जिसके साथ यह मूल रूप से जुड़ा हो सकता है, और इसे सामान्य बनाना ताकि इसके व्यापक अनुप्रयोग हों या अन्य के बीच मिलान हो। समतुल्य घटनाओं का सार विवरण।[1][2][3] आधुनिक गणित के दो सर्वाधिक अमूर्त क्षेत्र श्रेणी सिद्धांत और मॉडल सिद्धांत हैं।
विवरण
अंतर्निहित नियमों और अवधारणाओं को अमूर्त संरचनाओं के रूप में पहचानने और परिभाषित करने से पहले, गणित के कई क्षेत्र वास्तविक दुनिया की समस्याओं के अध्ययन के साथ शुरू हुए। उदाहरण के लिए, ज्यामिति का मूल वास्तविक दुनिया में दूरियों और क्षेत्रों की गणना में है, और बीजगणित की शुरुआत अंकगणित में समस्याओं को हल करने के तरीकों से हुई।
अमूर्तता गणित में एक सतत प्रक्रिया है और कई गणितीय विषयों का ऐतिहासिक विकास ठोस से अमूर्त तक की प्रगति को प्रदर्शित करता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति के अमूर्तीकरण में पहला कदम ऐतिहासिक रूप से प्राचीन यूनानियों द्वारा बनाया गया था, जिसमें यूक्लिड के तत्व समतल ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का सबसे पुराना प्रचलित दस्तावेज है - हालांकि प्रोक्लस चिओस के हिप्पोक्रेट्स द्वारा पहले की स्वयंसिद्ध प्रणाली के बारे में बताता है।[4] 17वीं शताब्दी में, डेसकार्टेस ने कार्तीय निर्देशांक प्रस्तुत किया जिसने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास की अनुमति दी। लोबचेव्स्की, बोल्याई, रीमैन और कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा अमूर्तता में और कदम उठाए गए, जिन्होंने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को विकसित करने के लिए ज्यामिति की अवधारणाओं को सामान्यीकृत किया|गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति। बाद में 19वीं सदी में, गणितज्ञों ने ज्यामिति को और भी सामान्यीकृत किया, एन-डायमेंशनल स्पेस, प्रोजेक्टिव ज्यामिति, एफ़ाइन ज्यामिति और परिमित ज्यामिति में ज्यामिति जैसे क्षेत्रों का विकास किया। अंत में फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम ने इन सभी ज्यामितीयों के अंतर्निहित विषय की पहचान की, उनमें से प्रत्येक को समरूपता के दिए गए समूह (गणित) के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया। अमूर्तता के इस स्तर ने ज्यामिति और अमूर्त बीजगणित के बीच संबंधों को प्रकट किया।[5] गणित में, अमूर्तता निम्नलिखित तरीकों से लाभप्रद हो सकती है:
- यह गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरे संबंधों को प्रकट करता है।
- एक क्षेत्र में ज्ञात परिणाम दूसरे संबंधित क्षेत्र में अनुमानों का सुझाव दे सकते हैं।
- एक क्षेत्र की तकनीकों और विधियों को अन्य संबंधित क्षेत्रों में गणितीय प्रमाण परिणामों पर लागू किया जा सकता है।
- एक गणितीय वस्तु के पैटर्न को उसी कक्षा में अन्य समान वस्तुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
दूसरी ओर, अमूर्तता भी नुकसानदेह हो सकती है क्योंकि अत्यधिक अमूर्त अवधारणाओं को सीखना मुश्किल हो सकता है।[6] अमूर्तता के आत्मसात (मनोविज्ञान) के लिए गणितीय परिपक्वता और अनुभव की एक डिग्री की आवश्यकता हो सकती है।
द साइंटिफिक आउटलुक (1931) में बर्ट्रेंड रसेल लिखते हैं कि साधारण भाषा यह व्यक्त करने के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त है कि भौतिकी वास्तव में क्या दावा करती है, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी के शब्द पर्याप्त रूप से सार नहीं हैं। केवल गणित और गणितीय तर्क ही उतना कम कह सकते हैं जितना भौतिकशास्त्री कहने का मतलब रखते हैं।[7]
यह भी देखें
- सार विस्तार
- सामान्यीकरण
- सामान्य सोच
- सार तर्क
- सार बीजगणितीय तर्क
- सार मॉडल सिद्धांत
- सार बकवास
- अवधारणा
संदर्भ
- ↑ Bertrand Russell, in The Principles of Mathematics Volume 1 (pg 219), refers to "the principle of abstraction".
- ↑ Robert B. Ash. A Primer of Abstract Mathematics. Cambridge University Press, Jan 1, 1998
- ↑ The New American Encyclopedic Dictionary. Edited by Edward Thomas Roe, Le Roy Hooker, Thomas W. Handford. Pg 34
- ↑ Proclus' Summary Archived 2015-09-23 at the Wayback Machine
- ↑ Torretti, Roberto (2019), "Nineteenth Century Geometry", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-10-22
- ↑ "... introducing pupils to abstract mathematics is not an easy task and requires a long-term effort that must take into account the variety of the contexts in which mathematics is used", P.L. Ferrari, Abstraction in Mathematics, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 29 July 2003 vol. 358 no. 1435 1225-1230
- ↑ "Quotations by Russell". MacTutor History of Mathematics archive. Archived from the original on 2002-01-17. Retrieved 2019-10-22.
अग्रिम पठन
- Bajnok, Béla (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4614-6635-2.