महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)

लाल वृत्तों के भुज (x-निर्देशांक) स्थिर बिंदु हैं; नीले वर्ग विभक्ति बिंदु हैं।

क्रांतिक बिंदु गणित की कई शाखाओं में प्रयुक्त होने वाला एक विस्तृत शब्द है।

एक वास्तविक चर के फलन के साथ व्यवहार करते समय, एक महत्वपूर्ण बिंदु फलन के क्षेत्र में एक बिंदु होता है जहां फलन या तो अवकलनीय फलन नहीं होता है या व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।^[1] जटिल चर के साथ व्यवहार करते समय, एक महत्वपूर्ण बिंदु, इसी तरह, फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु होता है जहां यह या तो होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन नहीं होता है या व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।^[2]^[3] इसी तरह, कई वास्तविक चरों के एक समारोह के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु अपने डोमेन में एक मूल्य है जहां ढाल अपरिभाषित है या शून्य के बराबर है।^[4] एक महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन का मान एक महत्वपूर्ण मान है।

इस प्रकार की परिभाषा अलग-अलग मानचित्रों के बीच फैली हुई है $\mathbb {R} ^{m}$ और $\mathbb {R} ^{n},$ एक महत्वपूर्ण बिंदु, इस मामले में, एक बिंदु जहां जैकबियन मैट्रिक्स के मैट्रिक्स का रैंक अधिकतम नहीं है। यह अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के बीच अलग-अलग मानचित्रों तक फैला हुआ है, उन बिंदुओं के रूप में जहां जैकोबियन मैट्रिक्स का रैंक घटता है। इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदुओं को 'द्विभाजन बिंदु' भी कहा जाता है।

विशेष रूप से, अगर $C$ एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित एक समतल वक्र है $f (x, y) = 0$ , पर प्रक्षेपण के महत्वपूर्ण बिंदु $x$ -अक्ष, के समानांतर $y$ -अक्ष वे बिंदु हैं जहां पर स्पर्शरेखा है $C$ के समानांतर हैं $y$ -अक्ष, वह बिंदु है जहां

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

दूसरे शब्दों में, महत्वपूर्ण बिंदु वे हैं जहां अंतर्निहित कार्य प्रमेय लागू नहीं होता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा एक खगोल विज्ञान घटना के गणितीय विवरण की अनुमति देती है जो कोपरनिकस के समय से पहले अस्पष्टीकृत थी। किसी ग्रह की कक्षा में एक 'स्थिर बिंदु' आकाशीय गोले पर ग्रह के प्रक्षेपवक्र का एक बिंदु है, जहां दूसरी दिशा में फिर से शुरू होने से पहले ग्रह की गति रुक जाती है। ऐसा क्रांतिवृत्त वृत्त में कक्षा के प्रक्षेपण के एक महत्वपूर्ण बिंदु के कारण होता है।

एकल चर फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु

एक वास्तविक चर के एक समारोह के एक समारोह का एक महत्वपूर्ण बिंदु, $f (x)$ , एक मान है $x 0$ के एक समारोह के डोमेन में $f$ जहाँ यह अवकलनीय फलन नहीं है या इसका व्युत्पन्न 0 है (अर्थात $f'(x_{0})=0$ ).^[1]एक महत्वपूर्ण मूल्य नीचे की छवि है $f$ एक महत्वपूर्ण बिंदु का। इन अवधारणाओं को एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के माध्यम से देखा जा सकता है $f$ : एक महत्वपूर्ण बिंदु पर, ग्राफ़ में एक क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है यदि आप किसी एक को असाइन कर सकते हैं।

ध्यान दें कि कैसे, एक भिन्न कार्य के लिए, महत्वपूर्ण बिंदु स्थिर बिंदु के समान है।

हालांकि इसे ग्राफ़ (जो एक वक्र है) पर आसानी से देखा जा सकता है, किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा को वक्र (गणित) के किसी दिशा में, महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए (देखें #Critical बिंदु विस्तृत परिभाषा के लिए एक निहित वक्र)। अगर $g (x, y)$ तब, दो चरों के कई वास्तविक चरों का अवकलनीय फलन है $g (x, y) = 0$ एक वक्र का निहित समीकरण है। इस तरह के वक्र का एक महत्वपूर्ण बिंदु, के समानांतर प्रक्षेपण के लिए $y$ -अक्ष (मानचित्र $(x, y) \to x$ ), वक्र का एक बिंदु है जहाँ ${\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.$ इसका अर्थ है कि वक्र की स्पर्श रेखा के समांतर है $y$ -अक्ष, और वह, इस बिंदु पर, जी एक अंतर्निहित कार्य को परिभाषित नहीं करता है $x$ को $y$ (अंतर्निहित कार्य प्रमेय देखें)। अगर $(x 0, y 0)$ तो इतना महत्वपूर्ण बिंदु है $x 0$ संबंधित महत्वपूर्ण मान है। इस तरह के एक महत्वपूर्ण बिंदु को द्विभाजन बिंदु भी कहा जाता है, जैसा कि, आमतौर पर, जब $x$ भिन्न होता है, के एक ओर वक्र की दो शाखाएँ होती हैं $x 0$ और दूसरी तरफ शून्य।

यह इन परिभाषाओं से अनुसरण करता है कि एक अलग-अलग कार्य $f (x)$ एक महत्वपूर्ण बिंदु है $x 0$ महत्वपूर्ण मूल्य के साथ $y 0$ , अगर और केवल अगर $(x 0, y 0)$ के समानांतर प्रक्षेपण के लिए इसके ग्राफ का एक महत्वपूर्ण बिंदु है $x$ -अक्ष, समान महत्वपूर्ण मान y के साथ₀. अगर $f$ पर अवकलनीय नहीं है $x 0$ स्पर्शरेखा के समानांतर बनने के कारण $y$ -अक्ष, फिर $x 0$ फिर से एक महत्वपूर्ण बिंदु है $f$ , पर अब $(x 0, y 0)$ के समानांतर प्रक्षेपण के लिए इसके ग्राफ का एक महत्वपूर्ण बिंदु है $y$ -एक्सिस।

उदाहरण के लिए, समीकरण के यूनिट सर्कल के महत्वपूर्ण बिंदु $x^{2}+y^{2}-1=0$ के समानांतर प्रक्षेपण के लिए (0, 1) और (0, -1) हैं $x$ -अक्ष, और (1, 0) और (-1, 0) के समानांतर दिशा के लिए $y$ -एक्सिस। यदि कोई ऊपरी आधे वृत्त को फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में मानता है $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$ तब $x = 0$ व्युत्पन्न 0 के बराबर होने के कारण महत्वपूर्ण मान 1 के साथ एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और $x = \pm1$ व्युत्पन्न अपरिभाषित होने के कारण महत्वपूर्ण मान 0 के साथ महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

उदाहरण

कार्यक्रम $f(x)=x^{2}+2x+3$ व्युत्पन्न के साथ, हर जगह अलग-अलग है $f'(x)=2x+2.$ इस फ़ंक्शन का एक अद्वितीय महत्वपूर्ण बिंदु -1 है, क्योंकि यह अद्वितीय संख्या है $x 0$ जिसके लिए $2x+2=0.$ यह बिंदु वैश्विक न्यूनतम है $f$ . संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य है $f(-1)=2.$ का ग्राफ $f$ अवतल परवलय है, महत्वपूर्ण बिंदु शीर्ष का भुज है, जहां स्पर्शरेखा रेखा क्षैतिज है, और महत्वपूर्ण मान शीर्ष का समन्वय है और इस स्पर्शरेखा रेखा के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया जा सकता है और $y$ -एक्सिस।
कार्यक्रम $f(x)=x^{2/3}$ सभी के लिए परिभाषित किया गया है $x$ और के लिए अवकलनीय है $x \neq 0$ , व्युत्पन्न के साथ $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.$ तब से $f$ पर अवकलनीय नहीं है $x = 0$ और $f'(x)\neq 0$ अन्यथा, यह अद्वितीय महत्वपूर्ण बिंदु है। समारोह का ग्राफ $f$ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ इस बिंदु पर एक कस्प (विलक्षणता) है। संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य है $f(0)=0.$
निरपेक्ष मूल्य $f(x)=|x|$ क्रांतिक बिंदु को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है $x = 0$ , जहां इसका वैश्विक न्यूनतम बिंदु है, महत्वपूर्ण मान 0 के साथ।
कार्यक्रम $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है। बिंदु $x = 0$ यह महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है क्योंकि यह फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल नहीं है।

महत्वपूर्ण बिंदुओं का स्थान

गॉस-लुकास प्रमेय द्वारा, जटिल विमान में बहुपद फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के शून्य के उत्तल हल के भीतर हैं। इस प्रकार एक बहुपद समारोह के लिए केवल वास्तविक जड़ों के साथ, सभी महत्वपूर्ण बिंदु वास्तविक हैं और सबसे बड़ी और सबसे छोटी जड़ों के बीच हैं।

सेंडोव का अनुमान यह दावा करता है कि, यदि किसी फ़ंक्शन की जड़ें जटिल विमान में यूनिट डिस्क में होती हैं, तो किसी दिए गए रूट की इकाई दूरी के भीतर कम से कम एक महत्वपूर्ण बिंदु होता है।

==अंतर्निहित वक्र == के महत्वपूर्ण बिंदु

महत्वपूर्ण बिंदु अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित समतल वक्रों के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, विशेष रूप से वक्र रेखाचित्र बनाने और उनकी टोपोलॉजी निर्धारित करने के लिए। इस खंड में प्रयुक्त महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा पिछले खंड की धारणा से भिन्न लग सकती है। वास्तव में यह एक अंतर मानचित्र के #Critical बिंदु दिए गए महत्वपूर्ण बिंदु की सामान्य धारणा के एक साधारण मामले की विशेषज्ञता है।

इस प्रकार, हम एक वक्र पर विचार करते हैं $C$ एक निहित समीकरण द्वारा परिभाषित $f(x,y)=0$ , कहाँ $f$ दो चरों का एक अवकलनीय फलन है, सामान्यतः एक बहुपद#चरों की संख्या। वक्र के बिंदु यूक्लिडियन विमान के बिंदु हैं जिनके कार्तीय निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दो मानक प्रक्षेपण (गणित) हैं $\pi _{y}$ और $\pi _{x}$ , द्वारा परिभाषित $\pi _{y}((x,y))=x$ और $\pi _{x}((x,y))=y,$ जो निर्देशांक अक्षों पर वक्र को मैप करता है। उन्हें क्रमशः y-अक्ष के समानांतर प्रक्षेपण और x-अक्ष के समानांतर प्रक्षेपण कहा जाता है।

का एक बिंदु $C$ के लिए महत्वपूर्ण है $\pi _{y}$ , अगर स्पर्शरेखा $C$ मौजूद है और y-अक्ष के समानांतर है। उस स्थिति में, छवि (गणित) द्वारा $\pi _{y}$ महत्वपूर्ण बिंदु और स्पर्शरेखा का x-अक्ष का एक ही बिंदु है, जिसे 'महत्वपूर्ण मान' कहा जाता है। इस प्रकार एक बिंदु के लिए महत्वपूर्ण है $\pi _{y}$ यदि इसके निर्देशांक समीकरणों के निकाय के हल हैं:

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

इसका तात्पर्य यह है कि यह परिभाषा एक महत्वपूर्ण बिंदु की सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है, जिसे अंतर मानचित्र का # महत्वपूर्ण बिंदु दिया गया है।

के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु की परिभाषा $\pi _{x}$ समान है। अगर $C$ एक समारोह का ग्राफ है $y=g(x)$ , तब $(x, y)$ के लिए महत्वपूर्ण है $\pi _{x}$ अगर और केवल अगर $x$ का महत्वपूर्ण बिन्दु है $g$ , और यह कि महत्वपूर्ण मान समान हैं।

कुछ लेखक के महत्वपूर्ण बिंदुओं को परिभाषित करते हैं $C$ उन बिंदुओं के रूप में जो दोनों के लिए महत्वपूर्ण हैं $\pi _{x}$ या $\pi _{y}$ , हालांकि वे न केवल निर्भर करते हैं $C$ , लेकिन समन्वय अक्षों की पसंद पर भी। यह लेखकों पर भी निर्भर करता है कि वक्र के एकवचन बिंदु को महत्वपूर्ण बिंदु माना जाता है या नहीं। वास्तव में एकवचन बिंदु वे बिंदु हैं जो संतुष्ट करते हैं

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

और इस प्रकार महत्वपूर्ण बिंदुओं की विशेषता वाले समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं। इस अधिक सामान्य परिभाषा के साथ, के लिए महत्वपूर्ण बिंदु $\pi _{y}$ वास्तव में वे बिंदु हैं जहां अंतर्निहित कार्य प्रमेय लागू नहीं होता है।

विवेचक का प्रयोग

जब वक्र $C$ बीजगणितीय है, अर्थात जब इसे द्विभाजित बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है $f$ , तब विवेचक महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है।

यहाँ हम केवल प्रक्षेपण पर विचार करते हैं $\pi _{y}$ ; समान परिणाम लागू होते हैं $\pi _{x}$ विनिमय करके $x$ और $y$ .

होने देना $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ का भेद करनेवाला हो $f$ में बहुपद के रूप में देखा जाता है $y$ गुणांकों के साथ जो बहुपद हैं $x$ . यह विवेचक इस प्रकार एक बहुपद है $x$ जिसके महत्वपूर्ण मूल्य हैं $\pi _{y}$ इसकी जड़ों के बीच।

अधिक सटीक, की एक साधारण जड़ $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ या तो का एक महत्वपूर्ण मूल्य है $\pi _{y}$ ऐसा संबंधित महत्वपूर्ण बिंदु एक ऐसा बिंदु है जो एकवचन नहीं है और न ही एक विभक्ति बिंदु है, या $x$ -एक स्पर्शोन्मुख का समन्वय जो समानांतर है $y$ -अक्ष और अनंत पर एक विभक्ति बिंदु (विभक्ति स्पर्शोन्मुख) पर स्पर्शरेखा है।

विवेचक का एक बहुमूल या तो कई महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होता है या समान महत्वपूर्ण मान साझा करने वाले विभक्ति स्पर्शोन्मुख, या एक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए जो एक विभक्ति बिंदु भी है, या एक विलक्षण बिंदु के लिए।

कई चर

कई वास्तविक चरों के एक समारोह के लिए, एक बिंदु $P$ (जो इनपुट वेरिएबल्स के लिए मानों का एक सेट है, जिसे एक बिंदु के रूप में देखा जाता है $\mathbb {R} ^{n}$ ) महत्वपूर्ण है अगर यह एक ऐसा बिंदु है जहां ढाल अपरिभाषित है या ढाल शून्य है।^[4]महत्वपूर्ण मान महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान हैं।

एक महत्वपूर्ण बिंदु (जहां फ़ंक्शन अलग-अलग होता है) या तो स्थानीय अधिकतम, स्थानीय न्यूनतम या सैडल बिंदु हो सकता है। यदि फलन कम से कम दो बार निरंतर अवकलनीय है तो दूसरे अवकलजों के हेसियन मैट्रिक्स के eigenvalues पर विचार करके विभिन्न मामलों को अलग किया जा सकता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु जिस पर हेस्सियन मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स है, उसे नॉनडिजेनरेट कहा जाता है, और हेस्सियन के ईगेनवैल्यू के संकेत फ़ंक्शन के स्थानीय व्यवहार को निर्धारित करते हैं। एकल चर के एक समारोह के मामले में, हेस्सियन केवल दूसरा व्युत्पन्न है, जिसे 1 × 1-मैट्रिक्स के रूप में देखा जाता है, जो गैर-एकवचन है अगर और केवल अगर यह शून्य नहीं है। इस मामले में, एक गैर-पतित महत्वपूर्ण बिंदु एक स्थानीय अधिकतम या एक स्थानीय न्यूनतम है, जो दूसरे व्युत्पन्न के संकेत पर निर्भर करता है, जो स्थानीय न्यूनतम के लिए सकारात्मक है और स्थानीय अधिकतम के लिए नकारात्मक है। यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, तो महत्वपूर्ण बिंदु आम तौर पर एक विभक्ति बिंदु होता है, लेकिन यह एक लहरदार बिंदु भी हो सकता है, जो स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम हो सकता है।

के एक समारोह के लिए $n$ चर, एक महत्वपूर्ण बिंदु पर हेसियन मैट्रिक्स के नकारात्मक eigenvalues की संख्या को महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक कहा जाता है। एक गैर-पतित महत्वपूर्ण बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है अगर और केवल अगर सूचकांक है $n$ , या, समतुल्य रूप से, यदि हेस्सियन मैट्रिक्स नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है; यह एक स्थानीय न्यूनतम है यदि सूचकांक शून्य है, या, समकक्ष, यदि हेस्सियन मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है। सूचकांक के अन्य मूल्यों के लिए, एक गैर-पतित महत्वपूर्ण बिंदु एक काठी बिंदु है, यह एक बिंदु है जो कुछ दिशाओं में अधिकतम है और दूसरों में न्यूनतम है।

अनुकूलन के लिए आवेदन

फर्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) | फर्मेट के प्रमेय द्वारा, निरंतर कार्य के सभी स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होते हैं। इसलिए, एक अलग-अलग फ़ंक्शन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, सैद्धांतिक रूप से, इन शून्यों पर ग्रेडिएंट के शून्य और हेसियन मैट्रिक्स के eigenvalues की गणना करने के लिए पर्याप्त है। यह अभ्यास में अच्छी तरह से काम नहीं करता है क्योंकि इसके लिए समकालिक समीकरणों की एक अरैखिक प्रणाली के समाधान की आवश्यकता होती है, जो एक कठिन कार्य है। स्थानीय एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए सामान्य संख्यात्मक एल्गोरिदम बहुत अधिक कुशल हैं, लेकिन यह प्रमाणित नहीं कर सकते हैं कि सभी एक्स्ट्रेमा पाए गए हैं। विशेष रूप से, वैश्विक अनुकूलन में, ये विधियाँ प्रमाणित नहीं कर सकती हैं कि आउटपुट वास्तव में वैश्विक इष्टतम है।

जब कम करने का कार्य एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है, तो महत्वपूर्ण बिंदु और महत्वपूर्ण मान बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान हैं, और ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए आधुनिक एल्गोरिदम वैश्विक न्यूनतम खोजने के लिए प्रतिस्पर्धी प्रमाणित तरीके प्रदान करते हैं।

एक भिन्न मानचित्र का महत्वपूर्ण बिंदु

एक भिन्न मानचित्र दिया गया है $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ के महत्वपूर्ण बिंदु $f$ के बिन्दु हैं $\mathbb {R} ^{m},$ जहां जेकोबियन मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित)। $f$ अधिकतम नहीं है।^[5] के तहत एक महत्वपूर्ण बिंदु की छवि $f$ एक महत्वपूर्ण मूल्य कहा जाता है। महत्वपूर्ण मूल्यों के सेट के पूरक बिंदु को नियमित मूल्य कहा जाता है। सार्ड के प्रमेय में कहा गया है कि एक चिकने मानचित्र के महत्वपूर्ण मूल्यों के सेट का माप शून्य है।

कुछ लेखक^[6] थोड़ी अलग परिभाषा दें: का एक महत्वपूर्ण बिंदु $f$ का एक बिन्दु है $\mathbb {R} ^{m}$ जहां जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक $f$ मै रुक जाना $n$ . इस सम्मेलन के साथ, जब सभी बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं $m < n$ .

ये परिभाषाएँ निम्नलिखित तरीके से भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड के बीच अंतर मानचित्रों तक विस्तारित होती हैं। होने देना $f:V\to W$ दो कई गुना के बीच एक अंतर मानचित्र बनें $V$ और $W$ संबंधित आयामों की $m$ और $n$ . एक बिंदु के पड़ोस में $p$ का $V$ और का $f (p)$ , मैनिफोल्ड#चार्ट डिफियोमोर्फिज्म हैं $\varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}$ और $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ बिंदु $p$ के लिए महत्वपूर्ण है $f$ अगर $\varphi (p)$ के लिए महत्वपूर्ण है $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ यह परिभाषा चार्ट की पसंद पर निर्भर नहीं करती है क्योंकि ट्रांज़िशन मैप्स अलग-अलग हैं, उनके जैकोबियन मैट्रिसेस व्युत्क्रमणीय हैं और उनके द्वारा गुणा करने से जेकोबियन मैट्रिक्स के रैंक को संशोधित नहीं किया जाता है $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ अगर $M$ एक हिल्बर्ट कई गुना (आवश्यक रूप से सीमित आयामी नहीं) है और $f$ एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है तो हम कहते हैं कि $p$ का महत्वपूर्ण बिन्दु है $f$ अगर $f$ एक डुबकी (गणित) नहीं है $p$ .^[7]

टोपोलॉजी के लिए आवेदन

कई गुना और वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति के टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण बिंदु मौलिक हैं। विशेष रूप से, वे मोर्स सिद्धांत और आपदा सिद्धांत के लिए बुनियादी उपकरण हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुओं और टोपोलॉजी के बीच की कड़ी पहले से ही अमूर्तता के निचले स्तर पर दिखाई देती है। उदाहरण के लिए, चलो $V$ का उप-कई गुना हो $\mathbb {R} ^{n},$ और $P$ बाहर एक बिंदु हो $V.$ की दूरी का वर्ग $P$ के एक बिंदु का $V$ एक अंतर मानचित्र है जैसे कि प्रत्येक जुड़ा हुआ घटक $V$ कम से कम एक महत्वपूर्ण बिंदु होता है, जहां दूरी न्यूनतम होती है। यह निम्नानुसार है कि जुड़े घटकों की संख्या $V$ ऊपर महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या से घिरा है।

वास्तविक बीजगणितीय किस्मों के मामले में, बेज़ाउट के प्रमेय से जुड़ा यह अवलोकन हमें विविधता को परिभाषित करने वाले बहुपदों की डिग्री के एक समारोह द्वारा जुड़े घटकों की संख्या को सीमित करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

वक्र का एकवचन बिंदु
विलक्षणता सिद्धांत
गॉस-लुकास प्रमेय

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
↑ Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.
↑ Larson, Ron (2010). गणना. Edwards, Bruce H., 1946- (9th ed.). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.
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↑ Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
↑ Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.
↑ Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry p. 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

[:0-1] 1.0 ^1.1 Problems in mathematical analysis. Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G. Moscow(IS): Moskva. 1964. ISBN 0846407612. OCLC 799468131.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[2] Stewart, James (2008). Calculus : early transcendentals (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840.

[3] Larson, Ron (2010). गणना. Edwards, Bruce H., 1946- (9th ed.). Belmont, Calif.: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593.

[:1-4] 4.0 ^4.1 Adams, Robert A.; Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. p. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.

[5] Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.

[6] Lafontaine, Jacques (2015). An Introduction to Differential Manifolds. Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-20735-3. ISBN 978-3-319-20734-6.

[7] Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry p. 186,doi:10.1007/978-1-4612-0541-8

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