महान दीर्घवृत्त

For the shortest path between two points on the earth, see geodesics on an ellipsoid.

[[image:OblateSpheroid.PNG|right|150px|thumb| उपगोल

एक बड़ा दीर्घवृत्त एक गोलाकार पर दो बिंदु (ज्यामिति) से गुजरने वाला दीर्घवृत्त होता है और गोलाकार के समान केंद्र (ज्यामिति) होता है। समतुल्य रूप से, यह एक गोलाकार की सतह (ज्यामिति) पर एक दीर्घवृत्त है और मूल (ज्यामिति) पर केंद्रित है, या इसके केंद्र के माध्यम से एक विमान द्वारा गोलाकार को काटकर बनाई गई वक्र है। उन बिंदुओं के लिए जो पृथ्वी की परिधि के लगभग एक चौथाई से भी कम दूरी पर हैं $10\,000\,\mathrm {km}$, बिंदुओं को जोड़ने वाले महान दीर्घवृत्त की लंबाई एक दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक्स के करीब (500,000 में एक भाग के भीतर) है। महान अंडाकार इसलिए कभी-कभी समुद्री नेविगेशन के लिए उपयुक्त मार्ग के रूप में प्रस्तावित किया जाता है। महान दीर्घवृत्त पृथ्वी खंड पथों का विशेष मामला है।

परिचय

मान लें कि गोलाकार, क्रांति का दीर्घवृत्ताभ, एक भूमध्यरेखीय त्रिज्या है $a$ और ध्रुवीय अर्ध-अक्ष $b$. समतलीकरण को परिभाषित कीजिए $f=(a-b)/a$, विलक्षणता $e={\sqrt {f(2-f)}}$, और दूसरा सनकीपन $e'=e/(1-f)$. दो बिंदुओं पर विचार करें: $A$ (भौगोलिक) अक्षांश पर $\phi _{1}$ और देशांतर $\lambda _{1}$ और $B$ अक्षांश पर $\phi _{2}$ और देशांतर $\lambda _{2}$. कनेक्टिंग ग्रेट एलिप्से (से $A$ को $B$) की लंबाई है $s_{12}$ और दिगंश है $\alpha _{1}$ और $\alpha _{2}$ दो छोरों पर।

दीर्घवृत्त को त्रिज्या के एक गोले में मैप करने के विभिन्न तरीके हैं $a$ इस तरह से महान दीर्घवृत्त को एक महान वृत्त में मैप करने के लिए, महान-वृत्त नेविगेशन के तरीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है:

• दीर्घवृत्त को घूर्णन के अक्ष के समानांतर दिशा में खींचा जा सकता है; यह अक्षांश के एक बिंदु को मैप करता है $\phi$ दीर्घवृत्त पर अक्षांश के साथ गोले पर एक बिंदु पर $\beta$, अक्षांश#पैरामीट्रिक अक्षांश।
• दीर्घवृत्त पर एक बिंदु को दीर्घवृत्त के केंद्र के साथ जोड़ने वाली रेखा के साथ गोले पर रेडियल रूप से मैप किया जा सकता है; यह अक्षांश के एक बिंदु को मैप करता है $\phi$ दीर्घवृत्त पर अक्षांश के साथ गोले पर एक बिंदु पर $\theta$, अक्षांश#भूकेंद्रीय अक्षांश।
• दीर्घवृत्त को ध्रुवीय अर्ध-अक्ष के साथ एक लम्बी दीर्घवृत्त में फैलाया जा सकता है $a^{2}/b$ और फिर गोले पर रेडियल रूप से मैप किया गया; यह अक्षांश को संरक्षित करता है—गोले पर अक्षांश है $\phi$, अक्षांश#भूकेंद्रीय अक्षांश।

अंतिम विधि दो ज्ञात बिंदुओं को जोड़ने वाले महान दीर्घवृत्त पर मार्ग-बिंदुओं के उत्तराधिकार को उत्पन्न करने का एक आसान तरीका देती है $A$ और $B$. के बीच बड़े चक्र के लिए हल करें $(\phi _{1},\lambda _{1})$ और $(\phi _{2},\lambda _{2})$ और ग्रेट-सर्कल नेविगेशन खोजें#फाइंडिंग वे-पॉइंट्स|ग्रेट सर्कल पर वे-पॉइंट्स। ये मानचित्र संबंधित महान दीर्घवृत्त पर मार्ग-बिंदुओं में हैं।

महान दीर्घवृत्त को एक महान वृत्त में मैप करना

यदि दूरियों और शीर्षकों की आवश्यकता है, तो पहले मानचित्रण का उपयोग करना सबसे सरल है। विस्तार से, मानचित्रण इस प्रकार है (यह विवरण से लिया गया है ):

• भौगोलिक अक्षांश $\phi$ दीर्घवृत्त मानचित्रों पर पैरामीट्रिक अक्षांश पर $\beta$ गोले पर, जहां<ब्लॉककोट>$a\tan \beta =b\tan \phi .$</ब्लॉककोट>
• देशांतर $\lambda$ अपरिवर्तित है।
• अज़ीमुथ $\alpha$ दिगंश के लिए दीर्घवृत्त मानचित्र पर $\gamma$ गोले पर जहाँ

  ${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}$

  और के चतुर्भुज $\alpha$ और $\gamma$ समान हैं।
• त्रिज्या के बड़े वृत्त पर स्थितियाँ $a$ चाप लंबाई द्वारा parametrized हैं $\sigma$ भूमध्य रेखा के उत्तर की ओर क्रॉसिंग से मापा जाता है। महान दीर्घवृत्त में अर्ध-अक्ष होता है $a$ और $a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}$, कहां $\gamma _{0}$ उत्तर की ओर भूमध्य रेखा क्रॉसिंग पर महान-चक्र दिगंश है, और $\sigma$ दीर्घवृत्त पर पैरामीट्रिक कोण है।

(एक सहायक क्षेत्र के लिए एक समान मानचित्रण एक दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक्स के समाधान में किया जाता है। अंतर यह है कि दिगंश $\alpha$ मानचित्रण में संरक्षित है, जबकि देशांतर $\lambda$ एक गोलाकार देशांतर के लिए मानचित्र $\omega$. दूरी की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले समतुल्य दीर्घवृत्त में अर्ध-अक्ष होते हैं $b{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\alpha _{0}}}$ और $b$.)

प्रतिलोम समस्या का समाधान

उलटा समस्या का निर्धारण है $s_{12}$, $\alpha _{1}$, और $\alpha _{2}$, के पद दिए गए हैं $A$ और $B$. इसे कंप्यूटिंग द्वारा हल किया जाता है $\beta _{1}$ और $\beta _{2}$ और ग्रेट-सर्कल नेविगेशन|ग्रेट-सर्कल के बीच हल करना $(\beta _{1},\lambda _{1})$ और $(\beta _{2},\lambda _{2})$.

गोलाकार दिगंशों को इस रूप में पुनः लेबल किया जाता है $\gamma$ (से $\alpha$). इस प्रकार $\gamma _{0}$, $\gamma _{1}$, और $\gamma _{2}$ और भूमध्य रेखा पर और पर गोलाकार दिगंश $A$ और $B$. महान दीर्घवृत्त के अंतिम बिंदुओं के दिगंश, $\alpha _{1}$ और $\alpha _{2}$, से गणना की जाती है $\gamma _{1}$ और $\gamma _{2}$.

बड़े दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों को के मान का उपयोग करके पाया जा सकता है $\gamma _{0}$.

वृहत वृत्त समस्या के समाधान के हिस्से के रूप में भी निर्धारित चाप की लंबाई हैं, $\sigma _{01}$ और $\sigma _{02}$, भूमध्य रेखा को पार करने से मापा जाता है $A$ और $B$. दूरी $s_{12}$ पैरामीट्रिक अक्षांश के संदर्भ में मेरिडियन चाप#श्रृंखला देने वाले सूत्र का उपयोग करके दीर्घवृत्त की परिधि के एक हिस्से की लंबाई की गणना करके पाया जाता है। इस सूत्र को लागू करने में, महान दीर्घवृत्त (मध्याह्न के बजाय) के लिए अर्ध-अक्ष का उपयोग करें और स्थानापन्न करें $\sigma _{01}$ और $\sigma _{02}$ के लिए $\beta$.

प्रत्यक्ष समस्या का समाधान, की स्थिति का निर्धारण $B$ दिया गया $A$, $\alpha _{1}$, और $s_{12}$, समान रूप से पाया जा सकता है (इसके लिए, इसके अलावा, मेरिडियन चाप # दीर्घवृत्त के लिए व्युत्क्रम मध्याह्न समस्या की आवश्यकता होती है)। यह व्युत्क्रम समस्या के समाधान में वे-पॉइंट्स (जैसे, समान दूरी वाले मध्यवर्ती बिंदुओं की एक श्रृंखला) को भी सक्षम बनाता है।

यह भी देखें

• पृथ्वी खंड पथ
• ग्रेट-सर्कल नेविगेशन
• एक दीर्घवृत्ताभ पर भूगणित
• मेरिडियन चाप
• रंब रेखा

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंडाकार
• उत्पत्ति (ज्यामिति)
• ग्रेट-सर्कल नेविगेशन

बाहरी कड़ियाँ

• Matlab implementation of the solutions for the direct and inverse problems for great ellipses.