मान्य संख्याएँ
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मान्य संख्यात्मकता, या कठोर गणना, सत्यापित गणना, विश्वसनीय गणना, संख्यात्मक सत्यापन (German: Zuverlässiges Rechnen) गणितीय रूप से सख्त त्रुटि (राउंडिंग त्रुटि, ट्रंकेशन त्रुटि, विवेकाधीन त्रुटि) मूल्यांकन सहित संख्यात्मक है, और यह संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र है। गणना के लिए, अंतराल अंकगणित का उपयोग किया जाता है, और सभी परिणाम अंतराल द्वारा दर्शाए जाते हैं। स्माले की 14वीं समस्याओं को हल करने के लिए वारविक टकर द्वारा मान्य संख्याओं का उपयोग किया गया था,[1] और आज इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के लिए शक्तिशाली उपकरण के रूप में मान्यता प्राप्त है।[2]
महत्व
सत्यापन के बिना गणना से दुर्भाग्यपूर्ण परिणाम हो सकते हैं। नीचे कुछ उदाहरण हैं.
रम्प का उदाहरण
1980 के दशक में रम्प ने उदाहरण बनाया था।[3][4] उन्होंने समष्टि फलन बनाया और उसका मूल्य प्राप्त करने का प्रयास किया था। एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता, विस्तारित परिशुद्धता परिणाम सही प्रतीत होते थे, किन्तु इसका प्लस-माइनस चिह्न वास्तविक मान से भिन्न था।
प्रेत समाधान
ब्रेउर-प्लम-मैककेना ने एम्डेन समीकरण की सीमा मूल्य समस्या को हल करने के लिए स्पेक्ट्रम विधि का उपयोग किया था, और बताया कि असममित समाधान प्राप्त किया गया था।[5] अध्ययन का यह परिणाम गिडास-नी-निरेनबर्ग के सैद्धांतिक अध्ययन से विरोधाभासी है जिसमें प्रमाणित किया गया था कि कोई असममित समाधान नहीं है।[6] ब्रेउर-प्लम-मैककेना द्वारा प्राप्त समाधान विवेकाधीन त्रुटि के कारण उत्पन्न प्रेत समाधान था। यह दुर्लभ स्थिति है, किन्तु यह हमें बताता है कि जब हम अंतर समीकरणों पर सख्ती से चर्चा करना चाहते हैं, तो संख्यात्मक समाधानों को सत्यापित किया जाना चाहिए।
संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली घटनाएँ
निम्नलिखित उदाहरण संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली दुर्घटनाओं के रूप में जाने जाते हैं:
- गल्फ युद्ध में मिसाइलों को रोकने में विफलता (1991) [7]
- एरियन 5 रॉकेट की विफलता (1996)[8]
- चुनाव परिणाम के समग्रीकरण में गलतियाँ [9]
मुख्य विषय
मान्य संख्याओं के अध्ययन को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित किया गया है:
- संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में सत्यापन
- विशेष कार्यों का सत्यापन:
- संख्यात्मक चतुर्भुज का सत्यापन[31][32][33]
- अरेखीय समीकरणों का सत्यापन (कांटोरोविच प्रमेय,[34] क्राव्ज़िक विधि, अंतराल न्यूटन विधि और डूरंड-कर्नर-एबर्थ विधि का अध्ययन किया जाता है।)
- ओडीई के समाधान के लिए सत्यापन, PDEs[35] (पीडीई के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण के ज्ञान का उपयोग किया जाता है.[34])
- रैखिक प्रोग्रामिंग का सत्यापन[36]
- कम्प्यूटेशनल ज्यामिति का सत्यापन
- कम्प्यूटेशनल ज्यामिति का सत्यापन
उपकरण
- INTLAB Library made by MATLAB/GNU Octave
- kv Library made by C++. This library can obtain multiple precision outputs by using GNU MPFR.
- Arb Library made by C. It is capable to rigorously compute various special functions.
- CAPD A collection of flexible C++ modules which are mainly designed to computation of homology of sets, maps and validated numerics for dynamical systems.
- JuliaIntervals on GitHub (Library made by Julia)
- [1] Boost Safe Numerics - C++ header only library of validated replacements for all builtin integer types]].
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Tucker, Warwick. (1999). "The Lorenz attractor exists." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197–1202.
- ↑ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Recent Development In Rigorous Computational Methods In Dynamical Systems.
- ↑ Rump, Siegfried M. (1988). "Algorithms for verified inclusions: Theory and practice." In Reliability in computing (pp. 109–126). Academic Press.
- ↑ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). Rump's example revisited. Reliable Computing, 8(3), 245-248.
- ↑ Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna.
- ↑ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Symmetry and related properties via the maximum principle." Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209–243.
- ↑ "The Patriot Missile Failure".
- ↑ ARIANE 5 Flight 501 Failure, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
- ↑ Rounding error changes Parliament makeup
- ↑ यामामोटो, टी. (1984)। समीकरणों की प्रणालियों के अनुमानित समाधानों के लिए त्रुटि सीमाएँ। एप्लाइड गणित के जापान जर्नल, 1(1), 157.
- ↑ ओशी, एस., और रम्प, एस.एम. (2002)। मैट्रिक्स समीकरणों के समाधान का तेजी से सत्यापन। संख्यात्मक गणित, 90(4), 755-773.
- ↑ यामामोटो, टी. (1980)। परिकलित eigenvalues और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। संख्यात्मक गणित, 34(2), 189-199.
- ↑ यामामोटो, टी. (1982)। परिकलित eigenvalues और eigenvectors के लिए त्रुटि सीमाएं। द्वितीय. संख्यात्मक गणित, 40(2), 201-206.
- ↑ मेयर, जी. (1994). आइजेनवेक्टर और आइजेनवैल्यू के लिए परिणाम सत्यापन। मान्य संगणना में विषय, एल्सेवियर, एम्स्टर्डम, 209-276.
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- ↑ शिन्या मियाजिमा, टी-सर्वांगसमता सिल्वेस्टर समीकरण के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 35, अंक 2, पेज 541-551, जुलाई 2018.
- ↑ शिन्या मियाजिमा, द्विघात आव्यूह समीकरण के विलायक के लिए तेजी से सत्यापित गणना, रैखिक बीजगणित का इलेक्ट्रॉनिक जर्नल, खंड 34, पृष्ठ 137-151, मार्च 2018
- ↑ शिन्या मियाजिमा, परिवहन सिद्धांत में उत्पन्न होने वाले बीजीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, अनुप्रयोगों के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित, खंड 24, अंक 5, पृष्ठ 1-12, अक्टूबर 2017.
- ↑ शिन्या मियाजिमा, असतत-समय बीजगणितीय रिकैटी समीकरणों के स्थिर समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित जर्नल, खंड 319, पृष्ठ 352-364, अगस्त 2017.
- ↑ शिन्या मियाजिमा, निरंतर समय बीजगणितीय रिकाटी समीकरणों के समाधान के लिए तेजी से सत्यापित गणना, जापान जर्नल ऑफ इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड गणित, खंड 32, अंक 2, पृष्ठ 529-544, जुलाई 2015.
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- ↑ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).
- ↑ Oishi, Shin’ichi; Tanabe, Kunio (2009). Numerical Inclusion of Optimum Point for Linear Programming. JSIAM Letters, 1, 5-8.
अग्रिम पठन
- Tucker, Warwick (2011). Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. Princeton University Press.
- Moore, Ramon Edgar, Kearfott, R. Baker., Cloud, Michael J. (2009). Introduction to Interval Analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics.
- Rump, Siegfried M. (2010). Verification methods: Rigorous results using floating-point arithmetic. Acta Numerica, 19, 287–449.
बाहरी संबंध
- Validated Numerics for Pedestrians
- Reliable Computing, An open electronic journal devoted to numerical computations with guaranteed accuracy, bounding of ranges, mathematical proofs based on floating-point arithmetic, and other theory and applications of interval arithmetic and directed rounding.