मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन सिद्धांत

गणित में, मार्सिंकीविज़ इंटरपोलेशन प्रमेय, द्वारा खोजा गया Józef Marcinkiewicz (1939), एलपी स्पेस|एल पर कार्य करने वाले गैर-रेखीय ऑपरेटरों के मानदंडों को सीमित करने वाला परिणाम है^पीरिक्त स्थान।

मार्सिंकिविज़ का प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों के बारे में रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय के समान है, लेकिन गैर-रेखीय ऑपरेटरों पर भी लागू होता है।

प्रारंभिक

मान लीजिए f वास्तविक या जटिल मानों वाला एक मापने योग्य फ़ंक्शन है, जो माप स्थान (X,F,ω) पर परिभाषित है। एफ का संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है

$\lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.$

तब f को 'कमजोर' कहा जाता है $L^{1}$यदि कोई स्थिर सी मौजूद है जैसे कि एफ का वितरण फ़ंक्शन सभी टी>0 के लिए निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करता है:

$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.$

उपरोक्त असमानता में सबसे छोटे स्थिरांक C को 'कमजोर' कहा जाता है $L^{1}$ आदर्श और आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $\|f\|_{1,w}$ या $\|f\|_{1,\infty }.$ इसी प्रकार स्थान को आमतौर पर L द्वारा दर्शाया जाता है^1,wया एल^1,∞.

(नोट: यह शब्दावली थोड़ी भ्रामक है क्योंकि कमजोर मानदंड त्रिकोण असमानता को संतुष्ट नहीं करता है जैसा कि कार्यों के योग पर विचार करके देखा जा सकता है $(0,1)$ द्वारा दिए गए $1/x$ और $1/(1-x)$, जिसका मानक 2 नहीं 4 है।)

कोई $L^{1}$ फ़ंक्शन L का है^1,wऔर इसके अतिरिक्त एक में असमानता है

$\|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.$

यह मार्कोव की असमानता (उर्फ चेबीशेव की असमानता) के अलावा और कुछ नहीं है। इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x L से संबंधित है^1,wलेकिन L को नहीं¹.

इसी प्रकार, कोई एलपी स्पेस#कमजोर एलपी|कमजोर को परिभाषित कर सकता है $L^{p}$ सभी कार्यों के स्थान के रूप में स्थान f जैसे कि $|f|^{p}$ एल के हैं^1,w, और 'कमज़ोर' $L^{p}$ मानक का उपयोग करना

$\|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.$

अधिक सीधे तौर पर, एल^p,w मानदंड को असमानता में सर्वोत्तम स्थिरांक C के रूप में परिभाषित किया गया है

$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}$

सभी t > 0 के लिए.

निरूपण

अनौपचारिक रूप से, मार्सिंकिविज़ का प्रमेय है

प्रमेय. मान लीजिए T एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है $L^{p}$ को $L^{p,w}$ और साथ ही साथ $L^{q}$ को $L^{q,w}$. तब T भी एक परिबद्ध संचालिका है $L^{r}$ को $L^{r}$ p और q के बीच किसी भी r के लिए।

दूसरे शब्दों में, भले ही किसी को चरम पी और क्यू पर केवल कमजोर सीमा की आवश्यकता हो, नियमित सीमा अभी भी कायम है। इसे और अधिक औपचारिक बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि टी केवल सघन सेट उपसमुच्चय पर घिरा है और इसे पूरा किया जा सकता है। इन विवरणों के लिए रिज़्ज़-थोरिन प्रमेय देखें।

मानक के अनुमानों में जहां मार्सिंकिविज़ का प्रमेय रीज़-थोरिन प्रमेय से कमजोर है। प्रमेय इसके लिए सीमा देता है $L^{r}$ T का मानदंड लेकिन यह सीमा अनंत तक बढ़ जाती है क्योंकि r या तो p या q में परिवर्तित हो जाता है। विशेष रूप से (DiBenedetto 2002, Theorem VIII.9.2), लगता है कि

$\|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},$

$\|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},$

ताकि एल से टी का ऑपरेटर मानदंड^पीसे एल^p,wअधिकतम N है_p, और एल से टी का ऑपरेटर मानदंड^qसे L^q,w अधिकतम N है_q. फिर निम्नलिखित प्रक्षेप असमानता पी और क्यू के बीच सभी आर और सभी एफ ∈ एल के लिए लागू होती है^आर:

$\|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}$

कहाँ

$\delta ={\frac {p(q-r)}{r(q-p)}}$

और

$\gamma =2\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.$

सीमा तक जाकर q = ∞ के लिए स्थिरांक δ और γ भी दिए जा सकते हैं।

प्रमेय का एक संस्करण अधिक सामान्यतः तब भी लागू होता है जब T को केवल निम्नलिखित अर्थों में एक क्वासिलिनियर ऑपरेटर माना जाता है: एक स्थिरांक C > 0 मौजूद होता है जिससे T संतुष्ट होता है

$|T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)$

लगभग हर जगह के लिए x. प्रमेय बिल्कुल वैसा ही है जैसा कहा गया है, सिवाय इसके कि γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है

$\gamma =2C\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.$

एक ऑपरेटर टी (संभवतः क्वासिलिनियर) फॉर्म के अनुमान को संतुष्ट करता है

$\|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}$

कमजोर प्रकार का कहा जाता है (पी,क्यू)। एक ऑपरेटर केवल प्रकार का होता है (पी,क्यू) यदि टी एल से एक सीमित परिवर्तन है^पीसे एल^प्र:

$\|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.$

प्रक्षेप प्रमेय का अधिक सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:

• यदि टी कमजोर प्रकार का एक क्वासिलिनियर ऑपरेटर है (पी₀, क्यू₀) और कमजोर प्रकार का (पृ₁, क्यू₁) कहां क्यू₀≠q₁, फिर प्रत्येक θ ∈ (0,1) के लिए, T प्रकार (p,q) का है, p और q के लिए p ≤ q रूप का है

${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.$

बाद वाला सूत्रीकरण होल्डर की असमानता और द्वैत तर्क के अनुप्रयोग के माध्यम से पूर्व से अनुसरण करता है।

अनुप्रयोग और उदाहरण

एक प्रसिद्ध एप्लिकेशन उदाहरण हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है। गुणक (फूरियर विश्लेषण) के रूप में देखे जाने पर, फ़ंक्शन एफ के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म की गणना पहले एफ [[उलटा फूरियर रूपांतरण]] को लेकर, फिर साइन फ़ंक्शन द्वारा गुणा करके, और अंत में व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म को लागू करके की जा सकती है।

इसलिए पार्सेवल का प्रमेय आसानी से दिखाता है कि हिल्बर्ट परिवर्तन से घिरा हुआ है $L^{2}$ को $L^{2}$. एक बहुत कम स्पष्ट तथ्य यह है कि यह सीमाबद्ध है $L^{1}$ को $L^{1,w}$. इसलिए मार्सिंकिविज़ के प्रमेय से पता चलता है कि यह से घिरा हुआ है $L^{p}$ को $L^{p}$ किसी भी 1 < p < 2 के लिए। दोहरे स्थान तर्क दर्शाते हैं कि यह 2 < p < ∞ के लिए भी परिबद्ध है। वास्तव में, हिल्बर्ट रूपांतरण वास्तव में 1 या ∞ के बराबर p के लिए असीमित है।

एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमम फ़ंक्शन है, जो रैखिक के बजाय केवल सबलीनियर ऑपरेटर है। जबकि $L^{p}$ को $L^{p}$ सीमा तुरंत से प्राप्त की जा सकती है $L^{1}$ कमज़ोर होना $L^{1}$ चरों के एक चतुर परिवर्तन द्वारा अनुमान लगाने के लिए, मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन एक अधिक सहज दृष्टिकोण है। चूंकि हार्डी-लिटलवुड मैक्सिमल फ़ंक्शन तुच्छ रूप से सीमित है $L^{\infty }$ को $L^{\infty }$, सभी के लिए मजबूत बाध्यता $p>1$ कमजोर (1,1) अनुमान और प्रक्षेप से तुरंत अनुसरण करता है। कमजोर (1,1) अनुमान विटाली लेम्मा को कवर कर रहा है से प्राप्त किया जा सकता है।

इतिहास

प्रमेय की घोषणा सबसे पहले किसके द्वारा की गई थी? Marcinkiewicz (1939), जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध में मरने से कुछ समय पहले एंटोनी ज़िगमंड को यह परिणाम दिखाया था। ज़िगमंड द्वारा प्रमेय को लगभग भुला दिया गया था, और एकवचन अभिन्न ऑपरेटरों के सिद्धांत पर उनके मूल कार्यों से यह अनुपस्थित था। बाद में Zygmund (1956) ने महसूस किया कि मार्सिंक्यूविक्ज़ का परिणाम उनके काम को बहुत सरल बना सकता है, जिस समय उन्होंने अपने पूर्व छात्र के प्रमेय को अपने स्वयं के सामान्यीकरण के साथ प्रकाशित किया।

1964 में रिचर्ड एलन हंट|रिचर्ड ए. हंट और गुइडो वीस ने मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रकाशित किया।

यह भी देखें

• अंतर्वेशन स्थान

संदर्भ

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations", C. R. Acad. Sci. Paris, 208: 1272–1273
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Zygmund, A. (1956), "On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operations", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 35: 223–248, ISSN 0021-7824, MR 0080887