मेशफ्री तरीके

20 अंक और उनके वोरोनोई आरेख कोशिकाएं

संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में, मेशफ्री विधियाँ वे हैं जिन्हें सिमुलेशन डोमेन के नोड्स के बीच कनेक्शन की आवश्यकता नहीं होती है, अर्थात एक प्रकार की जाली, बल्कि इसके सभी पड़ोसियों के साथ प्रत्येक नोड की बातचीत पर आधारित होती है। परिणामस्वरूप, द्रव्यमान या गतिज ऊर्जा जैसे मूल व्यापक गुण अब मेष तत्वों को नहीं बल्कि एकल नोड्स को सौंपे जाते हैं। मेशफ्री विधियां अतिरिक्त कंप्यूटिंग समय और प्रोग्रामिंग प्रयास की कीमत पर कुछ अन्यथा कठिन प्रकार की समस्याओं के अनुकरण को सक्षम बनाती हैं। एक जाल की अनुपस्थिति प्रवाह क्षेत्र सिमुलेशन के Lagrangian और Eulerian विनिर्देशन की अनुमति देती है, जिसमें वेग क्षेत्र के अनुसार नोड्स स्थानांतरित हो सकते हैं।

प्रेरणा

परिमित अंतर विधि, परिमित मात्रा विधि और परिमित तत्व विधि जैसे संख्यात्मक तरीकों को मूल रूप से डेटा बिंदुओं के जाल पर परिभाषित किया गया था। इस तरह के जाल में, प्रत्येक बिंदु में पूर्वनिर्धारित पड़ोसियों की एक निश्चित संख्या होती है, और पड़ोसियों के बीच इस जुड़ाव का उपयोग गणितीय संचालकों जैसे संख्यात्मक विभेदन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इसके बाद इन ऑपरेटरों का अनुकरण करने के लिए समीकरणों का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जाता है - जैसे कि यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) या नेवियर-स्टोक्स समीकरण।

लेकिन ऐसे सिमुलेशन में जहां सिम्युलेट की जा रही सामग्री चारों ओर घूम सकती है (कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में) या जहां सामग्री का बड़ा विरूपण (यांत्रिकी) हो सकता है (जैसा कि प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिमुलेशन में), जाल की कनेक्टिविटी मुश्किल हो सकती है सिमुलेशन में त्रुटि पेश किए बिना बनाए रखें। यदि जाल सिमुलेशन के दौरान पेचीदा या पतित हो जाता है, तो उस पर परिभाषित ऑपरेटर अब सही मान नहीं दे सकते हैं। सिमुलेशन के दौरान मेष को फिर से बनाया जा सकता है (एक प्रक्रिया जिसे रीमेशिंग कहा जाता है), लेकिन यह त्रुटि भी पेश कर सकता है, क्योंकि सभी मौजूदा डेटा बिंदुओं को डेटा बिंदुओं के एक नए और अलग सेट पर मैप किया जाना चाहिए। मेशफ्री विधियों का उद्देश्य इन समस्याओं का समाधान करना है। मेशफ्री विधियाँ इसके लिए भी उपयोगी हैं:

• सिमुलेशन जहां मेष निर्माण विशेष रूप से कठिन हो सकता है या मानव सहायता की आवश्यकता होती है
• सिमुलेशन जहां नोड्स बनाए या नष्ट किए जा सकते हैं, जैसे क्रैकिंग सिमुलेशन में
• सिमुलेशन जहां समस्या ज्यामिति एक निश्चित जाल के साथ संरेखण से बाहर हो सकती है, जैसे झुकने वाले सिमुलेशन में
• अरैखिक भौतिक व्यवहार, विच्छिन्नता या विलक्षणता वाले अनुकरण

उदाहरण

पारंपरिक परिमित अंतर विधि सिमुलेशन में, एक-आयामी सिमुलेशन का डोमेन कुछ फ़ंक्शन होगा $u(x,t)$, डेटा मानों के जाल के रूप में दर्शाया गया है $u_{i}^{n}$ बिंदुओं पर $x_{i}$, कहां

$i=0,1,2...$

$n=0,1,2...$

$x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i$

$t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n$

उदाहरण के लिए, हम इस डोमेन पर कुछ परिमित अंतर सूत्रों का उपयोग करके सिम्युलेटेड समीकरण में होने वाले डेरिवेटिव को परिभाषित कर सकते हैं

${\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}$

और

${\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}$

तब हम इन परिभाषाओं का उपयोग कर सकते हैं $u(x,t)$ और इसके स्थानिक और लौकिक डेरिवेटिव को परिमित अंतर रूप में अनुकरण किए जा रहे समीकरण को लिखने के लिए, फिर कई परिमित अंतर विधियों में से एक के साथ समीकरण का अनुकरण करें।

इस सरल उदाहरण में, चरण (यहाँ स्थानिक चरण $h$ और टाइमस्टेप $k$) सभी जाल के साथ स्थिर हैं, और डेटा मान के बाएँ और दाएँ जाल पड़ोसी हैं $x_{i}$ पर मान हैं $x_{i-1}$ और $x_{i+1}$, क्रमश। आम तौर पर परिमित अंतरों में जाल के साथ चरण चर के लिए बहुत ही सरलता से अनुमति दी जा सकती है, लेकिन सभी मूल नोड्स को संरक्षित किया जाना चाहिए और वे केवल मूल तत्वों को विकृत करके स्वतंत्र रूप से आगे बढ़ सकते हैं। यदि सभी नोड्स में से केवल दो ही अपना क्रम बदलते हैं, या सिमुलेशन से केवल एक नोड को जोड़ा या हटाया जाता है, जो मूल जाल में एक दोष पैदा करता है और सरल परिमित अंतर सन्निकटन अब धारण नहीं कर सकता है।

स्मूथेड-पार्टिकल हाइड्रोडायनामिक्स (एसपीएच), सबसे पुराने मेशफ्री तरीकों में से एक, डेटा बिंदुओं को द्रव्यमान और घनत्व वाले भौतिक कणों के रूप में इलाज करके इस समस्या को हल करता है जो समय के साथ घूम सकते हैं, और कुछ मूल्य ले सकते हैं। $u_{i}$ उनके साथ। एसपीएच तब के मूल्य को परिभाषित करता है $u(x,t)$ द्वारा कणों के बीच

$u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)$

कहां $m_{i}$ कण का द्रव्यमान है $i$, $\rho _{i}$ कण का घनत्व है $i$, और $W$ एक कर्नेल फ़ंक्शन है जो पास के डेटा बिंदुओं पर संचालित होता है और इसे चिकनाई और अन्य उपयोगी गुणों के लिए चुना जाता है। रैखिकता से, हम स्थानिक व्युत्पन्न को इस प्रकार लिख सकते हैं

${\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}$

तब हम इन परिभाषाओं का उपयोग कर सकते हैं $u(x,t)$ और इसके स्थानिक डेरिवेटिव समीकरण को एक विभेदक समीकरण के रूप में सिम्युलेटेड लिखने के लिए, और साधारण अंतर समीकरणों के लिए कई संख्यात्मक तरीकों में से एक के साथ समीकरण का अनुकरण करते हैं। भौतिक दृष्टि से, इसका अर्थ है कणों के बीच बलों की गणना करना, फिर इन बलों को समय के साथ उनकी गति निर्धारित करने के लिए एकीकृत करना।

इस स्थिति में एसपीएच का लाभ यह है कि सूत्र $u(x,t)$ और इसके डेरिवेटिव कणों के बारे में किसी भी आसन्न जानकारी पर निर्भर नहीं होते हैं; वे किसी भी क्रम में कणों का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कण इधर-उधर घूमते हैं या स्थानों का आदान-प्रदान करते हैं।

एसपीएच का एक नुकसान यह है कि कण के निकटतम पड़ोसियों को निर्धारित करने के लिए अतिरिक्त प्रोग्रामिंग की आवश्यकता होती है। चूंकि कर्नेल कार्य करता है $W$ केवल पास के कणों के लिए अशून्य परिणाम लौटाता है चौरसाई लंबाई के भीतर (क्योंकि हम आम तौर पर समर्थन (गणित) # कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ कर्नेल फ़ंक्शन चुनते हैं), यह एक बड़े सिमुलेशन में प्रत्येक कण के ऊपर योग की गणना करने के प्रयास की बर्बादी होगी। इसलिए आम तौर पर एसपीएच सिमुलेटरों को इस निकटतम पड़ोसी गणना को तेज करने के लिए कुछ अतिरिक्त कोड की आवश्यकता होती है।

इतिहास

1977 में प्रस्तुत सबसे शुरुआती मेशफ्री विधियों में से एक है स्मूथ पार्टिकल हाइड्रोडायनामिक्स। लिबर्स्की एट अल। ठोस यांत्रिकी में एसपीएच लागू करने वाले पहले थे। एसपीएच की मुख्य कमियां सीमाओं के पास गलत परिणाम और तनाव अस्थिरता हैं जिसकी जांच पहले स्वीगल द्वारा की गई थी। 1990 के दशक में गैलेरकिन पद्धति के आधार पर मेशफ्री विधियों का एक नया वर्ग उभरा। इस पहली विधि को फैलाना तत्व विधि कहा जाता है (डीईएम), नैरोल्स एट अल द्वारा अग्रणी, एमएलएस फ़ंक्शन के अनुमानित डेरिवेटिव के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के गैलेरकिन समाधान में कम से कम वर्गों के सन्निकटन का उपयोग किया। तत्पश्चात टेड बेलीत्स्को ने एलिमेंट फ्री गैलेरकिन (ईएफजी) पद्धति का बीड़ा उठाया, जिसने सीमा स्थितियों को लागू करने के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के साथ एमएलएस को नियोजित किया, कमजोर रूप में उच्च क्रम संख्यात्मक चतुर्भुज, और एमएलएस सन्निकटन के पूर्ण डेरिवेटिव जो बेहतर सटीकता प्रदान करते थे। लगभग उसी समय, पुनरुत्पादन कर्नेल कण विधि (आरकेपीएम) उभरा, एसपीएच में कर्नेल अनुमान को सही करने के लिए भाग में प्रेरित सन्निकटन: गैर-समान विवेक में, सीमाओं के पास सटीकता देने के लिए, और सामान्य रूप से उच्च-क्रम सटीकता। विशेष रूप से, समानांतर विकास में, सामग्री बिंदु विधियों को उसी समय के आसपास विकसित किया गया था जो समान क्षमता प्रदान करते हैं। बड़े विरूपण ठोस यांत्रिकी का अनुकरण करने के लिए फिल्म उद्योग में सामग्री बिंदु विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जैसे फिल्म फ्रोजन (2013 फिल्म) में बर्फ। 1990 के दशक के अंत में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों और विभिन्न वर्गों की समस्याओं के लिए आरकेपीएम और अन्य मेशफ्री विधियों को चेन, लियू और ली द्वारा बड़े पैमाने पर विकसित किया गया था। 1990 के दशक के दौरान और उसके बाद नीचे सूचीबद्ध सहित कई अन्य किस्में विकसित की गईं।

विधियों और संक्षेपों की सूची

निम्नलिखित संख्यात्मक विधियों को आमतौर पर मेशफ्री विधियों के सामान्य वर्ग के अंतर्गत माना जाता है। कोष्ठकों में परिवर्णी शब्द दिए गए हैं।

• चिकना कण हाइड्रोडायनामिक्स (एसपीएच) (1977)
• डिफ्यूज़ एलिमेंट मेथड (DEM) (1992)
• विघटनकारी कण गतिकी (DPD) (1992)
• तत्व-मुक्त गैलेर्किन विधि (EFG / EFGM) (1994)
• पुनरुत्पादन कर्नेल कण विधि (आरकेपीएम) (1995)
• परिमित बिंदु विधि (FPM) (1996)
• परिमित बिंदु विधि (FPM) (1998)
• एचपी-बादल
• प्राकृतिक तत्व विधि (एनईएम)
• सामग्री बिंदु विधि (एमपीएम)

मेशलेस लोकल पेट्रोव गैलेरकिन (MLPG) (1998)

• सामान्यीकृत-तनाव जाल-मुक्त सूत्रीकरण | सामान्यीकृत-तनाव जाल-मुक्त (GSMF) सूत्रीकरण (2016)
• मूविंग पार्टिकल सेमी-इंप्लिसिट (MPS)
• सामान्यीकृत परिमित अंतर विधि (GFDM)
• पार्टिकल-इन-सेल (PIC)
• गतिमान कण परिमित तत्व विधि (MPFEM)
• परिमित बादल विधि (FCM)
• सीमा नोड विधि (बीएनएम)
• मेशफ्री मूविंग क्रिंग इंटरपोलेशन मेथड (MK)
• सीमा बादल विधि (बीसीएम)
• मौलिक समाधान की विधि (एमएफएस)
• विशेष समाधान की विधि (एमपीएस)
• परिमित क्षेत्रों की विधि (MFS)
• असतत भंवर विधि (DVM)
• पुनरुत्पादन कर्नेल कण विधि (आरकेपीएम) (1995)
• सामान्यीकृत/ग्रेडियेंट पुनरुत्पादन कर्नेल कण विधि (2011)
• परिमित द्रव्यमान विधि (FMM) (2000)
• स्मूथेड पॉइंट इंटरपोलेशन मेथड (S-PIM) (2005)।* मेशफ्री लोकल रेडियल पॉइंट इंटरपोलेशन मेथड (RPIM)।* लोकल रेडियल बेसिस फंक्शन कोलोकेशन मेथड (LRBFCM)

विस्कस भंवर डोमेन विधि (वीवीडी)

• क्रैकिंग पार्टिकल्स मेथड (CPM) (2004)
• डिस्क्रीट लीस्ट स्क्वेर्स मेशलेस मेथड (DLSM) (2006)
• डूबे हुए कण विधि (आईपीएम) (2006)
• इष्टतम परिवहन मेशफ्री विधि (OTM) (2010)
• बार-बार प्रतिस्थापन विधि (आरआरएम) (2012)
• रेडियल आधार अभिन्न समीकरण विधि
• लीस्ट-स्क्वायर कोलाजेशन मेशलेस मेथड (2001)
• एक्सपोनेंशियल बेसिस फंक्शंस मेथड (EBFs) (2010)

संबंधित तरीके:

• मूविंग लीस्ट स्क्वेयर (MLS) - नोड्स के मनमाने सेट के लिए सामान्य सन्निकटन विधि प्रदान करें
• एकता विधियों का विभाजन (पीओयूएम) - कुछ मेशफ्री विधियों में उपयोग किए जाने वाले सामान्य सन्निकटन सूत्रीकरण प्रदान करें
• निरंतर सम्मिश्रण विधि (परिमित तत्वों और जाल रहित विधियों का संवर्धन और युग्मन) - देखें Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• विस्तारित परिमित तत्व विधि, सामान्यीकृत परिमित तत्व विधि (XFEM, GFEM) - FEM के वेरिएंट (परिमित तत्व विधि) कुछ जाल रहित पहलुओं का संयोजन
• चिकना परिमित तत्व विधि (S-FEM) (2007)
• ग्रेडिएंट स्मूथिंग मेथड (GSM) (2008)
• स्थानीय अधिकतम-एन्ट्रॉपी (एलएमई) - देखें Arroyo & Ortiz (2006)
• स्पेस-टाइम मेशफ्री कोलोकेशन मेथड (एसटीएमसीएम) - देखें Netuzhylov (2008), Netuzhylov & Zilian (2009)
• मेशफ्री इंटरफेस-फिनिट एलिमेंट मेथड (एमआईएफईएम) (2015) - फेज ट्रांसफॉर्मेशन और मल्टीफेस फ्लो प्रॉब्लम्स के न्यूमेरिकल सिमुलेशन के लिए हाइब्रिड फाइनेट एलिमेंट-मेशफ्री मेथड

हालिया विकास

मेशफ्री विधियों में उन्नति के प्राथमिक क्षेत्रों में आवश्यक सीमा प्रवर्तन, संख्यात्मक चतुर्भुज, और संपर्क और बड़े विकृतियों के साथ मुद्दों का समाधान करना है। सामान्य कमजोर सूत्रीकरण के लिए आवश्यक सीमा शर्तों के मजबूत प्रवर्तन की आवश्यकता होती है, फिर भी मेशफ्री विधियों में सामान्य रूप से क्रोनकर डेल्टा संपत्ति की कमी होती है। यह आवश्यक सीमा स्थिति प्रवर्तन को गैर-तुच्छ बनाता है, कम से कम परिमित तत्व विधि की तुलना में अधिक कठिन है, जहां उन्हें सीधे लगाया जा सकता है। इस कठिनाई को दूर करने और शर्तों को मजबूती से थोपने के लिए तकनीकों का विकास किया गया है। आवश्यक सीमा शर्तों को लागू करने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं जिनमें लैग्रेंज मल्टीप्लायर, निचे की विधि और दंड विधि शामिल हैं।

संख्यात्मक एकीकरण के लिए, नोडल एकीकरण को आम तौर पर पसंद किया जाता है जो सादगी, दक्षता प्रदान करता है, और मेशफ्री विधि को किसी भी जाल से मुक्त रखता है (जैसा कि गौसियन चतुर्भुज का उपयोग करने के विपरीत है, जो चतुर्भुज अंक और भार उत्पन्न करने के लिए जाल की आवश्यकता होती है)। नोडल एकीकरण हालांकि, लघु-तरंग दैर्ध्य मोड से जुड़ी तनाव ऊर्जा के कम आंकने के कारण संख्यात्मक अस्थिरता से ग्रस्त है, और कमजोर रूप के कम एकीकरण के कारण गलत और गैर-अभिसरण परिणाम भी देता है। संख्यात्मक एकीकरण में एक प्रमुख प्रगति एक स्थिर अनुरूप नोडल एकीकरण (SCNI) का विकास रहा है जो एक नोडल एकीकरण विधि प्रदान करता है जो इन समस्याओं में से किसी से भी ग्रस्त नहीं है।विधि तनाव-चौरसाई पर आधारित है जो पहले क्रम के पैच परीक्षण (परिमित तत्व) को संतुष्ट करती है। हालांकि, बाद में यह महसूस किया गया कि एससीएनआई में कम-ऊर्जा मोड अभी भी मौजूद थे, और अतिरिक्त स्थिरीकरण विधियों का विकास किया गया है। इस पद्धति को कई तरह की समस्याओं पर लागू किया गया है, जिनमें पतली और मोटी प्लेटें, पोरोमैकेनिक्स, संवहन-वर्चस्व वाली समस्याएं शामिल हैं।हाल ही में, पेट्रोव-गैलेरकिन पद्धति के आधार पर, मनमाना-आदेश पैच परीक्षण पास करने के लिए एक ढांचा विकसित किया गया है। मेशफ्री विधियों में हालिया प्रगति का उद्देश्य मॉडलिंग और सिमुलेशन में स्वचालन के लिए कम्प्यूटेशनल टूल का विकास करना है। यह G अंतरिक्ष सिद्धांत पर आधारित तथाकथित कमजोर कमजोर (W2) फॉर्मूलेशन द्वारा सक्षम है। W2 सूत्रीकरण विभिन्न (समान रूप से) नरम मॉडल तैयार करने की संभावनाएं प्रदान करता है जो त्रिकोणीय जाल के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं। क्योंकि एक त्रिकोणीय जाल स्वचालित रूप से उत्पन्न हो सकता है, यह फिर से जाल में बहुत आसान हो जाता है और इसलिए मॉडलिंग और सिमुलेशन में स्वचालन को सक्षम बनाता है। इसके अलावा, ऊपरी बाध्य समाधान (बल-ड्राइविंग समस्याओं के लिए) का उत्पादन करने के लिए W2 मॉडल को पर्याप्त नरम (समान फैशन में) बनाया जा सकता है। कड़े मॉडल (जैसे कि पूरी तरह से संगत FEM मॉडल) के साथ, कोई भी समाधान को दोनों तरफ से आसानी से बांध सकता है। यह आम तौर पर जटिल समस्याओं के लिए आसान त्रुटि अनुमान की अनुमति देता है, जब तक त्रिकोणीय जाल उत्पन्न किया जा सकता है। विशिष्ट W2 मॉडल स्मूथेड पॉइंट इंटरपोलेशन मेथड्स (या S-PIM) हैं। S-PIM नोड-आधारित हो सकता है (NS-PIM या LC-PIM के रूप में जाना जाता है), एज-आधारित (ES-PIM), और सेल-आधारित (CS-PIM)। NS-PIM को तथाकथित SCNI तकनीक का उपयोग करके विकसित किया गया था।तब यह पता चला कि NS-PIM अपर बाउंड सॉल्यूशन और वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग फ्री बनाने में सक्षम है। ES-PIM सटीकता में श्रेष्ठ पाया गया है, और CS-PIM NS-PIM और ES-PIM के बीच व्यवहार करता है। इसके अलावा, W2 फॉर्मूलेशन आकार कार्यों के निर्माण में बहुपद और रेडियल आधार कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है (जब तक यह जी 1 स्पेस में है, तब तक यह बंद विस्थापन कार्यों को समायोजित करता है), जो भविष्य के विकास के लिए और कमरे खोलता है। W2 सूत्रीकरण ने अच्छी तरह से विकसित FEM तकनीकों के साथ मेशफ्री तकनीकों के संयोजन के विकास का भी नेतृत्व किया है, और अब कोई भी उत्कृष्ट सटीकता और वांछित कोमलता के साथ त्रिकोणीय जाल का उपयोग कर सकता है। इस तरह का एक विशिष्ट सूत्रीकरण तथाकथित चिकनी परिमित तत्व विधि (या S-FEM) है। एस-एफईएम एस-पीआईएम का रैखिक संस्करण है, लेकिन एस-पीआईएम के अधिकांश गुणों के साथ और बहुत सरल है।

यह एक सामान्य धारणा है कि FEM समकक्षों की तुलना में मेशफ्री तरीके बहुत अधिक महंगे हैं। हाल के अध्ययन में पाया गया है कि एस-पीआईएम और एस-एफईएम जैसे कुछ मेशफ्री तरीके एफईएम समकक्षों की तुलना में बहुत तेज हो सकते हैं।

S-PIM और S-FEM ठोस यांत्रिकी समस्याओं के लिए अच्छा काम करते हैं। सीएफडी समस्याओं के लिए, मजबूत सूत्रीकरण के माध्यम से सूत्रीकरण सरल हो सकता है। सीएफडी समस्याओं के लिए हाल ही में एक ग्रेडिएंट स्मूथिंग मेथड्स (जीएसएम) भी विकसित किया गया है, जो ग्रेडिएंट स्मूथिंग आइडिया को मजबूत रूप में लागू करता है। जीएसएम [एफवीएम] के समान है, लेकिन विशेष रूप से नेस्टेड फैशन में ग्रेडियेंट स्मूथिंग ऑपरेशंस का उपयोग करता है, और पीडीई के लिए एक सामान्य संख्यात्मक विधि है।

मेशफ्री व्यवहार का अनुकरण करने के लिए परिमित तत्वों का उपयोग करने के लिए नोडल एकीकरण को एक तकनीक के रूप में प्रस्तावित किया गया है। हालाँकि, नोडल रूप से एकीकृत तत्वों का उपयोग करने में जो बाधा दूर होनी चाहिए, वह यह है कि नोडल बिंदुओं पर मात्राएँ निरंतर नहीं होती हैं, और नोड्स को कई तत्वों के बीच साझा किया जाता है।

यह भी देखें

• सातत्यक यांत्रिकी
• चिकना परिमित तत्व विधि* जी स्पेस
• कमजोर कमजोर रूप* सीमा तत्व विधि
• विसर्जित सीमा विधि
• स्टैंसिल कोड
• कण विधि

आगे की पढाई

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बाहरी कड़ियाँ

• The USACM blog on Meshfree Methods