मौखिक अंकगणित

वर्बल अंकगणित, जिसे अल्फ़ामेटिक्स, क्रिप्टारिथमेटिक, क्रिप्टारिथम या शब्द जोड़ के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रकार का गणितीय गेम है जिसमें अज्ञात संख्याओं के बीच एक गणितीय समीकरण होता है, जिसके संख्यात्मक अंक वर्णमाला के अक्षर (वर्णमाला) द्वारा दर्शाए जाते हैं। लक्ष्य प्रत्येक अक्षर के मूल्य की पहचान करना है। नाम को पहेलियों तक बढ़ाया जा सकता है जो अक्षरों के बजाय गैर-वर्णात्मक प्रतीकों का उपयोग करते हैं।

समीकरण आमतौर पर अंकगणित का एक बुनियादी संचालन है, जैसे जोड़, गुणा या भाग (गणित)। क्लासिक उदाहरण, हेनरी डुडेनी द्वारा स्ट्रैंड मैगज़ीन के जुलाई 1924 के अंक में प्रकाशित,^[1] है:

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}$ इस पहेली का हल O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8, और S = 9 है।

परंपरागत रूप से, प्रत्येक अक्षर को एक अलग अंक का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, और (सामान्य अंकगणितीय संकेतन के रूप में) एक बहु-अंकीय संख्या का अग्रणी अंक शून्य नहीं होना चाहिए। एक अच्छी पहेली का एक अनूठा समाधान होना चाहिए, और अक्षरों को एक मुहावरा बनाना चाहिए (जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है)।

मौखिक अंकगणित बीजगणित की शिक्षा में प्रेरणा और अभ्यास के स्रोत के रूप में उपयोगी हो सकता है।

इतिहास

क्रिप्टरिथमिक पहेलियाँ काफी पुरानी हैं और उनका आविष्कारक अज्ञात है। द अमेरिकन एग्रीकल्चरिस्ट में 1864 का उदाहरण^[2] लोकप्रिय धारणा का खंडन करता है कि इसका आविष्कार सैम लॉयड ने किया था। क्रिप्टारिथम नाम पज़लिस्ट मिनोस (साइमन वैट्रिकेंट का छद्म नाम) द्वारा मई 1931 के स्फिंक्स, मनोरंजक गणित की एक बेल्जियम पत्रिका के अंक में गढ़ा गया था, और 1942 में मौरिस क्रैचिक द्वारा क्रिप्टारिथमेटिक के रूप में अनुवादित किया गया था।^[3] 1955 में, जे.ए.एच. हंटर ने क्रिप्टैरिथम को निर्दिष्ट करने के लिए अल्फ़ामेटिक शब्द की शुरुआत की, जैसे डुडेनी, जिसके अक्षर सार्थक शब्द या वाक्यांश बनाते हैं।^[4]

क्रिप्टैरिथम के प्रकार

रिचर्ड फेनमैन की कंकाल विभाजन पहेली - प्रत्येक ए एक ही अंक का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक डॉट किसी भी अंक को ए द्वारा प्रदर्शित नहीं करता है ^[5]

क्रिप्टैरिथम के प्रकारों में अल्फ़ामेटिक, डिजीमेटिक और कंकाल विभाजन शामिल हैं।

वर्णमाला: एक प्रकार का क्रिप्टैरिदम जिसमें शब्दों का एक समूह एक लंबे जोड़ योग या किसी अन्य गणितीय समस्या के रूप में लिखा जाता है। वस्तु एक वैध अंकगणितीय योग बनाने के लिए वर्णमाला के अक्षरों को दशमलव अंकों से बदलना है।

डिजिमेटिक

एक क्रिप्टैरिथम जिसमें अंकों का उपयोग अन्य अंकों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

कंकाल विभाजन: एक लंबा विभाजन जिसमें क्रिप्टारिदम बनाने के लिए अधिकांश या सभी अंकों को प्रतीकों (आमतौर पर तारक) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
रिवर्स क्रिप्टैरिदम: एक दुर्लभ भिन्नता जहां एक सूत्र लिखा जाता है, और समाधान संबंधित क्रिप्टैरिथम है जिसका समाधान दिया गया सूत्र है।

क्रिप्टेरिथम को हल करना

हाथ से क्रिप्टारिथम को हल करने में आम तौर पर कटौती और संभावनाओं के संपूर्ण परीक्षणों का मिश्रण शामिल होता है। उदाहरण के लिए कटौतियों का निम्नलिखित क्रम डुडनी की SEND+MORE = MONEY ऊपर की पहेली को हल करता है (स्तंभों को दाएं से बाएं क्रमांकित किया गया है):

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}$

कॉलम 5 से, एम = 1 क्योंकि कॉलम 4 में दो एकल अंकों की संख्या के योग से यह एकमात्र कैरी-ओवर संभव है।
चूंकि कॉलम 5 में कैरी है, O को M (कॉलम 4 से) से कम या बराबर होना चाहिए। लेकिन O, M के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए O, M से छोटा है। इसलिए O = 0।
चूँकि O, M से 1 कम है, S या तो 8 या 9 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि कॉलम 4 में कोई कैरी है या नहीं। लेकिन अगर कॉलम 4 में कोई कैरी होता है, तो N, O से कम या बराबर होगा (कॉलम 3 से) . यह असंभव है क्योंकि O = 0. इसलिए कॉलम 3 और S = 9 में कोई कैरी नहीं है।
यदि कॉलम 3 में कोई कैरी न हो तो E = N, जो असंभव है। इसलिए एक कैरी और N = E + 1 है।
यदि कॉलम 2 में कोई कैरी नहीं था, तो (N + R) mod 10 = E, और N = E + 1, इसलिए (E + 1 + R) mod 10 = E जिसका अर्थ है (1 + R) mod 10 = 0, इसलिए R = 9. लेकिन S = 9, इसलिए कॉलम 2 में एक कैरी होना चाहिए इसलिए R = 8।
कॉलम 2 में कैरी करने के लिए हमारे पास D + E = 10 + Y होना चाहिए।
Y कम से कम 2 है तो D + E कम से कम 12 है।
उपलब्ध संख्याओं के केवल दो युग्म जिनका योग कम से कम 12 होता है वे हैं (5,7) और (6,7) इसलिए या तो E = 7 या D = 7।
चूँकि N = E + 1, E 7 नहीं हो सकता क्योंकि तब N = 8 = R तो D = 7।
E 6 नहीं हो सकता क्योंकि तब N = 7 = D तो E = 5 और N = 6।
D + E = 12 तो Y = 2।

TO+GO=OUT का एक और उदाहरण (स्रोत अज्ञात है):

${\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}$

दो सबसे बड़ी दो अंकों की संख्याओं का योग 99+99=198 है। तो ओ = 1 और कॉलम 3 में एक कैरी है।
चूंकि कॉलम 1 अन्य सभी कॉलमों के दाईं ओर है, इसलिए इसमें कैरी होना असंभव है। इसलिए 1+1=T, और T=2।
जैसा कि कॉलम 1 की गणना अंतिम चरण में की गई थी, यह ज्ञात है कि कॉलम 2 में कोई कैरी नहीं है। लेकिन, यह भी ज्ञात है कि पहले चरण में कॉलम 3 में एक कैरी है। इसलिए, 2+G≥10। यदि G 9 के बराबर है, तो U 1 के बराबर होगा, लेकिन यह असंभव है क्योंकि O भी 1 के बराबर है। इसलिए केवल G=8 संभव है और 2+8=10+U, U=0 के साथ।

मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग अक्सर मदद करता है। उदाहरण के लिए, मॉड -10 अंकगणित का उपयोग एक अतिरिक्त समस्या के कॉलम को समकालिक समीकरणों के रूप में माना जाता है, जबकि मॉड -2 अंकगणित का उपयोग चर के समता (गणित) के आधार पर अनुमानों की अनुमति देता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, क्रिप्टारिथम क्रूर बल खोज विधि और एल्गोरिदम को स्पष्ट करने के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान करते हैं जो n संभावनाओं से m विकल्पों के सभी क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त ड्यूडेनी पहेली को आठ अक्षरों एस, ई, एन, डी, एम, ओ, आर, वाई के अंक 0 से 9 के बीच आठ मानों के सभी असाइनमेंट का परीक्षण करके 1,814,400 संभावनाएं देकर हल किया जा सकता है। वे कलन विधि डिज़ाइन के बैक ट्रैकिंग प्रतिमान के लिए अच्छे उदाहरण भी प्रदान करते हैं।

अन्य जानकारी

जब मनमाना आधारों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, तो यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्रिप्टारिदम का समाधान एनपी-पूर्ण है या नहीं।^[6] (कठोरता के परिणाम के लिए सामान्यीकरण आवश्यक है क्योंकि आधार 10 में, अक्षरों के लिए अंकों के केवल 10! संभावित असाइनमेंट हैं, और इन्हें रैखिक समय में पहेली के खिलाफ जांचा जा सकता है।)

गूढ़ सुडोकू और तंबाकू से होने वाली बीमारी बनाने के लिए अल्फामेटिक्स को सुडोकू और काकुरो जैसी अन्य नंबर पहेलियों के साथ जोड़ा जा सकता है।

सबसे लंबा अक्षर

एंटोन पावलिस ने 1983 में 41 जोड़ों के साथ एक अल्फ़ामेटिक का निर्माण किया:

तो+कई+अधिक+पुरुष+लगता है+से+कहता है+वह+

वे+हो सकता है+जल्द ही+कोशिश+को+रहने+पर+घर+

SO+AS+TO+SEE+OR+HEAR+THE+SAME+ONE+

आदमी+कोशिश+करना+मिलना+द+टीम+चालू+द+

चंद्रमा+जैसा+वह+है+पर+द+अन्य+दस

= परीक्षण

(जवाब है कि MANYOTHERS=2764195083.)^[7]

यह भी देखें

डायोफैंटाइन समीकरण
गणितीय पहेलियाँ
क्रमपरिवर्तन
पहेलि
वेसाइड स्कूल से बग़ल में अंकगणित - एक किताब जिसका प्लॉट इन पहेलियों के इर्द-गिर्द घूमता है
बीज लेख

संदर्भ

↑ H. E. Dudeney, in Strand Magazine vol. 68 (July 1924), pp. 97 and 214.
↑ "नंबर 109 गणितीय पहेली". American Agriculturist. Vol. 23, no. 12. December 1864. p. 349.
↑ Maurice Kraitchik, Mathematical Recreations (1953), pp. 79-80.
↑ J. A. H. Hunter, in the Toronto Globe and Mail (27 October 1955), p. 27.
↑ Feynman, Richard P. (August 2008). बीटन ट्रैक से पूरी तरह से उचित विचलन: रिचर्ड पी। फेनमैन के पत्र. ISBN 9780786722426.
↑ David Eppstein (1987). "क्रिप्टैरिदम की एनपी-पूर्णता पर" (PDF). SIGACT News. 18 (3): 38–40. doi:10.1145/24658.24662. S2CID 2814715.
↑ Pavlis, Anton. "गणितीय क्रॉस" (PDF). Canadian Mathematical Society. Canadian Mathematical Society. p. 115. Retrieved 14 December 2016.

Martin Gardner, Mathematics, Magic, and Mystery. Dover (1956)
Journal of Recreational Mathematics, had a regular alphametics column.
Jack van der Elsen, Alphametics. Maastricht (1998)
Kahan S., Have some sums to solve: The complete alphametics book, Baywood Publishing, (1978)
Brooke M. One Hundred & Fifty Puzzles in Crypt-Arithmetic. New York: Dover, (1963)
Hitesh Tikamchand Jain, ABC of Cryptarithmetic/Alphametics. India(2017)

बाहरी संबंध

अल्फामेटिक्स सॉल्वर

श्रेणी:तर्क पहेलियाँ

[1] H. E. Dudeney, in Strand Magazine vol. 68 (July 1924), pp. 97 and 214.

[agriculturist-2] "नंबर 109 गणितीय पहेली". American Agriculturist. Vol. 23, no. 12. December 1864. p. 349.

[3] Maurice Kraitchik, Mathematical Recreations (1953), pp. 79-80.

[4] J. A. H. Hunter, in the Toronto Globe and Mail (27 October 1955), p. 27.

[5] Feynman, Richard P. (August 2008). बीटन ट्रैक से पूरी तरह से उचित विचलन: रिचर्ड पी। फेनमैन के पत्र. ISBN 9780786722426.

[6] David Eppstein (1987). "क्रिप्टैरिदम की एनपी-पूर्णता पर" (PDF). SIGACT News. 18 (3): 38–40. doi:10.1145/24658.24662. S2CID 2814715.

[7] Pavlis, Anton. "गणितीय क्रॉस" (PDF). Canadian Mathematical Society. Canadian Mathematical Society. p. 115. Retrieved 14 December 2016.

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