रिज का पता लगाना

For other features called ridges, see Ridge (disambiguation).

छवि प्रसंस्करण में, चोटी का पता लगाना, सॉफ्टवेयर के माध्यम से, एक छवि में लकीरों का पता लगाने का प्रयास है, जिसे वक्र के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके बिंदु भौगोलिक लकीरों के समान, फ़ंक्शन की स्थानीय अधिकतमता हैं।

एन वेरिएबल्स के एक फ़ंक्शन के लिए, इसकी लकीरें वक्रों का एक सेट हैं जिनके बिंदु एन - 1 आयाम में स्थानीय मैक्सिमा हैं। इस संबंध में, रिज बिंदुओं की धारणा मैक्सिमा और मिनिमा की अवधारणा का विस्तार करती है। तदनुसार, किसी फ़ंक्शन के लिए घाटियों की धारणा को स्थानीय न्यूनतम की स्थिति के साथ स्थानीय अधिकतम की स्थिति को प्रतिस्थापित करके परिभाषित किया जा सकता है। रिज सेट और वैली सेट का मिलन, संबंधित बिंदुओं के सेट के साथ, जिसे कनेक्टर सेट कहा जाता है, वक्रों का एक जुड़ा हुआ सेट बनाता है जो विभाजन, प्रतिच्छेद करता है, या फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर मिलता है। सेटों के इस मिलन को फ़ंक्शन का सापेक्ष क्रिटिकल सेट कहा जाता है। रिज सेट, वैली सेट और सापेक्ष महत्वपूर्ण सेट किसी फ़ंक्शन के लिए महत्वपूर्ण ज्यामितीय जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक तरह से, वे फ़ंक्शन की महत्वपूर्ण विशेषताओं का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, लेकिन फ़ंक्शन की वैश्विक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग किस हद तक किया जा सकता है यह एक खुला प्रश्न है। रिज डिटेक्शन और वैली डिटेक्शन प्रक्रियाओं के निर्माण के लिए प्राथमिक प्रेरणा छवि विश्लेषण और कंप्यूटर दृष्टि से आई है और छवि डोमेन में लम्बी वस्तुओं के आंतरिक भाग को कैप्चर करना है। छवि विभाजन के लिए वाटरशेड (एल्गोरिदम) के संदर्भ में रिज-संबंधित प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया है। ग्राफ-आधारित अभ्यावेदन द्वारा वस्तुओं के आकार को पकड़ने का भी प्रयास किया गया है जो छवि डोमेन में लकीरें, घाटियों और महत्वपूर्ण बिंदुओं को दर्शाता है। हालाँकि, ऐसे अभ्यावेदन अत्यधिक शोर के प्रति संवेदनशील हो सकते हैं यदि उनकी गणना केवल एक ही पैमाने पर की जाए। क्योंकि स्केल-स्पेस सिद्धांत संबंधी गणनाओं में गाऊसी (स्मूथिंग) कर्नेल के साथ कनवल्शन शामिल है, यह आशा की गई है कि स्केल स्पेस सिद्धांत के संदर्भ में मल्टी-स्केल रिज, घाटियों और महत्वपूर्ण बिंदुओं के उपयोग से वस्तुओं (या) के अधिक मजबूत प्रतिनिधित्व की अनुमति मिलनी चाहिए आकृतियाँ) छवि में।

इस संबंध में, चोटियों और घाटियों को प्राकृतिक रुचि बिंदु का पता लगाने या स्थानीय चरम बिंदुओं के पूरक के रूप में देखा जा सकता है। उचित रूप से परिभाषित अवधारणाओं के साथ, तीव्रता परिदृश्य में लकीरें और घाटियाँ (या तीव्रता परिदृश्य से प्राप्त कुछ अन्य प्रतिनिधित्व में) स्थानीय उपस्थिति पर स्थानिक बाधाओं को व्यवस्थित करने के लिए एक पैमाने पर अपरिवर्तनीय टोपोलॉजिकल कंकाल का निर्माण कर सकती हैं, जिसमें ब्लम के तरीके में कई गुणात्मक समानताएं हैं। औसत दर्जे का अक्ष द्विआधारी छवियों के लिए एक आकार कंकाल प्रदान करता है। विशिष्ट अनुप्रयोगों में, रिज और वैली डिस्क्रिप्टर का उपयोग अक्सर हवाई फोटोग्राफी में सड़कों का पता लगाने और फंडस फोटोग्राफी या त्रि-आयामी चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग में रक्त वाहिकाओं का पता लगाने के लिए किया जाता है।

द्वि-आयामी छवि में एक निश्चित पैमाने पर कटक और घाटियों की विभेदक ज्यामितीय परिभाषा

होने देना $f(x,y)$ एक द्वि-आयामी फ़ंक्शन को निरूपित करें, और दें $L$ स्केल स्पेस|स्केल-स्पेस प्रतिनिधित्व हो $f(x,y)$ संघटित करके प्राप्त किया गया $f(x,y)$ गाऊसी फ़ंक्शन के साथ

$g(x,y,t)={\frac {1}{2\pi t}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2t}$.

इसके अलावा, चलो $L_{pp}$ और $L_{qq}$ हेस्सियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​को निरूपित करें

$H={\begin{bmatrix}L_{xx}&L_{xy}\\L_{xy}&L_{yy}\end{bmatrix}}$

स्केल स्पेस का|स्केल-स्पेस प्रतिनिधित्व $L$ स्थानीय दिशात्मक व्युत्पन्न ऑपरेटरों पर लागू एक समन्वय परिवर्तन (एक रोटेशन) के साथ,

$\partial _{p}=\sin \beta \partial _{x}-\cos \beta \partial _{y},\partial _{q}=\cos \beta \partial _{x}+\sin \beta \partial _{y}$

जहाँ p और q घुमाए गए समन्वय प्रणाली के निर्देशांक हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि मिश्रित व्युत्पन्न $L_{pq}$ यदि हम चुनते हैं तो परिवर्तित समन्वय प्रणाली में शून्य है

$\cos \beta ={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {L_{xx}-L_{yy}}{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}}\right)}}$,$\sin \beta =\operatorname {sgn}(L_{xy}){\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {L_{xx}-L_{yy}}{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}}\right)}}$.

फिर, की चोटियों की एक औपचारिक विभेदक ज्यामितीय परिभाषा $f(x,y)$ एक निश्चित पैमाने पर $t$ संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$L_{p}=0,L_{pp}\leq 0,|L_{pp}|\geq |L_{qq}|.$

तदनुसार, की घाटियाँ $f(x,y)$ पैमाने पर $t$ बिंदुओं का समूह हैं

$L_{q}=0,L_{qq}\geq 0,|L_{qq}|\geq |L_{pp}|.$

ए के संदर्भ में $(u,v)$ के साथ समन्वय प्रणाली $v$ छवि ढाल के समानांतर दिशा

$\partial _{u}=\sin \alpha \partial _{x}-\cos \alpha \partial _{y},\partial _{v}=\cos \alpha \partial _{x}+\sin \alpha \partial _{y}$

कहाँ

$\cos \alpha ={\frac {L_{x}}{\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}},\sin \alpha ={\frac {L_{y}}{\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}$

यह दिखाया जा सकता है कि यह कटक और घाटी की परिभाषा समकक्ष हो सकती है के रूप में लिखा जाए

$L_{uv}=0,L_{uu}^{2}-L_{vv}^{2}\geq 0$

कहाँ

$L_{v}^{2}L_{uu}=L_{x}^{2}L_{yy}-2L_{x}L_{y}L_{xy}+L_{y}^{2}L_{xx},$

$L_{v}^{2}L_{uv}=L_{x}L_{y}(L_{xx}-L_{yy})-(L_{x}^{2}-L_{y}^{2})L_{xy},$

$L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}L_{xx}+2L_{x}L_{y}L_{xy}+L_{y}^{2}L_{yy}$

और का संकेत $L_{uu}$ ध्रुवता निर्धारित करता है; $L_{uu}<0$ लकीरों के लिए और $L_{uu}>0$ घाटियों के लिए.

द्वि-आयामी छवियों से चर पैमाने की लकीरों की गणना

ऊपर प्रस्तुत निश्चित स्केल रिज परिभाषा के साथ एक मुख्य समस्या यह है कि यह स्केल स्तर की पसंद के प्रति बहुत संवेदनशील हो सकती है। प्रयोगों से पता चलता है कि गॉसियन प्री-स्मूथिंग कर्नेल के स्केल पैरामीटर को छवि डोमेन में रिज संरचना की चौड़ाई के अनुसार सावधानीपूर्वक ट्यून किया जाना चाहिए, ताकि रिज डिटेक्टर अंतर्निहित छवि संरचनाओं को दर्शाते हुए एक कनेक्टेड वक्र उत्पन्न कर सके। पूर्व सूचना के अभाव में इस समस्या से निपटने के लिए, स्केल-स्पेस रिज की धारणा पेश की गई है, जो स्केल पैरामीटर को रिज परिभाषा की अंतर्निहित संपत्ति के रूप में मानता है और स्केल स्तर को स्केल-स्पेस रिज के साथ भिन्न होने की अनुमति देता है। इसके अलावा, स्केल-स्पेस रिज की अवधारणा भी स्केल पैरामीटर को छवि डोमेन में रिज संरचनाओं की चौड़ाई के लिए स्वचालित रूप से ट्यून करने की अनुमति देती है, वास्तव में एक अच्छी तरह से बताई गई परिभाषा के परिणामस्वरूप। साहित्य में, इस विचार के आधार पर कई अलग-अलग दृष्टिकोण प्रस्तावित किए गए हैं।

होने देना $R(x,y,t)$ रिज की ताकत का एक माप निरूपित करें (नीचे निर्दिष्ट किया जाएगा)। फिर, एक द्वि-आयामी छवि के लिए, स्केल-स्पेस रिज उन बिंदुओं का समूह है जो संतुष्ट करते हैं

$L_{p}=0,L_{pp}\leq 0,\partial _{t}(R)=0,\partial _{tt}(R)\leq 0,$

कहाँ $t$ स्केल स्पेस|स्केल-स्पेस प्रतिनिधित्व में स्केल पैरामीटर है। इसी प्रकार, स्केल-स्पेस वैली उन बिंदुओं का समूह है जो संतुष्ट करते हैं

$L_{q}=0,L_{qq}\geq 0,\partial _{t}(R)=0,\partial _{tt}(R)\leq 0.$

इस परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि एक द्वि-आयामी छवि के लिए स्केल-स्पेस रिज की अवधारणा त्रि-आयामी स्केल-स्पेस में एक-आयामी वक्रों के एक सेट को स्वीप करती है, जहां स्केल पैरामीटर को स्केल के साथ भिन्न होने की अनुमति होती है -स्पेस रिज (या स्केल-स्पेस वैली)। छवि डोमेन में रिज डिस्क्रिप्टर तब इस त्रि-आयामी वक्र का दो-आयामी छवि विमान में प्रक्षेपण होगा, जहां प्रत्येक रिज बिंदु पर विशेषता पैमाने की जानकारी का उपयोग रिज संरचना की चौड़ाई के प्राकृतिक अनुमान के रूप में किया जा सकता है। उस बिंदु के पड़ोस में छवि डोमेन।

साहित्य में, रिज ताकत के विभिन्न उपाय प्रस्तावित किए गए हैं। जब लिंडेबर्ग (1996, 1998) स्केल-स्पेस रिज शब्द गढ़ते समय, उन्होंने रिज की ताकत के तीन उपायों पर विचार किया:

• मुख्य प्रधान वक्रता

$L_{pp,\gamma -norm}={\frac {t^{\gamma }}{2}}\left(L_{xx}+L_{yy}-{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}\right)$

के संदर्भ में व्यक्त किया गया$\gamma$-सामान्यीकृत डेरिवेटिव के साथ

$\partial _{\xi }=t^{\gamma /2}\partial _{x},\partial _{\eta }=t^{\gamma /2}\partial _{y}$.

• का वर्ग $\gamma$-सामान्यीकृत वर्ग eigenvalue अंतर

$N_{\gamma -norm}=\left(L_{pp,\gamma -norm}^{2}-L_{qq,\gamma -norm}^{2}\right)^{2}=t^{4\gamma }(L_{xx}+L_{yy})^{2}\left((L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}\right).$

• का वर्ग $\gamma$-सामान्यीकृत eigenvalue अंतर

$A_{\gamma -norm}=\left(L_{pp,\gamma -norm}-L_{qq,\gamma -norm}\right)^{2}=t^{2\gamma }\left((L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}\right).$

की अवधारणा $\gamma$-सामान्यीकृत डेरिवेटिव यहां आवश्यक है, क्योंकि यह रिज और वैली डिटेक्टर एल्गोरिदम को ठीक से कैलिब्रेट करने की अनुमति देता है। यह आवश्यक करते हुए कि दो (या तीन आयामों) में एम्बेडेड एक-आयामी गॉसियन रिज के लिए डिटेक्शन स्केल लंबाई की इकाइयों में मापा जाने पर रिज संरचना की चौड़ाई के बराबर होना चाहिए (डिटेक्शन फ़िल्टर के आकार के बीच एक मिलान की आवश्यकता) और जिस छवि संरचना पर यह प्रतिक्रिया करता है), यह इस प्रकार है कि किसी को चुनना चाहिए $\gamma =3/4$. रिज ताकत के इन तीन मापों में से, पहली इकाई $L_{pp,\gamma -norm}$ रक्त वाहिका का पता लगाने और सड़क निष्कर्षण जैसे कई अनुप्रयोगों के साथ एक सामान्य प्रयोजन रिज ताकत माप है। फिर भी, इकाई $A_{\gamma -norm}$ फिंगरप्रिंट एन्हांसमेंट जैसे अनुप्रयोगों में उपयोग किया गया है, वास्तविक समय में हाथ हाथ से ट्रैकिंग और हावभाव की पहचान साथ ही छवियों और वीडियो में मनुष्यों का पता लगाने और उन्हें ट्रैक करने के लिए स्थानीय छवि आँकड़ों के मॉडलिंग के लिए भी। अन्य निकट संबंधी रिज परिभाषाएँ भी हैं जो अंतर्निहित धारणा के साथ सामान्यीकृत डेरिवेटिव का उपयोग करती हैं $\gamma =1$. इन दृष्टिकोणों को और अधिक विस्तार से विकसित करें। जब लकीरों का पता चलता है $\gamma =1$हालाँकि, पता लगाने का पैमाना पहले से दोगुना बड़ा होगा $\gamma =3/4$, जिसके परिणामस्वरूप अधिक आकार विकृतियाँ होती हैं और छवि डोमेन में आस-पास की हस्तक्षेप करने वाली छवि संरचनाओं के साथ लकीरें और घाटियों को पकड़ने की कम क्षमता होती है।

इतिहास

डिजिटल छवियों में चोटियों और घाटियों की धारणा 1983 में हरलिक द्वारा पेश की गई थी और क्रॉली द्वारा 1984 में गॉसियन पिरामिड (छवि प्रसंस्करण) के अंतर के बारे में। चिकित्सा छवि विश्लेषण के लिए रिज डिस्क्रिप्टर के अनुप्रयोग का पाइज़र और उनके सहकर्मियों द्वारा बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है जिसके परिणामस्वरूप एम-रेप्स की उनकी धारणा बनी। लिंडेबर्ग द्वारा रिज डिटेक्शन को भी आगे बढ़ाया गया है $\gamma$-स्पेस और ओवर स्केल पर हेसियन मैट्रिक्स (या रिज ताकत के अन्य उपाय) के उचित रूप से सामान्यीकृत मुख्य प्रिंसिपल वक्रता के स्थानीय अधिकतमकरण से परिभाषित सामान्यीकृत डेरिवेटिव और स्केल-स्पेस रिज। इन धारणाओं को बाद में स्टीगर एट अल द्वारा सड़क निष्कर्षण के अनुप्रयोग के साथ विकसित किया गया है। और फ्रैंगी एट अल द्वारा रक्त वाहिका विभाजन। साथ ही सातो एट अल द्वारा घुमावदार और ट्यूबलर संरचनाओं का पता लगाना। और क्रिसियन एट अल। कोएन्डरिंक और वैन डोर्न द्वारा उनके बीच संबंधों सहित एक निश्चित पैमाने पर कई शास्त्रीय रिज परिभाषाओं की समीक्षा दी गई है। किर्बास और क्यूक द्वारा पोत निष्कर्षण तकनीकों की समीक्षा प्रस्तुत की गई है।

एन आयामों में कटक और घाटियों की परिभाषा

अपने व्यापक अर्थ में, रिज की धारणा एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के स्थानीय अधिकतम के विचार को सामान्यीकृत करती है। एक बिंदु $\mathbf {x} _{0}$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन में $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ यदि दूरी है तो फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम है $\delta >0$ संपत्ति के साथ यदि $\mathbf {x}$ भीतर है $\delta$ की इकाइयाँ $\mathbf {x} _{0}$, तब $f(\mathbf {x} )<f(\mathbf {x} _{0})$. यह सर्वविदित है कि महत्वपूर्ण बिंदु, जिनमें से स्थानीय मैक्सिमा सिर्फ एक प्रकार है, किसी फ़ंक्शन के डोमेन में सबसे असामान्य स्थितियों (यानी, गैर-सामान्य मामलों) को छोड़कर सभी में अलग-अलग बिंदु होते हैं।

उस स्थिति में ढील देने पर विचार करें $f(\mathbf {x} )<f(\mathbf {x} _{0})$ के लिए $\mathbf {x}$ के एक पूरे पड़ोस में $\mathbf {x} _{0}$ केवल यह आवश्यक है कि यह एक पर टिके रहे $n-1$ आयामी उपसमुच्चय. संभवतः यह छूट उन बिंदुओं के सेट को अनुमति देती है जो मानदंडों को पूरा करते हैं, जिन्हें हम रिज कहेंगे, कम से कम सामान्य मामले में, एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। इसका मतलब यह है कि रिज बिंदुओं का सेट 1-आयामी लोकस या रिज वक्र बनाएगा। ध्यान दें कि उपरोक्त विचार को स्थानीय मिनीमा में सामान्यीकृत करने के लिए संशोधित किया जा सकता है और इसके परिणामस्वरूप 1-आयामी घाटी वक्र कहा जा सकता है।

यह निम्नलिखित रिज परिभाषा एबर्ली की पुस्तक का अनुसरण करती है और इसे उपर्युक्त रिज परिभाषाओं में से कुछ के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। होने देना $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ एक खुला सेट हो, और $f:U\rightarrow \mathbb {R}$ सहज रहें. होने देना $\mathbf {x} _{0}\in U$. होने देना $\nabla _{\mathbf {x} _{0}}f$ की ढाल हो $f$ पर $\mathbf {x} _{0}$, और जाने $H_{\mathbf {x} _{0}}(f)$ हो $n\times n$ हेस्सियन मैट्रिक्स का $f$ पर $\mathbf {x} _{0}$. होने देना $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}$ हो $n$ के eigenvalues ​​​​का आदेश दिया $H_{\mathbf {x} _{0}}(f)$ और जाने $\mathbf {e} _{i}$ के लिए eigenspace में एक इकाई eigenvector बनें $\lambda _{i}$. (इसके लिए, किसी को यह मान लेना चाहिए कि सभी eigenvalues ​​​​अलग-अलग हैं।)

बिंदु $\mathbf {x} _{0}$ के 1-आयामी कटक पर एक बिंदु है $f$ यदि निम्नलिखित शर्तें लागू हों:

1. $\lambda _{n-1}<0$, और
2. $\nabla _{\mathbf {x} _{0}}f\cdot \mathbf {e} _{i}=0$ के लिए $i=1,2,\ldots ,n-1$.

इससे यह अवधारणा स्पष्ट हो जाती है कि $f$ इस विशेष तक ही सीमित है $n-1$-आयामी उप-स्थान पर स्थानीय अधिकतम होता है $\mathbf {x} _{0}$.

यह परिभाषा स्वाभाविक रूप से k-आयामी रिज को निम्नानुसार सामान्यीकृत करती है: बिंदु $\mathbf {x} _{0}$ के-आयामी कटक पर एक बिंदु है $f$ यदि निम्नलिखित शर्तें लागू हों:

1. $\lambda _{n-k}<0$, और
2. $\nabla _{\mathbf {x} _{0}}f\cdot \mathbf {e} _{i}=0$ के लिए $i=1,2,\ldots ,n-k$.

कई मायनों में, ये परिभाषाएँ स्वाभाविक रूप से किसी फ़ंक्शन के स्थानीय अधिकतम का सामान्यीकरण करती हैं। डेमन द्वारा अधिकतम उत्तलता कटकों के गुणों को एक ठोस गणितीय आधार पर रखा गया हैऔर मिलर. एक-पैरामीटर परिवारों में उनकी संपत्ति केलर द्वारा स्थापित की गई थी।

अधिकतम स्केल रिज

निम्नलिखित परिभाषा का पता फ्रिट्च से लगाया जा सकता है जो द्वि-आयामी ग्रेस्केल छवियों में आकृतियों के बारे में ज्यामितीय जानकारी निकालने में रुचि रखते थे। फ्रिट्च ने अपनी छवि को एक मीडियलनेस फिल्टर के साथ फ़िल्टर किया, जिससे उन्हें स्केल-स्पेस में सीमा से दूर के डेटा के अनुरूप जानकारी मिली। इस छवि के उभार, एक बार मूल छवि पर प्रक्षेपित होने के बाद, मूल छवि के आकार के कंकाल (उदाहरण के लिए, औसत दर्जे का अक्ष) के अनुरूप होंगे।

निम्नलिखित तीन चर वाले फ़ंक्शन के अधिकतम स्केल रिज की परिभाषा है, जिनमें से एक स्केल पैरामीटर है। एक बात जो हम इस परिभाषा में सत्य होना चाहते हैं, वह है, यदि $(\mathbf {x} ,\sigma )$ इस रिज पर एक बिंदु है, तो बिंदु पर फ़ंक्शन का मान स्केल आयाम में अधिकतम है। होने देना $f(\mathbf {x} ,\sigma )$ एक सुचारु रूप से भिन्न कार्य करें $U\subset \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}$. $(\mathbf {x} ,\sigma )$ h> अधिकतम स्केल रिज पर एक बिंदु है यदि और केवल यदि

1. ${\frac {\partial f}{\partial \sigma }}=0$ और ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}<0$, और
2. $\nabla f\cdot \mathbf {e} _{1}=0$ और $\mathbf {e} _{1}^{t}H(f)\mathbf {e} _{1}<0$.

एज डिटेक्शन और रिज डिटेक्शन के बीच संबंध

रिज का पता लगाने का उद्देश्य आमतौर पर एक लम्बी वस्तु की समरूपता के प्रमुख अक्ष को पकड़ना है, जबकि किनारे का पता लगाना का उद्देश्य आमतौर पर ऑब्जेक्ट की सीमा को पकड़ना होता है। हालाँकि, किनारे का पता लगाने पर कुछ साहित्य ग़लत है किनारों की अवधारणा में कटक की धारणा शामिल है, जो स्थिति को भ्रमित करती है।

परिभाषाओं के संदर्भ में, एज डिटेक्टरों और रिज डिटेक्टरों के बीच घनिष्ठ संबंध है। कैनी द्वारा दिए गए गैर-अधिकतम के सूत्रीकरण के साथ, यह मानता है कि किनारों को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया गया है जहां ढाल परिमाण ढाल दिशा में एक स्थानीय अधिकतम मानता है। इस परिभाषा को व्यक्त करने के एक विभेदक ज्यामितीय तरीके का अनुसरण करते हुए, हम उपर्युक्त में कर सकते हैं $(u,v)$-समन्वय प्रणाली बताती है कि स्केल-स्पेस प्रतिनिधित्व का ढाल परिमाण, जो कि पहले क्रम के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है $v$-दिशा $L_{v}$, में इसका पहला क्रम दिशात्मक व्युत्पन्न होना चाहिए $v$-दिशा शून्य के बराबर

$\partial _{v}(L_{v})=0$ जबकि दूसरे क्रम के दिशात्मक व्युत्पन्न $v$-की दिशा $L_{v}$ नकारात्मक होना चाहिए, यानी,

$\partial _{vv}(L_{v})\leq 0$.

स्थानीय आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक स्पष्ट अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया $L_{x}$, $L_{y}$ ... $L_{yyy}$, इस किनारे की परिभाषा को अंतर अपरिवर्तनीय के शून्य-क्रॉसिंग वक्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0,$

जो निम्नलिखित अंतर अपरिवर्तनीय पर एक संकेत-शर्त को संतुष्ट करता है

$L_{v}^{3}L_{vvv}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}\leq 0$

(अधिक जानकारी के लिए एज डिटेक्शन पर आलेख देखें)। विशेष रूप से, इस तरह से प्राप्त किनारे ढाल परिमाण की लकीरें हैं।

यह भी देखें

• बूँद का पता लगाना
• कंप्यूटर दृष्टि
• किनारे का पता लगाना
• फ़ीचर डिटेक्शन (कंप्यूटर विज़न)
• रुचि बिंदु का पता लगाना
• स्केल स्पेस