रूढ़िवादी प्रणाली

गणित में, एक रूढ़िवादी प्रणाली एक गतिशील प्रणाली है जो एक विघटनकारी प्रणाली के विपरीत होती है। मोटे तौर पर कहें तो, ऐसी प्रणालियों में गतिशीलता को नष्ट करने के लिए कोई घर्षण या अन्य तंत्र नहीं होता है, और इस प्रकार, उनका चरण स्थान समय के साथ सिकुड़ता नहीं है। सटीक रूप से कहें तो, वे वे गतिशील प्रणालियाँ हैं जिनमें एक अशक्त भटकन सेट है: समय विकास के तहत, चरण स्थान का कोई भी हिस्सा कभी भी भटकता नहीं है, कभी भी वापस नहीं लौटाया जाता है या दोबारा नहीं देखा जाता है। वैकल्पिक रूप से, रूढ़िवादी प्रणालियाँ वे हैं जिन पर पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय लागू होता है। रूढ़िवादी प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हैं।

अनौपचारिक परिचय

अनौपचारिक रूप से, गतिशील प्रणालियाँ कुछ यांत्रिक प्रणालियों के चरण स्थान के समय विकास का वर्णन करती हैं। आम तौर पर, ऐसा विकास कुछ अंतर समीकरणों द्वारा, या अक्सर अलग-अलग समय चरणों के संदर्भ में दिया जाता है। हालाँकि, वर्तमान मामले में, अलग-अलग बिंदुओं के समय विकास पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय, व्यक्ति बिंदुओं के संग्रह के समय विकास पर ध्यान केंद्रित करता है। ऐसा ही एक उदाहरण शनि के छल्ले होंगे: छल्लों में रेत के अलग-अलग कणों के समय के विकास पर नज़र रखने के बजाय, किसी को छल्लों के घनत्व के समय के विकास में रुचि है: घनत्व कैसे पतला होता है, फैलता है, या केंद्रित होता है। कम समय-पैमानों (सैकड़ों हजारों वर्षों) में, शनि के छल्ले स्थिर हैं, और इस प्रकार एक रूढ़िवादी प्रणाली और अधिक सटीक रूप से, एक माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का एक उचित उदाहरण हैं। यह माप-संरक्षण है, क्योंकि रिंगों में कणों की संख्या नहीं बदलती है, और, न्यूटोनियन कक्षीय यांत्रिकी के अनुसार, चरण स्थान असम्पीडित है: इसे बढ़ाया या निचोड़ा जा सकता है, लेकिन सिकुड़ा नहीं जा सकता है (यह लिउविल के प्रमेय की सामग्री है) हैमिल्टनियन)|लिउविले का प्रमेय)।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक मापने योग्य गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है यदि और केवल यदि यह गैर-एकवचन है, और इसमें कोई भटकने वाला सेट नहीं है। एक मापने योग्य गतिशील प्रणाली (एक्स, Σ, μ, τ) एक मापने योग्य स्थान (एक्स, Σ) है जो सिग्मा-परिमित माप μ और एक परिवर्तन τ से सुसज्जित है। यहां, एक्स एक सेट (गणित) है, और Σ एक्स पर एक सिग्मा-बीजगणित है, ताकि जोड़ी (एक्स, Σ) एक मापने योग्य स्थान हो। μ सिग्मा-बीजगणित पर एक सिग्मा-परिमित माप (गणित) है। स्पेस एक्स डायनेमिक सिस्टम का चरण स्पेस है।

एक परिवर्तन (एक नक्शा) $\tau :X\to X$ इसे मापने योग्य फलन कहा जाता है|Σ-मापने योग्य यदि और केवल यदि, प्रत्येक σ ∈ Σ के लिए, किसी के पास $\tau ^{-1}\sigma \in \Sigma$. परिवर्तन गतिशील प्रणाली के विकास में एक एकल समय-चरण है। किसी को उलटे परिवर्तनों में रुचि है, ताकि गतिशील प्रणाली की वर्तमान स्थिति एक अच्छी तरह से परिभाषित अतीत की स्थिति से आए।

एक मापने योग्य परिवर्तन $\tau :X\to X$ गैर-एकवचन कहा जाता है जब $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ अगर और केवल अगर $\mu (\sigma )=0$. इस मामले में, सिस्टम (X, Σ, μ, τ) को 'नॉन-सिंगुलर डायनेमिक सिस्टम' कहा जाता है। मॉडलिंग (गैर-संतुलन) प्रणालियों के लिए उपयुक्त होने के लिए एक गतिशील प्रणाली के लिए गैर-एकवचन होने की स्थिति आवश्यक है। अर्थात्, यदि सिस्टम का एक निश्चित विन्यास असंभव है (अर्थात $\mu (\sigma )=0$) तो यह असंभव ही रहना चाहिए (हमेशा असंभव था: $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$), लेकिन अन्यथा, सिस्टम मनमाने ढंग से विकसित हो सकता है। गैर-एकवचन प्रणालियाँ नगण्य सेटों को संरक्षित करती हैं, लेकिन उन्हें किसी अन्य वर्ग के सेटों को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है। यहाँ एकवचन शब्द का अर्थ वही है जो एकवचन माप की परिभाषा में है, जिसका कोई भाग नहीं है $\mu$ के संबंध में विलक्षण है $\mu \circ \tau ^{-1}$ और इसके विपरीत।

जिसके लिए एक गैर-विलक्षण गतिशील प्रणाली $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ इसे अपरिवर्तनीय, या, अधिक सामान्यतः, एक माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली कहा जाता है।

यदि प्रत्येक सेट के लिए एक गैर-एकवचन गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है $\sigma \in \Sigma$ सकारात्मक माप का और प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N}$, किसी के पास कुछ पूर्णांक है $p>n$ ऐसा है कि $\mu (\sigma \cap \tau ^{-p}\sigma )>0$. अनौपचारिक रूप से, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि सिस्टम की वर्तमान स्थिति फिर से आती है या मनमाने ढंग से पूर्व स्थिति के करीब आती है; अधिक जानकारी के लिए पोंकारे पुनरावृत्ति देखें।

एक गैर विलक्षण परिवर्तन $\tau :X\to X$ यदि, जब भी किसी के पास हो तो यह असम्पीडित है $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$, तब $\mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0$.

गुण

एक गैर-विलक्षण परिवर्तन के लिए $\tau :X\to X$, निम्न कथन समतुल्य हैं:

• τ रूढ़िवादी है.
• τ असंपीड्य है.
• τ का प्रत्येक भटकता हुआ सेट शून्य है।
• सकारात्मक माप के सभी सेटों के लिए, ${\textstyle \mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$.

उपरोक्त का तात्पर्य यह है कि, यदि $\mu (X)<\infty$ और $\tau$ माप-संरक्षण है, तो गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है। यह प्रभावी रूप से पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय का आधुनिक कथन है। इन चार गुणों की तुल्यता के प्रमाण का एक स्केच हॉपफ अपघटन#पुनरावृत्ति प्रमेय पर लेख में दिया गया है।

लगता है कि $\mu (X)<\infty$ और $\tau$ माप-संरक्षण है. होने देना $A$ का एक घुमंतू समूह हो $\tau$. भटकने वाले सेटों की परिभाषा के अनुसार और तब से $\tau$ बरकरार रखता है $\mu$, $X$ इस प्रकार जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक अनगिनत अनंत संघ शामिल होगा जो समान हैं $\mu$-के रूप में मापें $A$. चूँकि यह मान लिया गया था $\mu (X)<\infty$, यह इस प्रकार है कि $A$ एक शून्य सेट है, और इसलिए सभी भटकने वाले सेट शून्य सेट होने चाहिए।

यह तर्क सबसे सरल उदाहरणों के लिए भी विफल रहता है $\mu (X)=\infty$. वास्तव में, उदाहरण के लिए विचार करें $(X,{\mathcal {A}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )$, कहाँ $\lambda$ लेब्सग्यू माप को दर्शाता है, और शिफ्ट ऑपरेटर पर विचार करें $\tau :X\to X,x\mapsto x+1$. चूँकि लेबेस्ग माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, $\tau$ माप-संरक्षण है. तथापि, $(X,{\mathcal {A}},\mu ,\tau )$ रूढ़िवादी नहीं है. वास्तव में, लंबाई का प्रत्येक अंतराल सख्ती से कम है $1$ में निहित $X$ भटक रहा है. विशेष रूप से, $X$ भटकते समुच्चयों के गणनीय संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

हॉप्फ़ अपघटन

Main article: Hopf decomposition

हॉपफ अपघटन बताता है कि गैर-एकवचन परिवर्तन वाले प्रत्येक माप स्थान को एक अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी सेट और एक भटकने वाले (विघटनकारी) सेट में विघटित किया जा सकता है। हॉपफ अपघटन का एक सामान्य अनौपचारिक उदाहरण दो तरल पदार्थों का मिश्रण (गणित) है (कुछ पाठ्यपुस्तकों में रम और कोक का उल्लेख है): प्रारंभिक अवस्था, जहां दो तरल पदार्थ अभी तक मिश्रित नहीं हुए हैं, मिश्रण के बाद कभी भी दोबारा नहीं हो सकते हैं; यह विघटनकारी सेट का हिस्सा है। इसी तरह आंशिक रूप से मिश्रित राज्यों में से कोई भी। मिश्रण के बाद परिणाम (विहित उदाहरण में एक मुफ़्त क्यूबा ), स्थिर होता है, और रूढ़िवादी सेट बनाता है; आगे मिलाने से इसमें कोई बदलाव नहीं आता। इस उदाहरण में, रूढ़िवादी सेट भी एर्गोडिक है: यदि कोई तरल की एक और बूंद (जैसे, नींबू का रस) जोड़ता है, तो यह एक जगह पर नहीं रहेगा, बल्कि हर जगह मिल जाएगा। इस उदाहरण के बारे में सावधानी का एक शब्द: हालांकि मिक्सिंग सिस्टम एर्गोडिक हैं, सामान्य मिक्सिंग सिस्टम में एर्गोडिक सिस्टम नहीं हैं! मिश्रण से तात्पर्य ऐसी अंतःक्रिया से है जो अस्तित्व में नहीं हो सकती। एक एर्गोडिक प्रणाली का विहित उदाहरण जो मिश्रण नहीं करता है वह बर्नौली प्रक्रिया है: यह सिक्का फ्लिप के सभी संभावित अनंत अनुक्रमों का सेट है (समकक्ष, सेट $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ शून्य और इकाई की अनंत श्रृंखलाओं की); प्रत्येक व्यक्तिगत सिक्का फ्लिप दूसरों से स्वतंत्र है।

एर्गोडिक अपघटन

एर्गोडिक अपघटन प्रमेय मोटे तौर पर बताता है कि प्रत्येक रूढ़िवादी प्रणाली को घटकों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक घटक व्यक्तिगत रूप से एर्गोडिक प्रणाली है। इसका एक अनौपचारिक उदाहरण एक टब होगा, जिसके बीच में एक विभाजक होगा, जिसके प्रत्येक डिब्बे में तरल पदार्थ भरा होगा। एक तरफ का तरल स्पष्ट रूप से आपस में मिल सकता है, और दूसरी तरफ भी, लेकिन, विभाजन के कारण, दोनों तरफ बातचीत नहीं हो सकती है। स्पष्टतः, इसे दो स्वतंत्र प्रणालियों के रूप में माना जा सकता है; दोनों पक्षों के बीच शून्य माप के रिसाव को नजरअंदाज किया जा सकता है। एर्गोडिक अपघटन प्रमेय बताता है कि सभी रूढ़िवादी प्रणालियों को ऐसे स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है, और यह विभाजन अद्वितीय है (माप शून्य के अंतर तक)। इस प्रकार, परंपरा के अनुसार, रूढ़िवादी प्रणालियों का अध्ययन उनके एर्गोडिक घटकों का अध्ययन बन जाता है।

औपचारिक रूप से, प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली रूढ़िवादी है। याद रखें कि एक अपरिवर्तनीय सेट σ ∈ Σ वह है जिसके लिए τ(σ) = σ है। एर्गोडिक प्रणाली के लिए, एकमात्र अपरिवर्तनीय सेट वे होते हैं जिनका माप शून्य या पूर्ण माप होता है (शून्य सेट होते हैं या शून्य सेट होते हैं); वे रुढ़िवादी हैं तो इसका मतलब यह है कि वे तुच्छ हैं।

जब τ एर्गोडिक है, तो निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:* τ रूढ़िवादी और एर्गोडिक है

• सभी मापने योग्य सेटों के लिए σ, ${\textstyle \mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$; अर्थात्, σ संपूर्ण X को समाप्त कर देता है।
• सकारात्मक माप के सभी सेटों के लिए, और लगभग प्रत्येक के लिए $x\in X$, वहाँ एक सकारात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि $\tau ^{n}x\in \sigma$.
• सभी सेटों के लिए $\sigma$ और $\rho$ सकारात्मक माप में, एक सकारात्मक पूर्णांक n मौजूद होता है जैसे कि $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$
• अगर $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$, तो कोई $\mu (\sigma )=0$ या पूरक का माप शून्य है: $\mu (\sigma ^{c})=0$.

यह भी देखें

• केएमएस राज्य, क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम में थर्मोडायनामिक संतुलन का विवरण; वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए दोहरे से मॉड्यूलर सिद्धांत।

संदर्भ

• Danilenko, Alexandre I.; Silva, Cesar E. (2009). "Ergodic theory: Nonsingular transformations". Encyclopedia of Complexity and Systems Science. Springer: 3055–3083. arXiv:0803.2424. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_183. ISBN 978-0-387-75888-6.
• Krengel, Ulrich (1985). Ergodic theorems. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 6. de Gruyter. ISBN 3-11-008478-3.
• Sarig, Omri (March 8, 2020). "Lecture Notes on Ergodic Theory" (PDF). Home | Omri Sarig. Weizmann Institute.

अग्रिम पठन

• Nicholls, Peter J. (1989). The Ergodic Theory of Discrete Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Wilkinson, Aime (2008). "Smooth Ergodic Theory". arXiv:0804.0167 [math.DS].