रैखिक संबंध

रैखिक बीजगणित में, एक सदिश स्थान या एक मॉड्यूल (गणित) के तत्वों के बीच एक रैखिक संबंध, या बस संबंध, एक रैखिक समीकरण है जिसमें इन तत्वों को समाधान के रूप में रखा गया है।

अधिक सटीक, अगर $e_{1},\dots ,e_{n}$ एक (बाएं) मॉड्यूल के तत्व हैं $M$ एक अंगूठी के ऊपर (गणित) $R$ (क्षेत्र (गणित) पर एक सदिश स्थान का मामला एक विशेष मामला है), के बीच एक संबंध $e_{1},\dots ,e_{n}$ एक क्रम है $(f_{1},\dots ,f_{n})$ के तत्वों का $R$ ऐसा है कि

f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.

के बीच संबंध $e_{1},\dots ,e_{n}$ एक मॉड्यूल तैयार करें। एक आम तौर पर उस मामले में दिलचस्पी लेता है जहां $e_{1},\dots ,e_{n}$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल का एक जनरेटिंग सेट है $M$ , जिस स्थिति में संबंधों के मॉड्यूल को अक्सर syzygy मॉड्यूल कहा जाता है $M$ . तालमेल मॉड्यूल एक जनरेटिंग सेट की पसंद पर निर्भर करता है, लेकिन यह एक मुफ्त मॉड्यूल के साथ प्रत्यक्ष योग तक अद्वितीय है। यानी अगर $S_{1}$ और $S_{2}$ एक मुफ्त मॉड्यूल के दो जनरेटिंग सेट के अनुरूप सहजीवन मॉड्यूल हैं, तो वे स्थिर रूप स्थिर रूप से आइसोमोर्फिक हैं, जिसका अर्थ है कि दो मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं $L_{1}$ और $L_{2}$ ऐसा है कि $S_{1}\oplus L_{1}$ और $S_{2}\oplus L_{2}$ समरूपी हैं।

उच्च क्रम के सहयुग्मी मॉड्यूल को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता है: एक मॉड्यूल का पहला तालमेल मॉड्यूल $M$ बस इसका syzygy मॉड्यूल है। के लिए $k > 1$ , एक $k$ का वें सिजीजी मॉड्यूल $M$ a का सिजीजी मॉड्यूल है $(k - 1)$ -वाँ तालमेल मॉड्यूल। हिल्बर्ट के तालमेल प्रमेय में कहा गया है कि, अगर $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ में एक बहुपद अंगूठी है $n$ एक क्षेत्र पर अनिश्चित, तो हर $n$ वें syzygy मॉड्यूल नि: शुल्क है। मुकदमा $n = 0$ तथ्य यह है कि प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान का एक आधार और स्थिति होती है $n = 1$ तथ्य यह है कि $K [x]$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और यह कि प्रत्येक सबमॉड्यूल एक निश्चित रूप से मुक्त उत्पन्न होता है $K [x]$ मॉड्यूल भी फ्री है।

उच्च क्रम सहयुग्मन मॉड्यूल के निर्माण को मुक्त विभेदन की परिभाषा के रूप में सामान्यीकृत किया जाता है, जो हिल्बर्ट के सहयुग्म प्रमेय को एक बहुपद वलय के रूप में पुन: स्थापित करने की अनुमति देता है। $n$ एक क्षेत्र पर अनिश्चित वैश्विक सजातीय आयाम है $n$ .

यदि $a$ और $b$ क्रमविनिमेय वलय के दो तत्व हैं $R$ , तब $(b, - a)$ एक रिश्ता है जिसे तुच्छ कहा जाता है। एक आदर्श के तुच्छ संबंधों का मॉड्यूल आदर्श के पहले syzygy मॉड्यूल का सबमॉड्यूल है जो एक आदर्श के जनरेटिंग सेट के तत्वों के बीच तुच्छ संबंधों द्वारा उत्पन्न होता है। तुच्छ संबंधों की अवधारणा को उच्च क्रम के तालमेल मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह एक आदर्श के कोज़ुल परिसर की अवधारणा की ओर जाता है, जो एक आदर्श के जनरेटर के बीच गैर-तुच्छ संबंधों के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

बुनियादी परिभाषाएँ

होने देना $R$ एक अंगूठी (गणित) बनें, और $M$ एक बायाँ हो $R$ -मॉड्यूल (गणित)। एक रेखीय संबंध, या बस के बीच एक संबंध $k$ तत्वों $x_{1},\dots ,x_{k}$ का $M$ एक क्रम है $(a_{1},\dots ,a_{k})$ के तत्वों का $R$ ऐसा है कि

a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.

यदि $x_{1},\dots ,x_{k}$ का जनरेटिंग सेट है $M$ , संबंध को अक्सर का तालमेल कहा जाता है $M$ . इसे syzygy कहने में ही समझदारी है $M$ बिना किसी शर्म के $x_{1},..,x_{k}$ क्योंकि, यद्यपि तालमेल मॉड्यूल चुने हुए जनरेटिंग सेट पर निर्भर करता है, इसके अधिकांश गुण स्वतंत्र हैं; देखो § Stable properties, नीचे।

अगर अंगूठी $R$ नोथेरियन रिंग है, या, कम से कम सुसंगत रिंग, और यदि $M$ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो syzygy मॉड्यूल भी अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। इस syzygy मॉड्यूल का एक syzygy मॉड्यूल एक दूसरा syzygy मॉड्यूल है $M$ . इस तरह जारी रखते हुए कोई परिभाषित कर सकता है $k$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए th syzygy मॉड्यूल $k$ .

हिल्बर्ट के सहक्रिया प्रमेय का दावा है कि, अगर $M$ एक बहुपद रिंग पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ एक क्षेत्र (गणित) पर, फिर कोई भी $n$ th syzygy मॉड्यूल एक निःशुल्क मॉड्यूल है।

स्थिर गुण

आम तौर पर, के-सिद्धांत की भाषा में, संपत्ति स्थिर होती है यदि यह पर्याप्त रूप से बड़े मुक्त मॉड्यूल के साथ प्रत्यक्ष योग बनाकर सत्य हो जाती है। syzygies मॉड्यूल की एक मौलिक संपत्ति यह है कि इसमें शामिल मॉड्यूल के लिए जनरेटिंग सेट के विकल्पों पर काफी हद तक स्वतंत्र हैं। निम्नलिखित परिणाम इन स्थिर गुणों का आधार है।

Proposition — Let $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ be a generating set of an $R$ -module $M$ , and $y_{1},\dots ,y_{n}$ be other elements of $M$ . The module of the relations between $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ is the direct sum of the module of the relations between $x_{1},\dots ,x_{m},$ and a free module of rank $n$ .

सबूत। जैसा $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ एक जनरेटिंग सेट है, प्रत्येक $y_{i}$ लिखा जा सकता है $\textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.$ यह एक संबंध प्रदान करता है $r_{i}$ के बीच $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.$ अब अगर $(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})$ फिर कोई संबंध है

 $\textstyle r-\sum b_{i}r_{i}$  के बीच संबंध है  $x_{1},\dots ,x_{m}$  केवल। दूसरे शब्दों में, के बीच हर संबंध  $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$  के बीच संबंध का योग है  $x_{1},\dots ,x_{m},$  और का एक रैखिक संयोजन  $r_{i}$ एस। यह सिद्ध करना सीधा है कि यह अपघटन अद्वितीय है, और यह परिणाम को सिद्ध करता है।  $\blacksquare$

यह साबित करता है कि पहला syzygy मॉड्यूल स्थिर रूप से अद्वितीय है। अधिक सटीक रूप से, दो जनरेटिंग सेट दिए गए हैं $S_{1}$ और $S_{2}$ एक मॉड्यूल का $M$ , यदि $S_{1}$ और $S_{2}$ संबंधों के संगत मॉड्यूल हैं, तो दो मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं $L_{1}$ और $L_{2}$ ऐसा है कि $S_{1}\oplus L_{1}$ और $S_{2}\oplus L_{2}$ आइसोमोर्फिक हैं। इसे साबित करने के लिए, दो जनरेटिंग सेटों के मिलन के बीच संबंधों के मॉड्यूल के दो अपघटन प्राप्त करने के लिए पूर्ववर्ती प्रस्ताव को दो बार लागू करना पर्याप्त है।

उच्च तालमेल मॉड्यूल के लिए एक समान परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह साबित करना बाकी है कि, यदि $M$ कोई मॉड्यूल है, और $L$ एक मुफ्त मॉड्यूल है, फिर $M$ और $M \oplus L$ आइसोमोर्फिक सिजीजी मॉड्यूल हैं। यह एक जनरेटिंग सेट पर विचार करने के लिए पर्याप्त है $M \oplus L$ जिसमें एक जनरेटिंग सेट होता है $M$ और का एक आधार $L$ . इस जनरेटिंग सेट के तत्वों के बीच प्रत्येक संबंध के लिए, आधार तत्वों के गुणांक $L$ सभी शून्य हैं, और का तालमेल $M \oplus L$ बिल्कुल सही तालमेल हैं $M$ शून्य गुणांक के साथ विस्तारित। यह निम्नलिखित प्रमेय की उपपत्ति को पूरा करता है।

Theorem — For every positive integer $k$ , the $k$ th syzygy module of a given module depends on choices of generating sets, but is unique up to the direct sum with a free module. More precisely, if $S_{1}$ and $S_{2}$ are $k$ th syzygy modules that are obtained by different choices of generating sets, then there are free modules $L_{1}$ and $L_{2}$ such that $S_{1}\oplus L_{1}$ and $S_{2}\oplus L_{2}$ are isomorphic.

मुक्त संकल्पों से संबंध

एक जनरेटिंग सेट दिया $g_{1},\dots ,g_{n}$ की एक $R$ -मॉड्यूल, कोई एक मुफ्त मॉड्यूल पर विचार कर सकता है $L$ आधार का $G_{1},\dots ,G_{n},$ कहां $G_{1},\dots ,G_{n}$ नए अनिश्चित हैं। यह एक सटीक क्रम को परिभाषित करता है

L\longrightarrow M\longrightarrow 0,

जहाँ बायाँ तीर एक रेखीय मानचित्र है जो प्रत्येक को मानचित्रित करता है $G_{i}$ इसी के लिए $g_{i}.$ इस बाएं तीर का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का पहला सिजीजी मॉड्यूल है $M$ .

इस गिरी के स्थान पर इस निर्माण को दोहराया जा सकता है $M$ . इस निर्माण को बार-बार दोहराने से एक लंबा सटीक क्रम प्राप्त होता है

\cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,

कहां कहां $L_{i}$ मुक्त मॉड्यूल हैं। परिभाषा के अनुसार, इतने लंबे सटीक अनुक्रम का एक मुक्त संकल्प है $M$ .

हरएक के लिए $k \geq 1$ , कर्नेल $S_{k}$ से शुरू होने वाले तीर का $L_{k-1}$ एक है $k$ का वें सिजीजी मॉड्यूल $M$ . यह इस प्रकार है कि मुक्त संकल्पों का अध्ययन सहजीवन मॉड्यूल के अध्ययन के समान है।

एक मुक्त संकल्प लंबाई का परिमित है $\leq n$ यदि $S_{n}$ आज़ाद है। ऐसे में कोई ले सकता है $L_{n}=S_{n},$ और $L_{k}=0$ (शून्य मॉड्यूल ) प्रत्येक के लिए $k > n$ .

यह हिल्बर्ट के सहजीवन प्रमेय को पुन: स्थापित करने की अनुमति देता है: यदि $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ में एक बहुपद अंगूठी है $n$ एक क्षेत्र पर अनिश्चित (गणित) $K$ , तो प्रत्येक मुक्त संकल्प अधिक से अधिक लंबाई का परिमित होता है $n$ .

क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय का वैश्विक आयाम या तो अनंत है, या न्यूनतम है $n$ ऐसा है कि प्रत्येक मुक्त संकल्प अधिक से अधिक लंबाई का परिमित है $n$ . एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय नियमित वलय है यदि इसका वैश्विक आयाम परिमित है। इस मामले में, वैश्विक आयाम इसके क्रुल आयाम के बराबर है। तो, हिल्बर्ट के सहजीवन प्रमेय को एक बहुत ही छोटे वाक्य में दोहराया जा सकता है जो बहुत गणित को छुपाता है: एक क्षेत्र पर एक बहुपद वलय एक नियमित वलय है।

तुच्छ संबंध

एक कम्यूटेटिव रिंग में $R$ , एक हमेशा होता है $ab - ba = 0$ . इसका तात्पर्य तुच्छ रूप से है $(b, - a)$ के बीच एक रैखिक संबंध है $a$ और $b$ . इसलिए, एक जनरेटिंग सेट दिया $g_{1},\dots ,g_{k}$ एक आदर्श का $I$ , सबमॉड्यूल के प्रत्येक तत्व को तुच्छ संबंध या तुच्छ तालमेल कहते हैं, जो दो उत्पन्न करने वाले तत्वों के बीच इन तुच्छ संबंधों से उत्पन्न होता है। अधिक सटीक रूप से, तुच्छ तालमेल का मॉड्यूल संबंधों द्वारा उत्पन्न होता है

r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})

ऐसा है कि $x_{i}=g_{j},$ $x_{j}=-g_{i},$ और $x_{h}=0$ अन्यथा।

इतिहास

सिजीजी शब्द गणित में आर्थर केली के कार्य के साथ आया।^[1] उस पेपर में, केली ने परिणामी और विभेदक के सिद्धांत के लिए इसका इस्तेमाल किया।^[2] जैसा कि ग्रहों के बीच एक रैखिक संबंध को निरूपित करने के लिए खगोल विज्ञान में सिज़ी (खगोल विज्ञान) शब्द का उपयोग किया गया था, केली ने इसका उपयोग मैट्रिक्स के छोटे (मैट्रिक्स) के बीच रैखिक संबंधों को दर्शाने के लिए किया था, जैसे कि 2 × 3 मैट्रिक्स के मामले में:

a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.

फिर, 1890 के अपने लेख में डेविड हिल्बर्ट द्वारा सिजीजी शब्द को (गणितज्ञों के बीच) लोकप्रिय बनाया गया, जिसमें बहुपदों पर तीन मौलिक प्रमेय, हिल्बर्ट के सिजीजी प्रमेय, हिल्बर्ट के आधार प्रमेय और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट शामिल हैं।

अपने लेख में, केली एक विशेष मामले में, जो बाद में था उसका उपयोग करता है^[3] गणितज्ञ जीन-लुई शर्ट्स द्वारा अंतर ज्यामिति में इसी तरह के निर्माण के बाद, कोज़ुल परिसर कहा जाता है।

↑ 1847[Cayley 1847] A. Cayley, “On the theory of involution in geometry”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. See also Collected Papers, Vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
↑ [Gel’fand et al. 1994] I. M. Gel’fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, Boston, 1994.
↑ Serre, Jean-Pierre Algèbre locale. Multiplicités. (French) Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics, 11 Springer-Verlag, Berlin-New York 1965 vii+188 pp.; this is the published form of mimeographed notes from Serre's lectures at the College de France in 1958.

संदर्भ

Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal (2007). "Ideals, Varieties, and Algorithms". Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN 0172-6056.
Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal (2005). "Using Algebraic Geometry". Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6.
Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Graduate Texts in Mathematics, vol. 229, Springer, 2005.

[1] 1847[Cayley 1847] A. Cayley, “On the theory of involution in geometry”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. See also Collected Papers, Vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Cambridge.

[2] [Gel’fand et al. 1994] I. M. Gel’fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, Boston, 1994.

[3] Serre, Jean-Pierre Algèbre locale. Multiplicités. (French) Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics, 11 Springer-Verlag, Berlin-New York 1965 vii+188 pp.; this is the published form of mimeographed notes from Serre's lectures at the College de France in 1958.

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