लोचदार मापांक

एक लोचदार मापांक (लोच के मापांक के रूप में भी जाना जाता है) किसी वस्तु या पदार्थ के प्रतिरोध को मापने की इकाई है जो उस पर तनाव (यांत्रिकी) लागू होने पर लोचदार रूप से (यानी, गैर-स्थायी रूप से) विकृत हो जाता है।

परिभाषा

किसी वस्तु के लोचदार मापांक को लोचदार विरूपण क्षेत्र में उसके तनाव-खिंचाव वक्र के ढलान के रूप में परिभाषित किया गया है:^[1] एक सख्त सामग्री में उच्च लोचदार मापांक होगा। एक लोचदार मापांक का रूप है:

\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}

जहां तनाव (भौतिकी) विरूपण पैदा करने वाला बल है जिसे उस क्षेत्र से विभाजित किया जाता है जिस पर बल लगाया जाता है और तनाव (सामग्री विज्ञान) विरूपण के कारण कुछ पैरामीटर में परिवर्तन का पैरामीटर के मूल मान से अनुपात है।

चूँकि तनाव एक आयामहीन मात्रा है, इसकी इकाइयाँ $\delta$ तनाव की इकाइयों के समान होगी।^[2]

प्रत्यास्थ मापांक के प्रकार

यह निर्दिष्ट करना कि तनाव और तनाव को कैसे मापा जाना है, दिशाओं सहित, कई प्रकार के लोचदार मॉड्यूल को परिभाषित करने की अनुमति देता है। चार प्राथमिक हैं:

यंग का मापांक (E) तन्यता और संपीड़न लोच (भौतिकी), या किसी वस्तु की धुरी के साथ विकृत होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है जब उस अक्ष पर विरोधी बल लागू होते हैं; इसे तन्य तनाव और विरूपण_(यांत्रिकी)#तनाव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे अक्सर केवल लोचदार मापांक के रूप में जाना जाता है।
कतरनी मापांक या कठोरता का मापांक (G या $\mu \,$ लैमे दूसरा पैरामीटर) विरोधी ताकतों द्वारा कार्रवाई किए जाने पर किसी वस्तु की कतरनी की प्रवृत्ति (निरंतर मात्रा में आकार का विरूपण) का वर्णन करता है; इसे अपरूपण विकृति पर अपरूपण प्रतिबल के रूप में परिभाषित किया गया है। कतरनी मापांक चिपचिपाहट की व्युत्पत्ति का हिस्सा है।
बल्क मापांक (K) वॉल्यूमेट्रिक लोच, या सभी दिशाओं में समान रूप से लोड होने पर किसी वस्तु के विकृत होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है; इसे वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन अपरूपण तनाव (भौतिकी)#स्ट्रेस डेविएटर टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह संपीड़ितता का व्युत्क्रम है। बल्क मापांक यंग मापांक का तीन आयामों तक विस्तार है।
फ्लेक्सुरल मापांक (ई_flex) किसी क्षण (भौतिकी) द्वारा क्रिया किए जाने पर वस्तु के लचीले होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है।

दो अन्य लोचदार मॉड्यूल लैमे का पहला पैरामीटर, λ, और पी-तरंग मापांक, एम हैं, जैसा कि संदर्भों के नीचे दिए गए मॉड्यूलस तुलनाओं की तालिका में उपयोग किया जाता है। सजातीय और समदैशिक (सभी दिशाओं में समान) सामग्री (ठोस) में उनके (रैखिक) लोचदार गुण पूरी तरह से दो लोचदार मॉड्यूल द्वारा वर्णित होते हैं, और कोई भी जोड़ी चुन सकता है। इलास्टिक मॉड्यूल की एक जोड़ी को देखते हुए, अन्य सभी इलास्टिक मॉड्यूल की गणना पृष्ठ के अंत में नीचे दी गई तालिका के सूत्रों के अनुसार की जा सकती है।

अदृश्य तरल पदार्थ इस मायने में विशेष हैं कि वे कतरनी तनाव का समर्थन नहीं कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि कतरनी मापांक हमेशा शून्य होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि इस समूह के लिए यंग का मापांक हमेशा शून्य होता है।

कुछ ग्रंथों में, लोच के मापांक को लोचदार स्थिरांक के रूप में जाना जाता है, जबकि व्युत्क्रम मात्रा को लोचदार मापांक के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep P. (2006). सामग्री का विज्ञान और इंजीनियरिंग (5th ed.). Cengage Learning. p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8.
↑ Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Russell; Dewolf, John; Mazurek, David (2009). सामग्री के यांत्रिकी. McGraw Hill. p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9.

अग्रिम पठन

Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5.

De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds". Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. doi:10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$ . The minus sign leads to $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep P. (2006). सामग्री का विज्ञान और इंजीनियरिंग (5th ed.). Cengage Learning. p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8.

[2] Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Russell; Dewolf, John; Mazurek, David (2009). सामग्री के यांत्रिकी. McGraw Hill. p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9.

[1]

[2]

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