वर्गाकार जाली आइसिंग मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, द्वि-आयामी वर्ग जाली आइसिंग मॉडल चुंबकीय स्पिनों की परस्पर क्रिया का एक सरल जाली मॉडल (भौतिकी) है। यह मॉडल गैर-तुच्छ इंटरैक्शन के साथ-साथ एक विश्लेषणात्मक समाधान के लिए उल्लेखनीय है। मॉडल को लार्स ऑनसागर द्वारा विशेष मामले के लिए हल किया गया था कि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र एच = 0। सामान्य मामले के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान $H\neq 0$ अभी तक नहीं मिला है.

विभाजन फ़ंक्शन को परिभाषित करना

एक वर्गाकार जाली पर 2डी आइसिंग मॉडल पर विचार करें $\Lambda$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में एन साइटों और आवधिक सीमा स्थितियों के साथ, जो प्रभावी रूप से मॉडल की टोपोलॉजी को टोरस्र्स तक कम कर देता है। आम तौर पर, क्षैतिज युग्मन $J$ और ऊर्ध्वाधर युग्मन $J^{*}$ समान नहीं हैं. साथ $\beta ={\frac {1}{kT}}$ और पूर्ण तापमान $T$ और बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k$, विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)

$Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).$

क्रान्तिक तापमान

क्रांतिक तापमान $T_{c}$ क्रेमर्स-वैनियर द्वैत संबंध से प्राप्त किया जा सकता है। प्रति साइट निःशुल्क ऊर्जा को इस रूप में निरूपित करना $F(K,L)$, किसी के पास:

$\beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big [}\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right){\big ]}$

कहाँ

$\sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1$

$\sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1$

यह मानते हुए कि (K,L) तल में केवल एक क्रांतिक रेखा है, द्वैत संबंध का तात्पर्य है कि यह इस प्रकार दिया गया है:

$\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1$

आइसोट्रोपिक मामले के लिए $J=J^{*}$, किसी को क्रांतिक तापमान के लिए प्रसिद्ध संबंध मिलता है $T_{c}$

${\frac {kT_{c}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421$

दोहरी जाली

स्पिन के विन्यास पर विचार करें $\{\sigma \}$ चौकोर जाली पर $\Lambda$. मान लीजिए r और s क्रमशः ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दिशाओं में असमान पड़ोसियों की संख्या को दर्शाते हैं। फिर सारांश $Z_{N}$ तदनुसार $\{\sigma \}$ द्वारा दिया गया है

$e^{K(N-2s)+L(N-2r)}$

File:Duallattice.png

दोहरी जाली

एक दोहरी जाली का निर्माण करें $\Lambda _{D}$ जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन के लिए $\{\sigma \}$, एक बहुभुज दोहरी जाली के किनारे पर एक रेखा खींचकर जाली से जुड़ा होता है यदि किनारे से अलग किए गए स्पिन विपरीत होते हैं। चूँकि के एक शीर्ष को पार करके $\Lambda$ स्पिन को एक समान संख्या में बदलने की आवश्यकता होती है ताकि कोई एक ही चार्ज के साथ शुरुआती बिंदु पर पहुंच सके, दोहरी जाली का प्रत्येक शीर्ष बहुभुज को परिभाषित करते हुए कॉन्फ़िगरेशन में समान संख्या में रेखाओं से जुड़ा होता है।

दोहरी जाली पर स्पिन विन्यास

यह विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को कम कर देता है

$Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}$

दोहरी जाली में सभी बहुभुजों का योग, जहां आर और एस बहुभुज में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं की संख्या हैं, स्पिन कॉन्फ़िगरेशन के व्युत्क्रम से उत्पन्न होने वाले 2 के कारक के साथ।

निम्न-तापमान विस्तार

कम तापमान पर, K, L अनंत तक पहुंचता है, ताकि $T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0$, ताकि

$Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}$

के निम्न तापमान विस्तार को परिभाषित करता है $Z_{N}(K,L)$.

उच्च तापमान विस्तार

तब से $\sigma \sigma '=\pm 1$ किसी के पास

$e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).$

इसलिए

$Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})$

कहाँ $v=\tanh K$ और $w=\tanh L$. चूँकि N क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर किनारे हैं, इसलिए कुल हैं $2^{2N}$ विस्तार में शर्तें. प्रत्येक पद जाली की रेखाओं के विन्यास से मेल खाता है, यदि पद i और j को जोड़ने वाली एक रेखा को जोड़ता है $v\sigma _{i}\sigma _{j}$ (या $w\sigma _{i}\sigma _{j})$ उत्पाद में चुना गया है. का उपयोग करते हुए, कॉन्फ़िगरेशन का सारांश

$\sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}$

दर्शाता है कि प्रत्येक शीर्ष (बहुभुज) पर सम संख्या में रेखाओं वाला कॉन्फ़िगरेशन ही विभाजन फ़ंक्शन में योगदान देगा, जिससे

$Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}$

जहां जालक में सभी बहुभुजों का योग होता है। चूँकि तन्ह क, तन्ह ल $\rightarrow 0$ जैसा $T\rightarrow \infty$, इससे उच्च तापमान का विस्तार होता है $Z_{N}(K,L)$.

दोनों विस्तारों को क्रेमर्स-वानियर द्वैत का उपयोग करके संबंधित किया जा सकता है।

सटीक समाधान

प्रति साइट निःशुल्क ऊर्जा सीमा में है $N\to \infty$ इस प्रकार दिया गया है. पैरामीटर को परिभाषित करें $k$ जैसा

$k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}$

हेल्महोल्ट्ज़ प्रति साइट निःशुल्क ऊर्जा $F$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$-\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta$

आइसोट्रोपिक मामले के लिए $J=J^{*}$, उपरोक्त अभिव्यक्ति से प्रति साइट आंतरिक ऊर्जा का पता चलता है:

$U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]$

और सहज चुम्बकत्व है, के लिए $T<T_{c}$,

$M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}$

संदर्भ

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