वर्णक्रमीय घनत्व

This article is about signal processing and relation of spectra to time-series. For further applications in the physical sciences, see Spectrum § Physical science.

"Spectral power density" redirects here. Not to be confused with Spectral power.

ऑप्टिकल तरंग दैर्ध्य के एक समारोह के रूप में एक फ्लोरोसेंट प्रकाश का वर्णक्रमीय घनत्व परमाणु संक्रमणों पर चोटियों को दर्शाता है, जो गिने हुए तीरों द्वारा इंगित किया गया है।

समय के साथ ध्वनि तरंग (बाएं) में एक व्यापक ऑडियो पावर स्पेक्ट्रम (दाएं) होता है।

पावर स्पेक्ट्रम $S_{xx}(f)$ एक समय श्रृंखला के $x(t)$ उस सिग्नल की रचना करने वाले आवृत्ति घटकों में शक्ति (भौतिकी) के वितरण का वर्णन करता है। फूरियर विश्लेषण के अनुसार, किसी भी भौतिक संकेत को कई असतत आवृत्तियों या निरंतर सीमा पर आवृत्तियों के एक स्पेक्ट्रम में विघटित किया जा सकता है। एक निश्चित संकेत या संकेत के प्रकार (शोर (इलेक्ट्रॉनिक्स) सहित) का सांख्यिकीय औसत, जैसा कि इसकी आवृत्ति सामग्री के संदर्भ में विश्लेषण किया जाता है, इसका स्पेक्ट्रम कहलाता है।

जब सिग्नल की ऊर्जा एक सीमित समय अंतराल के आसपास केंद्रित होती है, खासकर अगर इसकी कुल ऊर्जा सीमित होती है, तो कोई ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व की गणना कर सकता है। अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व (या बस पावर स्पेक्ट्रम), जो "सभी" समय से अधिक मौजूदा संकेतों पर लागू होता है, या एक समय अवधि में काफी बड़ा होता है (विशेषकर माप की अवधि के संबंध में) कि यह हो सकता है एक अनंत समय अंतराल में अच्छी तरह से किया गया है। पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी (PSD) तब वर्णक्रमीय ऊर्जा वितरण को संदर्भित करता है जो प्रति यूनिट समय में मिलेगा, क्योंकि इस तरह के सिग्नल की कुल ऊर्जा आम तौर पर अनंत होगी। वर्णक्रमीय घटकों का योग या एकीकरण कुल शक्ति (भौतिक प्रक्रिया के लिए) या विचरण (सांख्यिकीय प्रक्रिया में) उत्पन्न करता है, जो एकीकृत करके प्राप्त किया जाएगा। $x^{2}(t)$ समय के क्षेत्र में, जैसा कि पारसेवल के प्रमेय द्वारा निर्धारित किया गया है।

एक भौतिक प्रक्रिया का स्पेक्ट्रम $x(t)$ अक्सर की प्रकृति के बारे में आवश्यक जानकारी होती है $x$. उदाहरण के लिए, एक संगीत वाद्ययंत्र की पिच (संगीत) और समय को वर्णक्रमीय विश्लेषण से तुरंत निर्धारित किया जाता है। प्रकाश स्रोत का रंग विद्युत चुम्बकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र के स्पेक्ट्रम द्वारा निर्धारित किया जाता है $E(t)$ क्योंकि यह अत्यधिक उच्च आवृत्ति पर उतार-चढ़ाव करता है। समय श्रृंखला से एक स्पेक्ट्रम प्राप्त करना जैसे कि फूरियर रूपांतरण, और फूरियर विश्लेषण के आधार पर सामान्यीकरण शामिल है। कई मामलों में समय डोमेन विशेष रूप से व्यवहार में नियोजित नहीं होता है, जैसे कि जब एक स्पेक्ट्रोग्राफ में प्रकाश का एक स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए एक फैलाव प्रिज्म का उपयोग किया जाता है, या जब आंतरिक कान के श्रवण रिसेप्टर्स पर इसके प्रभाव के माध्यम से ध्वनि को माना जाता है, तो प्रत्येक जिनमें से एक विशेष आवृत्ति के प्रति संवेदनशील है।

हालाँकि यह लेख उन स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करता है जिनमें समय श्रृंखला ज्ञात होती है (कम से कम एक सांख्यिकीय अर्थ में) या सीधे मापा जाता है (जैसे कि कंप्यूटर द्वारा नमूना किए गए माइक्रोफ़ोन द्वारा)। पावर स्पेक्ट्रम सांख्यिकीय सिग्नल प्रोसेसिंग और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय अध्ययन के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग की कई अन्य शाखाओं में महत्वपूर्ण है। आमतौर पर प्रक्रिया समय का एक कार्य है, लेकिन इसी तरह स्थानिक आवृत्ति के संदर्भ में विघटित होने वाले स्थानिक डोमेन में डेटा पर चर्चा की जा सकती है।

स्पष्टीकरण

Further information: Spectrum

कोई भी संकेत जिसे एक चर के रूप में दर्शाया जा सकता है जो समय के साथ बदलता रहता है, एक समान आवृत्ति स्पेक्ट्रम होता है। इसमें दृश्य प्रकाश (रंग के रूप में माना जाता है), संगीत नोट्स (पिच (संगीत) के रूप में माना जाता है), रेडियो आवृत्ति | रेडियो/टीवी (उनकी आवृत्ति, या कभी-कभी तरंग दैर्ध्य द्वारा निर्दिष्ट) और यहां तक ​​​​कि पृथ्वी के नियमित घूर्णन जैसी परिचित संस्थाएं शामिल हैं। जब इन संकेतों को एक आवृत्ति स्पेक्ट्रम के रूप में देखा जाता है, तो प्राप्त संकेतों के कुछ पहलू या उन्हें उत्पन्न करने वाली अंतर्निहित प्रक्रियाएं प्रकट होती हैं। कुछ मामलों में फ़्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम में साइन वेव घटक के अनुरूप एक अलग शिखर शामिल हो सकता है। और इसके अतिरिक्त एक मौलिक शिखर के हार्मोनिक्स के अनुरूप चोटियां भी हो सकती हैं, जो एक आवधिक संकेत का संकेत देती हैं जो कि केवल साइनसोइडल नहीं है। या एक निरंतर स्पेक्ट्रम संकीर्ण आवृत्ति अंतराल दिखा सकता है जो प्रतिध्वनि के अनुरूप दृढ़ता से बढ़ाया जाता है, या आवृत्ति अंतराल जिसमें लगभग शून्य शक्ति होती है जैसा कि एक पायदान फिल्टर द्वारा उत्पादित किया जाएगा।

भौतिकी में, संकेत एक तरंग हो सकता है, जैसे विद्युत चुम्बकीय तरंग, ध्वनि तरंग, या किसी तंत्र का कंपन। सिग्नल का पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी (PSD) सिग्नल में मौजूद पावर (भौतिकी) को फ़्रीक्वेंसी, प्रति यूनिट फ़्रीक्वेंसी के एक फ़ंक्शन के रूप में वर्णित करता है। पावर स्पेक्ट्रल घनत्व आमतौर पर वाट प्रति हर्ट्ज (डब्ल्यू / हर्ट्ज) में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब सिग्नल को केवल वोल्टेज के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, तो निर्दिष्ट आयाम से जुड़ी कोई अनूठी शक्ति नहीं होती है। इस मामले में शक्ति को केवल सिग्नल के वर्ग के रूप में गिना जाता है, क्योंकि यह हमेशा उस सिग्नल द्वारा दिए गए विद्युत प्रतिबाधा में दी गई वास्तविक शक्ति के समानुपाती होता है। तो कोई V . की इकाइयों का उपयोग कर सकता है² हर्ट्ज⁻¹ PSD के लिए। ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व (ESD) में इकाइयाँ होंगी V² s Hz⁻¹, क्योंकि ऊर्जा (भौतिकी) में समय के हिसाब से शक्ति की इकाइयाँ गुणा होती हैं (जैसे, वाट-घंटा)। सामान्य स्थिति में, PSD की इकाइयाँ आवृत्ति की प्रति इकाई विचरण की इकाइयों का अनुपात होंगी; इसलिए, उदाहरण के लिए, समय के साथ (सेकंड में) विस्थापन मूल्यों (मीटर में) की एक श्रृंखला में प्रति हर्ट्ज वर्ग मीटर की इकाइयों में PSD होगा, मी²/हर्ट्ज। यादृच्छिक कंपन के विश्लेषण में, g . की इकाइयाँ² हर्ट्ज⁻¹ अक्सर त्वरण के PSD के लिए उपयोग किया जाता है, जहां g g-बल को दर्शाता है। गणितीय रूप से, सिग्नल या स्वतंत्र चर के लिए भौतिक आयाम निर्दिष्ट करना आवश्यक नहीं है। निम्नलिखित चर्चा में x(t) का अर्थ अनिर्दिष्ट रहेगा, लेकिन स्वतंत्र चर को समय का मान लिया जाएगा।

परिभाषा

ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व

"Energy spectral density" redirects here. Not to be confused with energy spectrum.

ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व वर्णन करता है कि सिग्नल या समय श्रृंखला की ऊर्जा (सिग्नल प्रोसेसिंग) आवृत्ति के साथ कैसे वितरित की जाती है। यहाँ, ऊर्जा (सिग्नल प्रोसेसिंग) शब्द का प्रयोग सिग्नल प्रोसेसिंग के सामान्यीकृत अर्थ में किया जाता है; यानी ऊर्जा $E$ एक संकेत का $x(t)$ है:

$E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.$

ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व यात्रियों के लिए सबसे उपयुक्त है - अर्थात, नाड़ी जैसे संकेत - एक परिमित कुल ऊर्जा वाले। परिमित या नहीं, पारसेवल की प्रमेय (या प्लांचरेल का प्रमेय) हमें संकेत की ऊर्जा के लिए एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति देता है:

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\ df,$

कहाँ पे:

${\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt$

फूरियर रूपांतरण का मूल्य है $x(t)$ आवृत्ति पर $f$ (हर्ट्ज में)। प्रमेय असतत समय के मामलों में भी सही है। चूँकि दायीं ओर का इंटीग्रल सिग्नल की ऊर्जा है, इंटीग्रैंड $\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}$ आवृत्ति पर सिग्नल में निहित ऊर्जा का वर्णन करने वाले घनत्व फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या की जा सकती है $f$. इसलिए, का ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व $x(t)$ की तरह परिभाषित किया गया है:

${\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}$

(Eq.1)

कार्यक्रम ${\bar {S}}_{xx}(f)$ और का स्वत: सहसंबंध $x(t)$ एक फूरियर ट्रांसफॉर्म जोड़ी बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप वीनर-खिनचिन प्रमेय के रूप में जाना जाता है (पीरियोडोग्राम # परिभाषा भी देखें)।

एक संकेत के ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व को कैसे माप सकता है, इसका एक भौतिक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए $V(t)$ विद्युत प्रतिबाधा की संचरण लाइन के साथ फैलने वाली विद्युत पल्स की विद्युत क्षमता (वोल्ट में) का प्रतिनिधित्व करता है $Z$, और मान लें कि लाइन को एक प्रतिबाधा मिलान रोकनेवाला के साथ समाप्त कर दिया गया है (ताकि सभी पल्स ऊर्जा को रोकनेवाला तक पहुंचा दिया जाए और कोई भी वापस परावर्तित न हो)। ओम के नियम के अनुसार, समय पर प्रतिरोधक को दी जाने वाली शक्ति $t$ के बराबर है $V(t)^{2}/Z$, इसलिए कुल ऊर्जा को एकीकृत करके पाया जाता है $V(t)^{2}/Z$ नाड़ी की अवधि में समय के संबंध में। ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व का मान ज्ञात करने के लिए ${\bar {S}}_{xx}(f)$ आवृत्ति पर $f$, कोई ट्रांसमिशन लाइन और रेसिस्टर के बीच एक बैंडपास फिल्टर डाल सकता है जो केवल आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा से गुजरता है ($\Delta f$, मान लें) ब्याज की आवृत्ति के पास और फिर कुल ऊर्जा को मापें $E(f)$ रोकनेवाला भर में फैल गया। ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व का मान $f$ तब होने का अनुमान है $E(f)/\Delta f$. इस उदाहरण में, सत्ता के बाद से $V(t)^{2}/Z$ V . की इकाइयाँ हैं² ओह^-1, ऊर्जा $E(f)$ V . की इकाइयाँ हैं² ओह⁻¹ = J, और इसलिए अनुमान $E(f)/\Delta f$ ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व की इकाइयाँ J Hz . हैं^-1, आवश्यकतानुसार। कई स्थितियों में, विभाजित करने के चरण को भूल जाना आम बात है $Z$ ताकि ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व के बजाय V . की इकाइयाँ हों² हर्ट्ज^-1.

यह परिभाषा एक असतत संकेत के लिए एक सरल तरीके से सामान्य रूप से मूल्यों की एक अनंत संख्या के साथ सामान्यीकृत करती है $x_{n}$ जैसे कि असतत समय पर नमूना लिया गया संकेत $t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)$:

${\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},$

कहाँ पे ${\hat {x}}_{d}(f)$ का असतत-समय फूरियर रूपांतरण है $x_{n}.$नमूना अंतराल $\Delta t$ सही भौतिक इकाइयों को रखने और यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम निरंतर मामले को सीमा में पुनर्प्राप्त करते हैं, की आवश्यकता है $\Delta t\to 0.$लेकिन गणितीय विज्ञान में अंतराल को अक्सर 1 पर सेट किया जाता है, जो सामान्यता की कीमत पर परिणामों को सरल करता है। (सामान्यीकृत आवृत्ति (इकाई) भी देखें)

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व

Not to be confused with spectral power distribution.

ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व की उपरोक्त परिभाषा उन ग्राहकों (नाड़ी जैसे संकेतों) के लिए उपयुक्त है जिनकी ऊर्जा एक समय खिड़की के आसपास केंद्रित है; तब संकेतों के फूरियर रूपांतरण आम तौर पर मौजूद होते हैं। हर समय निरंतर संकेतों के लिए, किसी को स्थिर प्रक्रियाओं के लिए मौजूद शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व (PSD) को परिभाषित करना चाहिए; यह वर्णन करता है कि सिग्नल या समय श्रृंखला की शक्ति (भौतिकी) आवृत्ति पर कैसे वितरित की जाती है, जैसा कि पहले दिए गए सरल उदाहरण में है। यहां, शक्ति वास्तविक भौतिक शक्ति हो सकती है, या अधिक बार, अमूर्त संकेतों के साथ सुविधा के लिए, केवल संकेत के वर्ग मूल्य के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, सांख्यिकीविद समय के साथ किसी फ़ंक्शन के विचरण का अध्ययन करते हैं $x(t)$ (या किसी अन्य स्वतंत्र चर पर), और विद्युत संकेतों (अन्य भौतिक प्रक्रियाओं के बीच) के साथ सादृश्य का उपयोग करते हुए, इसे पावर स्पेक्ट्रम के रूप में संदर्भित करने के लिए प्रथागत है, भले ही इसमें कोई भौतिक शक्ति शामिल न हो। यदि किसी को एक भौतिक वोल्टेज स्रोत बनाना था जो अनुसरण करता है $x(t)$ और इसे एक ओम अवरोधक के टर्मिनलों पर लागू किया, तो वास्तव में उस प्रतिरोधी में विलुप्त होने वाली तात्कालिक शक्ति किसके द्वारा दी जाएगी $x(t)^{2}$ वाट।

औसत शक्ति $P$ एक संकेत का $x(t)$ इसलिए सभी समय को निम्नलिखित समय औसत द्वारा दिया जाता है, जहां अवधि $T$ कुछ मनमाना समय के बारे में केंद्रित है $t=t_{0}$:

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}|x(t)|^{2}\,dt$

हालांकि, आने वाले गणित से निपटने के लिए, इंटीग्रल की सीमा में समय सीमा के बजाय सिग्नल में ही समय सीमा से निपटना अधिक सुविधाजनक है। जैसे, हमारे पास औसत शक्ति का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व है, जहां $x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)$ तथा $w_{T}(t)$ मनमानी अवधि के भीतर एकता है और कहीं और शून्य है।

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}\,dt$

स्पष्ट रूप से उन मामलों में जहां पी के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति शून्य नहीं है (यहां तक ​​​​कि जब टी बिना सीमा के बढ़ता है) अभिन्न स्वयं भी बिना बाध्य के बढ़ना चाहिए। यही कारण है कि हम ऐसे मामलों में ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व का उपयोग नहीं कर सकते हैं, जो कि विचलन अभिन्न है।

सिग्नल की आवृत्ति सामग्री का विश्लेषण करने में $x(t)$, कोई साधारण फूरियर रूपांतरण की गणना करना पसंद कर सकता है ${\hat {x}}(f)$; हालांकि, रुचि के कई संकेतों के लिए फूरियर रूपांतरण औपचारिक रूप से मौजूद नहीं है। भले ही, पारसेवल का प्रमेय हमें बताता है कि हम औसत शक्ति को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं।

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df$

फिर पावर स्पेक्ट्रल घनत्व को उपरोक्त एकीकृत और के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,$

(Eq.2)

यहाँ से हम यह भी देख सकते हैं $|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}$ समय के कनवल्शन के फूरियर रूपांतरण के रूप में $x_{T}^{*}(-t)$ तथा $x_{T}(t)$

$\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau$

अब, यदि हम ऊपर दिए गए समय कनवल्शन को आवर्त से विभाजित करते हैं $T$ और सीमा के रूप में ले लो $T\rightarrow \infty$, यह गैर-खिड़की सिग्नल का स्वत: सहसंबंध कार्य बन जाता है $x(t)$, जिसे के रूप में दर्शाया गया है $R_{xx}(\tau )$, उसे उपलब्ध कराया $x(t)$ एर्गोडिक है, जो अधिकांश में सच है, लेकिन सभी व्यावहारिक मामलों में नहीं।.

$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$

यहाँ से हम देखते हैं, फिर से के अहंकार को मानते हुए $x(t)$, कि शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व को ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन (वीनर-खिनचिन प्रमेय) के फूरियर रूपांतरण के रूप में पाया जा सकता है।

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$

(Eq.3)

कई लेखक इस समानता का उपयोग वास्तव में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व को परिभाषित करने के लिए करते हैं। किसी दिए गए आवृत्ति बैंड में सिग्नल की शक्ति $[f_{1},f_{2}]$, कहाँ पे $0<f_{1}<f_{2}$, की गणना अधिक आवृत्ति को एकीकृत करके की जा सकती है। तब से $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$, समान मात्रा में शक्ति को सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति बैंड के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जो निम्नलिखित रूप में 2 के कारक के लिए जिम्मेदार है (ऐसे तुच्छ कारक इस्तेमाल किए गए सम्मेलनों पर निर्भर करते हैं):

$P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df$

अधिक सामान्यतः, समय-भिन्न वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान लगाने के लिए समान तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में समय अंतराल $T$ अनंत के करीब पहुंचने के बजाय सीमित है। इससे कम से कम की आवृत्तियों के बाद से वर्णक्रमीय कवरेज और संकल्प में कमी आई है $1/T$ नमूना नहीं लिया जाता है, और परिणाम आवृत्तियों पर होते हैं जो पूर्णांक गुणक नहीं होते हैं $1/T$ स्वतंत्र नहीं हैं। केवल एक ऐसी समय श्रृंखला का उपयोग करके, अनुमानित पावर स्पेक्ट्रम बहुत शोर होगा; हालांकि इसे कम किया जा सकता है यदि अपेक्षित मूल्य (उपरोक्त समीकरण में) का मूल्यांकन करना संभव है, जो कि प्राप्तियों के सांख्यिकीय संयोजनों के अनुरूप अल्पकालिक स्पेक्ट्रा की एक बड़ी (या अनंत) संख्या का उपयोग कर रहा है। $x(t)$ निर्दिष्ट समय विंडो पर मूल्यांकन किया गया।

जैसे ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व के साथ, शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व की परिभाषा को असतत समय चर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $x_{n}$. पहले की तरह, हम एक विंडो पर विचार कर सकते हैं $-N\leq n\leq N$ असतत समय पर सैंपल लिए गए सिग्नल के साथ $x_{n}=x_{0}+(n\,\Delta t)$ कुल माप अवधि के लिए $T=(2N+1)\,\Delta t$.

$S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}$

ध्यान दें कि PSD का एक अनुमान नमूने की एक सीमित संख्या के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। पहले की तरह, वास्तविक PSD तब प्राप्त होता है जब $N$ (और इस तरह $T$) अनंत तक पहुंचता है और अपेक्षित मूल्य औपचारिक रूप से लागू होता है। एक वास्तविक दुनिया के आवेदन में, व्यक्तिगत माप के तहत भौतिक प्रक्रिया के सैद्धांतिक PSD का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए कई परीक्षणों पर आम तौर पर एक सीमित-माप PSD औसत होगा। इस परिकलित PSD को कभी-कभी पीरियोडोग्राम कहा जाता है। यह पीरियोडोग्राम वास्तविक PSD में अनुमानों की संख्या के साथ-साथ औसत समय अंतराल के रूप में परिवर्तित होता है $T$ दृष्टिकोण अनंत (ब्राउन और ह्वांग)। यदि दो संकेतों दोनों में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है, तो # क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व | क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व की गणना इसी तरह की जा सकती है; जैसा कि PSD ऑटोसहसंबंध से संबंधित है, इसलिए क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व क्रॉस-सहसंबंध से संबंधित है।

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व के गुण

PSD के कुछ गुणों में शामिल हैं:

• The power spectrum is always real and non-negative, and the spectrum of a real valued process is also an even function of frequency: $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$.
• For a continuous stochastic process x(t), the autocorrelation function R_xx(t) can be reconstructed from its power spectrum S_xx(f) by using the inverse Fourier transform
• Using Parseval's theorem, one can compute the variance (average power) of a process by integrating the power spectrum over all frequency:

  $P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df$

• For a real process x(t) with power spectral density $S_{xx}(f)$, one can compute the integrated spectrum or power spectral distribution $F(f)$, which specifies the average bandlimited power contained in frequencies from DC to f using:
  $F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.$
  Note that the previous expression for total power (signal variance) is a special case where ƒ → ∞.

क्रॉस पावर वर्णक्रमीय घनत्व

See also: Coherence (signal processing)

दो संकेत दिए गए $x(t)$ तथा $y(t)$, जिनमें से प्रत्येक में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व होता है $S_{xx}(f)$ तथा $S_{yy}(f)$, क्रॉस पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी (CPSD) या क्रॉस स्पेक्ट्रल डेंसिटी (CSD) को परिभाषित करना संभव है। शुरू करने के लिए, आइए हम ऐसे संयुक्त सिग्नल की औसत शक्ति पर विचार करें।

${\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}$

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व व्युत्पत्ति के लिए उपयोग किए जाने वाले समान अंकन और विधियों का उपयोग करते हुए, हम पारसेवल के प्रमेय का फायदा उठाते हैं और प्राप्त करते हैं

${\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}$

जहां, फिर से, का योगदान $S_{xx}(f)$ तथा $S_{yy}(f)$ पहले से ही समझ रहे हैं। ध्यान दें कि $S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)$, इसलिए क्रॉस पावर में पूरा योगदान, आम तौर पर, व्यक्तिगत सीपीएसडी के वास्तविक हिस्से के दोगुने से होता है। पहले की तरह, यहाँ से हम इन उत्पादों को एक समय दृढ़ संकल्प के फूरियर रूपांतरण के रूप में पुन: प्रस्तुत करते हैं, जिसे अवधि से विभाजित करने और सीमा तक ले जाने पर $T\to \infty$ क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण बन जाता है।

${\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \end{aligned}}$

कहाँ पे $R_{xy}(\tau )$ का क्रॉस-सहसंबंध है $x(t)$ साथ $y(t)$ तथा $R_{yx}(\tau )$ का क्रॉस-सहसंबंध है $y(t)$ साथ $x(t)$. इसके आलोक में, PSD को CSD का एक विशेष मामला माना जाता है $x(t)=y(t)$. उस मामले के लिए $x(t)$ तथा $y(t)$ वोल्टेज या करंट सिग्नल हैं, उनका फूरियर ट्रांसफॉर्म करता है ${\hat {x}}(f)$ तथा ${\hat {y}}(f)$ सम्मेलन द्वारा सख्ती से सकारात्मक हैं। इसलिए, विशिष्ट सिग्नल प्रोसेसिंग में, पूर्ण सीपीएसडी दो के कारक द्वारा स्केल किए गए सीपीएसडी में से सिर्फ एक है।

$\operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)$

असतत संकेतों के लिए x_nऔर तुम_n, क्रॉस-स्पेक्ट्रल घनत्व और क्रॉस-कॉन्वर्सिस के बीच संबंध है

$S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau$

अनुमान

Main article: Spectral density estimation

वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान का लक्ष्य समय के नमूनों के अनुक्रम से एक यादृच्छिक संकेत के वर्णक्रमीय घनत्व के सिद्धांत का आकलन करना है। सिग्नल के बारे में जो ज्ञात है उसके आधार पर, अनुमान तकनीकों में पैरामीट्रिक आंकड़े या गैर-पैरामीट्रिक आंकड़े शामिल हो सकते हैं गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण, और समय-डोमेन या आवृत्ति-डोमेन विश्लेषण पर आधारित हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक सामान्य पैरामीट्रिक तकनीक में अवलोकनों को एक ऑटोरेग्रेसिव मॉडल में फिट करना शामिल है। एक सामान्य गैर-पैरामीट्रिक तकनीक पीरियोडोग्राम है।

वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान आमतौर पर फूरियर रूपांतरण विधियों (जैसे वेल्च विधि) का उपयोग करके लगाया जाता है, लेकिन अन्य तकनीकों जैसे कि अधिकतम एन्ट्रापी वर्णक्रमीय अनुमान पद्धति का भी उपयोग किया जा सकता है।

संबंधित अवधारणाएं

Not to be confused with spectral density (physical science).

• किसी संकेत का वर्णक्रमीय केन्द्रक उसके वर्णक्रमीय घनत्व फलन का मध्यबिंदु होता है, अर्थात वह आवृत्ति जो वितरण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
• स्पेक्ट्रल एज फ़्रीक्वेंसी (SEF), जिसे आमतौर पर SEF x के रूप में व्यक्त किया जाता है, उस आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है जिसके नीचे दिए गए सिग्नल की कुल शक्ति का x प्रतिशत स्थित होता है; आम तौर पर, x 75 से 95 की सीमा में होता है। यह विशेष रूप से ईईजी निगरानी में उपयोग किया जाने वाला एक लोकप्रिय उपाय है, इस मामले में एसईएफ को संज्ञाहरण की गहराई और नींद के चरणों का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न रूप से उपयोग किया जाता है।
• एक वर्णक्रमीय लिफाफा स्पेक्ट्रम घनत्व का लिफाफा वक्र है। यह समय में एक बिंदु (एक खिड़की, सटीक होने के लिए) का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, एक स्पेक्ट्रोमीटर का उपयोग करके रिमोट सेंसिंग में, एक विशेषता का वर्णक्रमीय लिफाफा इसके विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम गुणों की सीमा है, जैसा कि ब्याज के प्रत्येक वर्णक्रमीय बैंड में चमक के स्तर की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।
• वर्णक्रमीय घनत्व आवृत्ति का कार्य है, समय का कार्य नहीं। हालांकि, लंबी सिग्नल की एक छोटी खिड़की के वर्णक्रमीय घनत्व की गणना की जा सकती है, और खिड़की से जुड़े समय बनाम प्लॉट किया जा सकता है। ऐसे ग्राफ को स्पेक्ट्रोग्राम कहा जाता है। यह कई वर्णक्रमीय विश्लेषण तकनीकों का आधार है जैसे कि शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म और वेवलेट्स।
• एक स्पेक्ट्रम का मतलब आम तौर पर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व होता है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, जो आवृत्ति पर सिग्नल सामग्री के वितरण को दर्शाता है। यह एक स्थानांतरण फ़ंक्शन की आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ भ्रमित नहीं होना है जिसमें एक चरण (तरंगें) (या समकक्ष, आवृत्ति के कार्य के रूप में एक वास्तविक और काल्पनिक भाग) भी शामिल है। स्थानांतरण कार्यों के लिए, (उदाहरण के लिए, बोड प्लॉट, चिरप # एक आवेग संकेत से संबंध) पूर्ण आवृत्ति प्रतिक्रिया को दो भागों में चित्रित किया जा सकता है, शक्ति बनाम आवृत्ति और चरण बनाम आवृत्ति- चरण वर्णक्रमीय घनत्व, चरण स्पेक्ट्रम, या वर्णक्रमीय चरण (या कम सामान्यतः, स्थानांतरण फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में)। आवेग प्रतिक्रिया (समय डोमेन में) $h(t)$, आमतौर पर चरण फ़ंक्शन के बिना अकेले पावर वर्णक्रमीय घनत्व भाग से विशिष्ट रूप से पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालांकि ये फूरियर ट्रांसफॉर्म जोड़े भी हैं, फूरियर ट्रांसफॉर्म को वास्तविक-मूल्यवान होने के लिए मजबूर करने के लिए कोई समरूपता नहीं है (जैसा कि स्वत: सहसंबंध के लिए है)। अल्ट्राशॉर्ट पल्स देखें#स्पेक्ट्रल चरण, चरण शोर, समूह विलंब।
• कभी-कभी एक आयाम वर्णक्रमीय घनत्व (एएसडी) का सामना करता है, जो कि PSD का वर्गमूल है; वोल्टेज सिग्नल के ASD में V Hz . की इकाइयाँ होती हैं^-1/2. यह तब उपयोगी होता है जब स्पेक्ट्रम का आकार स्थिर होता है, क्योंकि एएसडी में भिन्नता तब सिग्नल के वोल्टेज स्तर में भिन्नता के समानुपाती होगी। लेकिन यह गणितीय रूप से PSD का उपयोग करने के लिए पसंद किया जाता है, क्योंकि केवल उस मामले में वक्र के नीचे का क्षेत्र सभी आवृत्ति पर या एक निर्दिष्ट बैंडविड्थ पर वास्तविक शक्ति के संदर्भ में सार्थक होता है।

अनुप्रयोग

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग

क्षैतिज अक्ष पर आवृत्ति और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ऊपर की ओर बढ़ते समय के साथ एक एफएम रेडियो सिग्नल का स्पेक्ट्रोग्राम।

सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम की अवधारणा और उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में मौलिक है, विशेष रूप से संचार प्रणालियों में, जिसमें रेडियो संचार, रडार और संबंधित सिस्टम, साथ ही निष्क्रिय रिमोट सेंसिंग तकनीक शामिल है। स्पेक्ट्रम विश्लेषक कहे जाने वाले इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का उपयोग संकेतों के पावर स्पेक्ट्रा को देखने और मापने के लिए किया जाता है।

स्पेक्ट्रम विश्लेषक एक इनपुट सिग्नल के शॉर्ट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म (STFT) के परिमाण को मापता है। यदि विश्लेषण किए जा रहे संकेत को एक स्थिर प्रक्रिया माना जा सकता है, तो एसटीएफटी अपनी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व का एक अच्छा सुचारू अनुमान है।

ब्रह्मांड विज्ञान

प्रारंभिक ब्रह्मांड में प्रारंभिक उतार-चढ़ाव, घनत्व भिन्नताएं, एक शक्ति स्पेक्ट्रम द्वारा निर्धारित की जाती हैं जो स्थानिक पैमाने के कार्य के रूप में विविधताओं की शक्ति देता है।

जलवायु विज्ञान

जलवायु अनुसंधान के लिए स्थानिक संरचनाओं की जांच के लिए पावर स्पेक्ट्रल-विश्लेषण का उपयोग किया गया है। इन परिणामों से पता चलता है कि वायुमंडलीय अशांति जलवायु परिवर्तन को मौसम की स्थिति में अधिक स्थानीय क्षेत्रीय अस्थिरता से जोड़ती है।

यह भी देखें

• बिस्पेक्ट्रम
• चमक तापमान
• शोर के रंग
• कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• शोर वर्णक्रमीय घनत्व
• वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
• स्पेक्ट्रल दक्षता
• वर्णक्रमीय रिसाव
• स्पेक्ट्रल बिजली वितरण
• कम संभावना
• विंडो फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

• Power Spectral Density Matlab scripts