विटाली आवरण लेम्मा

गणित में, लेम्मा को आवरण करने वाली विटाली संयोजी ज्यामिति परिणाम है जो सामान्यतः यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के माप सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। यह लेम्मा विटाली आवरण प्रमेय के प्रमाण में स्वतंत्र रुचि का मध्यवर्ती कदम है। आवरण प्रमेय का श्रेय इटली के गणितज्ञ जोसेफ विटाली को दिया जाता है। प्रमेय में कहा गया है कि E के विटाली आवरण से निकाले गए अलग परिवार द्वारा लेबेसेग शून्य सेट तक, R^d के दिए गए सबसेट E को आवरण करना संभव है।

विटाली आवरण लेम्मा

$\mathbb {R} ^{1}$ में लेम्मा का विज़ुअलाइज़ेशन

शीर्ष पर: गेंदों का संग्रह; हरी गेंदें असम्बद्ध उपसंग्रह हैं। तल पर: उपसंग्रह तीन गुना त्रिज्या के साथ सभी गेंदों को आवरण करता है।

लेम्मा के दो मूल संस्करण परिमित संस्करण और अनंत संस्करण हैं। दोनों लेम्मा को मीट्रिक स्थान की सामान्य सेटिंग में सिद्ध किया जा सकता है, सामान्यतः ये परिणाम यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विशेष स्थितियों $\mathbb {R} ^{d}$ में प्रयुक्त होते हैं। दोनों प्रमेयों में हम निम्नलिखित अंकन का उपयोग करेंगे: यदि ${\textstyle B=B(x,r)}$ गेंद है और $c\in \mathbb {R}$, हम $cB$ लिखेंगे ${\textstyle B(x,cr)}$ गेंद के लिए है।

परिमित संस्करण

प्रमेय (परिमित आवरण लेम्मा), माना $B_{1},\dots ,B_{n}$ बॉल का कोई भी परिमित संग्रह हो, जो किसी मनमाने मेट्रिक स्पेस में समाहित हो। फिर उपसंग्रह $B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}$ उपस्थित है, इन गेंदों में से जो अलग सेट हैं और संतुष्ट हैं

$$B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \dots \cup 3B_{j_{m}}.$$

प्रमाण: व्यापकता के हानि के बिना, हम मानते हैं कि गेंदों का संग्रह खाली नहीं है; अर्थात n > 0। माना $B_{j_{1}}$ सबसे बड़े त्रिज्या की गेंद हो। आगमनात्मक रूप से, मान लीजिए $B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}$ चुने गए हैं। यदि अंदर कुछ गेंद $B_{1},\dots ,B_{n}$है जो $B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \dots \cup B_{j_{k}}$ से अलग है, माना $B_{j_{k+1}}$ अधिकतम त्रिज्या के साथ ऐसी गेंद हो (मनमाने ढंग से संबंध तोड़ना), अन्यथा, हम m := k सेट करते हैं और आगमनात्मक परिभाषा को समाप्त कर देते हैं।

अब ${\textstyle X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}}$ सेट करें। $B_{i}\subset X$ प्रत्येक $i=1,2,\dots ,n$ के लिए $B_{i}\subset X$ दिखाना शेष है। यह स्पष्ट है यदि $i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}$। अन्यथा, अवश्य ही कुछ है $k\in \{1,\dots ,m\}$ ऐसा है कि $B_{i}$, $B_{j_{k}}$को काटती है और $B_{j_{k}}$की त्रिज्या कम से कम $B_{i}$ जितनी ही बड़ी है। त्रिकोण असमानता तब सरलता से इसका तात्पर्य है $B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X$, आवश्यकतानुसार है। यह परिमित संस्करण के प्रमाण को पूरा करता है।

अनंत संस्करण

प्रमेय (अनंत आवरण लेम्मा)। माना $\mathbf {F}$ वियोज्य मीट्रिक स्थान में गेंदों का मनमाना संग्रह हो जैसे कि

$$R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \}<\infty$$

जहां $\mathrm {rad} (B)$ गेंद B की त्रिज्या को दर्शाता है। फिर गणनीय उप-संग्रह $\mathbf {G} \subset \mathbf {F}$ उपस्थित है, ऐसे कि गेंदों $\mathbf {G}$ जोड़ो में अलग कर रहे हैं, और संतुष्ट हैं

$$\bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.$$

और इसके अतिरिक्त, प्रत्येक $B\in \mathbf {F}$ कुछ $C\in \mathbf {G}$ साथ $B\subset 5C$ को काटता है।

प्रमाण: F के उप-संग्रह F_n, n ≥ 0 में विभाजन पर विचार करें, द्वारा परिभाषित

$\mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :2^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq 2^{-n}R\}.$

वह है, ${\textstyle \mathbf {F} _{n}}$ गेंदों के होते हैं B जिसका त्रिज्या है (2⁻ⁿ⁻¹R, 2⁻ⁿR] अनुक्रम 'Gn, G_n ⊂ F_n के साथ, आगमनात्मक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, H₀ = F₀ ​​सेट करें 0= एफ0 और माना G₀ , H₀ का अधिकतम असंयुक्त उपसंग्रह हो (ऐसा उपसंग्रह ज़ोर्न के लेम्मा द्वारा उपस्थित है)। यह मानते हुए कि G₀,…,G_n चुने गए हैं, चलो

$\mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \dots \cup \mathbf {G} _{n}\},$

और माना G_n+1, H_n+1 का अधिकतम असंयुक्त उपसंग्रह हो। उपसंग्रह

$\mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}$

प्रमेय की आवश्यकताओं को F पूरा करता है: G असम्बद्ध संग्रह है, और इस प्रकार गणना योग्य है क्योंकि दिए गए मीट्रिक स्थान वियोज्य हैं। इसके अतिरिक्त, हर गेंद B ∈ F गेंद C ∈ G को ऐसे काटती है कि B ⊂ 5 C।
वास्तव में, यदि हमें $B\in \mathbf {F}$ कुछ दिया जाता है, कुछ n ऐसे होने चाहिए कि B 'F_n' से संबंधित हो, या तो B 'H_n' से संबंधित नहीं है, जिसका अर्थ n > 0 है और इसका अर्थ है कि B 'G₀' के मिलन से एक गेंद को काटता है G₀, …, G_n−1, या B ∈ H_n और G_n की अधिकतमता से, B गेंद को 'G_n' में काटता है। किसी भी स्थितियों में, B गेंद C को काटता है जो ' G₀, …, G_n' के संघ से संबंधित है। ऐसी गेंद C की सीमा 2⁻ⁿ⁻¹R से बड़ी होनी चाहिए। चूँकि B की त्रिज्या 2⁻ⁿR से कम या उसके बराबर है, हम त्रिभुज असमानता से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि B ⊂ 5 C, जैसा कि प्रमाणित किया गया है। इस से $\bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C$ तुरंत अनुसरण करता है, और प्रमाण को पूरा करता है।

टिप्पणियां

• 'अनंत संस्करण' में, गेंदों का प्रारंभिक संग्रह गणनीय या अनगिनत हो सकता है। वियोज्य मीट्रिक स्थान में, गेंदों का कोई भी जोड़ीदार असंयुक्त संग्रह गणनीय होना चाहिए। गैर-वियोज्य स्थान में, एक ही तर्क से पता चलता है कि जोड़ीदार असंबद्ध उपपरिवार उपस्थित है, किन्तु उस परिवार को गिनने योग्य नहीं होना चाहिए।
• परिणाम विफल हो सकता है यदि त्रिज्या सीमित नहीं है: R^d में 0 पर केंद्रित सभी गेंदों के परिवार पर विचार करें; किसी भी असंयुक्त उपपरिवार में केवल गेंद B होती है, और 5 B में इस परिवार की सभी गेंदें नहीं होती हैं।
• स्थिरांक 5 इष्टतम नहीं है। यदि पैमाना c⁻ⁿ, c > 1, 2⁻ⁿ के स्थान पर F_n को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो अंतिम मान 5 के अतिरिक्त 1 + 2c है। 3 से बड़ा कोई भी स्थिरांक प्रमेयिका का सही कथन देता है, किन्तु 3 नहीं।
• महीन विश्लेषण का उपयोग करते हुए, जब मूल संग्रह 'F' 'R^d' के उपसमुच्चय E का विटाली आवरण है, तो दिखाता है कि उपरोक्त प्रमाण में परिभाषित उप-संग्रह 'G', E को लेबेसेग-नगण्य सेट तक आवरण करता है।

अनुप्रयोग और उपयोग की विधि

विटाली लेम्मा का अनुप्रयोग हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता को सिद्ध करने में है। जैसा कि इस प्रमाण में, विटाली लेम्मा का उपयोग अधिकांशतः तब किया जाता है जब हम उदाहरण के लिए, डी-डायमेंशनल लेबेस्ग उपाय पर विचार करते हैं, $\lambda _{d}$, समुच्चय (गणित) का E ⊂ 'R'^d, जिसे हम जानते हैं कि गेंदों के निश्चित संग्रह के मिलन में निहित है $\{B_{j}:j\in J\}$, जिनमें से प्रत्येक के पास उपाय है जिसे हम अधिक सरलता से गणना कर सकते हैं, या विशेष गुण है जिसका कोई लाभ उठाना चाहेगा। इसलिए, यदि हम इस संघ के माप की गणना करते हैं, तो हमारे पास E के माप पर ऊपरी सीमा होगी। चूँकि, इन सभी गेंदों के मिलन के माप की गणना करना जटिल है यदि वे ओवरलैप करते हैं। विटाली लेम्मा द्वारा, हम उपसंग्रह चुन सकते हैं $\left\{B_{j}:j\in J'\right\}$ जो अलग है और ऐसा है ${\textstyle \bigcup _{j\in J'}5B_{j}\supset \bigcup _{j\in J}B_{j}\supset E}$. इसलिए,

$\lambda _{d}(E)\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}\leq \lambda _{d}{\biggl (}\bigcup _{j\in J'}5B_{j}{\biggr )}\leq \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j}).$

अब, चूँकि डी-आयामी गेंद की त्रिज्या को पाँच के गुणक से बढ़ाने से इसका आयतन 5^d के गुणक से बढ़ जाता है^ड, हम जानते हैं कि

$\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j})=5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j})$

और इस प्रकार

$\lambda _{d}(E)\leq 5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j}).$

विटाली आवरण प्रमेय

आवरण प्रमेय में, उद्देश्य नगण्य सेट तक, दिए गए सेट E ⊆ 'R^d' को आवरण करना है, E के लिए विटाली आवरण से निकाले गए अलग उपसंग्रह द्वारा: 'विटाली क्लास' या 'विटाली आवरण' ${\mathcal {V}}$, E के लिए सेट का संग्रह है जैसे कि, प्रत्येक x ∈ E और δ > 0 के लिए, संग्रह में सेट U है ${\mathcal {V}}$ जैसे कि x ∈ U और U का व्यास गैर-शून्य और δ से कम है।

विटाली की शास्त्रीय सेटिंग में,नगण्य सेट लेबेसेग नगण्य सेट है, किन्तु लेबेसेग माप के अतिरिक्त अन्य माप, और 'R^d' के अतिरिक्त अन्य स्थान पर भी विचार किया गया है, जैसा कि नीचे संबंधित अनुभाग में दिखाया गया है।

निम्नलिखित अवलोकन उपयोगी है: यदि ${\mathcal {V}}$ E के लिए विटाली आवरण है और यदि E खुले सेट में निहित है Ω ⊆ 'R^d', तो का उपसंग्रह U को अंदर सेट करता है ${\mathcal {V}}$ जो Ω में निहित हैं, वह भी E के लिए विटाली आवरण है।

लेबेस्गु माप के लिए विटाली का आवरण प्रमेय

लेबेस्ग माप λ_d के लिए अगला आवरण प्रमेय लेबेस्ग (1910) के कारण है। संग्रह ${\mathcal {V}}$ R^d के औसत श्रेणी का सबसेट नियमित परिवार है (हेनरी लेबेस्ग्यू के अर्थ में) यदि स्थिर C उपस्थित है जैसे कि

$\operatorname {diam} (V)^{d}\leq C\,\lambda _{d}(V)$

संग्रह में प्रत्येक सेट V के लिए ${\mathcal {V}}$
घन का परिवार नियमित परिवार का उदाहरण है ${\mathcal {V}}$, जैसा परिवार है ${\mathcal {V}}(m)$ R² में आयतों की इस प्रकार कि भुजाओं का अनुपात m⁻¹ और m के बीच कुछ निश्चित m ≥ 1 के लिए बना रहे। यदि 'R^d' पर मनमाना मानदंड दिया गया है, मानक से संबंधित मीट्रिक के लिए गेंदों का परिवार एक अन्य उदाहरण है। इसके विपरीत, 'R²' में सभी आयतों का परिवार नियमित नहीं है।

Theorem —  माना E ⊆ 'Rd परिमित लेबेस्ग माप के साथ औसत श्रेणी का सेट हो, और माना ${\mathcal {V}}$ R के बंद उपसमुच्चयों का नियमित परिवार बनें ^d यह E के लिए विटाली आवरण है। तब परिमित या गणनीय रूप से अनंत विसंधित उपसंग्रह उपस्थित होता है $\{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}$ ऐसा कि

$$\lambda _{d}{\biggl (}E\setminus \bigcup _{j}U_{j}{\biggr )}=0.$$

का मूल परिणाम विटाली (1908) का मूल परिणाम इस प्रमेय का विशेष स्थिति है, जिसमें d = 1 और ${\mathcal {V}}$ अंतरालों का संग्रह है जो परिमित माप वाली वास्तविक रेखा के मापनीय उपसमुच्चय E के लिए विटाली आवरण है।
उपरोक्त प्रमेय यह मानने के बिना सही रहता है कि E का परिमित माप है। यह प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 0 के लिए, अंक x के खुले वलय Ω_n में समाहित E के हिस्से के लिए परिमित माप स्थितियों में आवरण परिणाम प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है, जैसे कि n < |x| < n+1।

कुछ सीमा तक संबंधित आवरण प्रमेय बेसिकोविच आवरण प्रमेय है। उपसमुच्चय A ⊆ 'R^d' के प्रत्येक बिंदु के लिए, केंद्र a और सकारात्मक त्रिज्या r_a के साथ यूक्लिडियन बॉल B(a, r_a) सौंपा गया है। फिर, विटाली प्रमेय के रूप में, A को विशिष्ट विधि से आवरण करने के लिए इन गेंदों का उपसंग्रह चुना जाता है। विटाली आवरण प्रमेय के साथ मुख्य अंतर यह है कि एक तरफ, विटाली की असम्बद्धता आवश्यकता इस तथ्य के लिए शिथिल है कि संख्या N_x चुनी गई गेंदों में मनमाना बिंदु x ∈ 'R^d' है स्थिरांक B_d से घिरा है केवल आयाम d पर निर्भर करता है; दूसरी ओर, चयनित गेंदें दिए गए सभी केंद्रों के सेट A को आवरण करती हैं।

हौसडॉर्फ माप के लिए विटाली की आवरण प्रमेय

लेबेस्ग माप के अतिरिक्त हौसडॉर्फ माप पर विचार करते समय समान उद्देश्य हो सकता है। निम्नलिखित प्रमेय उस स्थितियों में प्रयुक्त होता है।

Theorem —  माना H^s निरूपित s-आयामी हौसडॉर्फ उपाय, माना E ⊆ R^d be an H^s-measurable सेट और ${\mathcal {V}}$ विटाली वर्ग E के लिए बंद सेटों की संख्या। तब (परिमित या अनगिनत अनंत) असंयुक्त उपसंग्रह उपस्थित होता है $\{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}$ ऐसा कि

$$H^{s}\left(E\setminus \bigcup _{j}U_{j}\right)=0$$

or

$$\sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{s}=\infty .$$

इसके अतिरिक्त, यदि E के पास परिमित s-आयामी हौसडॉर्फ माप है, तो किसी भी ε > 0 के लिए, हम इस उपसंग्रह {U को चुन सकते हैं_j} ऐसा है कि

$H^{s}(E)\leq \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}+\varepsilon .$

इस प्रमेय का तात्पर्य ऊपर दिए गए लेबेसेग के परिणाम से है। वास्तव में, जब s = d, हौसडॉर्फ़ H^s को मापता है, 'R^d' पर डी-आयामी लेबेस्ग माप के एक बहु के साथ मेल खाता है। यदि असंबद्ध संग्रह $\{U_{j}\}$ नियमित है और परिमित लेबेस्ग माप के साथ मापने योग्य क्षेत्र B में समाहित है, फिर

$\sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{d}\leq C\sum _{j}\lambda _{d}(U_{j})\leq C\,\lambda _{d}(B)<+\infty$

जो पिछले प्रमेय के पहले अभिकथन में दूसरी संभावना को बाहर करता है। यह अनुसरण करता है कि लेबेसेग-नगण्य सेट तक, चयनित विसंधित उपसंग्रह द्वारा E को आवरण किया गया है।

आवरण लेम्मा से आवरण प्रमेय तक

आवरण लेम्मा को विटाली आवरण प्रमेय के निम्नलिखित मूल रूप के प्रमाण में मध्यवर्ती चरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

Theorem — E के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए R^d और बंद गेंदों के संग्रह F द्वारा E के प्रत्येक विटाली आवरण, एक अलग उपसंग्रह G उपस्थित है जो E को लेबेसेग-नगण्य सेट तक आवरण करता है।

प्रमाण: व्यापकता के हानि के बिना, कोई यह मान सकता है कि F में सभी गेंदें गैर-डीजेनरेट हैं और त्रिज्या 1 से कम या उसके बराबर है। $\mathbf {G}$ F का ऐसा है कि प्रत्येक गेंद B ∈ F गेंद C ∈ G को काटती है जिसके लिए B' ⊂ 5 C है। माना r > 0 दिया जाता है, और Z अंक z ∈ E के सेट को दर्शाता है जो G से किसी भी गेंद में सम्मिलित नहीं हैं और खुले से संबंधित हैं गेंद B(r) त्रिज्या r की, 0 पर केन्द्रित है।

माना $\mathbf {G} _{r}=\{C_{n}\}_{n}$ G में उन गेंदों के उपसंग्रह को निरूपित करें जो B(r) से मिलते हैं। ध्यान दें कि $\mathbf {G} _{r}$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत हो सकता है। मान लीजिए z ∈ Z स्थिर है। प्रत्येक N के लिए, z संवृत समुच्चय से संबंधित नहीं है $K=\bigcup _{n\leq N}C_{n}$ Z की परिभाषा के अनुसार। किन्तु विटाली आवरण संपत्ति के द्वारा, गेंद B ∈ 'F' जिसमें z सम्मिलित है, B(r) में निहित है, और K से अलग हो सकता है। 'G' की संपत्ति से, गेंद B प्रतिच्छेद करती है कुछ गेंद $C_{i}\in \mathbf {G}$ और में निहित है $5C_{i}$. किन्तु क्योंकि K और B असंयुक्त हैं, हमारे पास i > N होना चाहिए। इसलिए $z\in 5C_{i}$ कुछ i> N के लिए, और इसलिए

$Z\subset \bigcup _{n>N}5C_{n}.$

यह प्रत्येक N के लिए असमानता देता है

$\lambda _{d}(Z)\leq \sum _{n>N}\lambda _{d}(5C_{n})=5^{d}\sum _{n>N}\lambda _{d}(C_{n}).$

किन्तु गेंदों के बाद से $\mathbf {G} _{r}$ B (r + 2) में सम्मिलित हैं, और ये गेंदें अलग हैं जो हम देखते हैं

$\sum _{n}\lambda _{d}(C_{n})<\infty .$

इसलिए, उपरोक्त असमानता के दाईं ओर का पद 0 में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि N अनंत तक जाता है, जो दर्शाता है कि Z आवश्यकतानुसार नगण्य है।

अनंत-आयामी स्थान

विटाली आवरण प्रमेय अनंत-आयामी सेटिंग्स में मान्य नहीं है। इस दिशा में पहला परिणाम 1979 में डेविड प्राइस द्वारा दिया गया था: (अनंत-आयामी) वियोज्य अंतरिक्ष हिल्बर्ट अंतरिक्ष H पर गॉसियन माप γ उपस्थित है जिससे विटाली आवरण प्रमेय (H, बोरेल(H), γ) के लिए विफल हो जाए। यह परिणाम 2003 में जारोस्लाव टिसर द्वारा सुगठित किया गया था: विटाली आवरण प्रमेय वास्तव में किसी भी (अनंत-आयामी) वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर हर अनंत-आयामी गॉसियन माप के लिए विफल रहता है।

यह भी देखें

• बेसिकोविच आवरण प्रमेय

संदर्भ

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Advanced Mathematics, Boca Raton, FL: CRC Press, pp. viii+268, ISBN 0-8493-7157-0, MR 1158660, Zbl 0804.28001
• Falconer, Kenneth J. (1986), The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 85, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+162, ISBN 0-521-25694-1, MR 0867284, Zbl 0587.28004
• "Vitali theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1910), "Sur l'intégration des fonctions discontinues", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 27: 361–450, doi:10.24033/asens.624, JFM 41.0457.01
• Natanson, I. P (1955), Theory of functions of a real variable, New York: Frederick Ungar Publishing Co., p. 277, MR 0067952, Zbl 0064.29102
• Preiss, David (1979), "Gaussian measures and covering theorems", Commentatione Mathematicae Universitatis Carolinae, 20 (1): 95–99, ISSN 0010-2628, MR 0526149, Zbl 0386.28015
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005), Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton Lectures in Analysis, III, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xx+402, ISBN 0-691-11386-6, MR 2129625, Zbl 1081.28001
• Tišer, Jaroslav (2003), "Vitali covering theorem in Hilbert space", Transactions of the American Mathematical Society, 355 (8): 3277–3289 (electronic), doi:10.1090/S0002-9947-03-03296-3, MR 1974687, Zbl 1042.28014
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali", Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (in Italian), 43: 75–92, JFM 39.0101.05{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link) (Title translation) "On groups of points and functions of real variables" is the paper containing the first proof of Vitali covering theorem.