विपरीत श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, विपरीत श्रेणी या दोहरी श्रेणी सी^{किसी दी गई श्रेणी (गणित) सी का ऑप} रूपवाद को उलटने से बनता है, यानी प्रत्येक रूपवाद के स्रोत और लक्ष्य को आपस में बदलने से। दो बार उत्क्रमण करने से मूल श्रेणी प्राप्त होती है, इसलिए विपरीत श्रेणी का विपरीत मूल श्रेणी ही होती है। प्रतीकों में, $(C^{\text{op}})^{\text{op}}=C$.

उदाहरण

• असमानताओं की दिशा को आंशिक क्रम में उलटने से एक उदाहरण मिलता है। इसलिए यदि X एक समुच्चय (गणित) है और ≤ एक आंशिक क्रम संबंध है, तो हम एक नया आंशिक क्रम संबंध परिभाषित कर सकते हैं ≤^सेशनद्वारा

x ≤^op y यदि और केवल यदि y ≤ x.

नए क्रम को आमतौर पर ≤ का दोहरा क्रम कहा जाता है, और इसे अधिकतर ≥ द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए, ऑर्डर_थ्योरी#द्वैत, ऑर्डर सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और प्रत्येक विशुद्ध रूप से ऑर्डर सिद्धांत संबंधी अवधारणा में एक दोहरापन होता है। उदाहरण के लिए, विपरीत जोड़े हैं बच्चे/माता-पिता, वंशज/पूर्वज, इन्फ़िमम/सर्वोच्च, डाउन-सेट/ऊपरी सेट |अप-सेट, आइडियल (ऑर्डर सिद्धांत)/फ़िल्टर (गणित) आदि। यह ऑर्डर सैद्धांतिक द्वैत बदले में है विपरीत श्रेणियों के निर्माण का विशेष मामला क्योंकि प्रत्येक ऑर्डर किया गया सेट एक श्रेणी के रूप में ऑर्डर_थ्योरी#श्रेणी_सिद्धांत हो सकता है।

• एक अर्धसमूह (एस, ·) को देखते हुए, आमतौर पर विपरीत अर्धसमूह को (एस, ·) के रूप में परिभाषित किया जाता है।^op = (S, *) जहां S में सभी x,y के लिए x*y ≔ y·x है। इसलिए अर्धसमूहों के लिए भी एक मजबूत द्वैत सिद्धांत है। स्पष्ट रूप से, वही निर्माण समूहों के लिए भी काम करता है, और रिंग सिद्धांत में भी जाना जाता है, जहां इसे विपरीत रिंग देने के लिए रिंग के गुणक अर्धसमूह पर लागू किया जाता है। फिर से इस प्रक्रिया को एक मोनॉइड में एक अर्धसमूह को पूरा करके, मोनॉइड#रिलेशन_टू_कैटेगरी_थ्योरी विपरीत श्रेणी लेकर, और फिर संभवतः उस मोनॉइड से इकाई को हटाकर वर्णित किया जा सकता है।
• बूलियन बीजगणित (संरचना) और बूलियन होमोमोर्फिज्म की श्रेणी पत्थर की जगह और कंटीन्यूअस_फंक्शन#कंटीन्युअस_फंक्शन_बिटवीन_टोपोलॉजिकल_स्पेस की श्रेणी के विपरीत श्रेणियों की तुल्यता है।
• एफ़िन योजनाओं की श्रेणी क्रमविनिमेय रिंगों की श्रेणी के विपरीत तुल्यता (श्रेणी सिद्धांत) है।
• पोंट्रीगिन द्वंद्व कॉम्पैक्ट स्पेस#डेफिनिशन हॉसडॉर्फ़ स्थान एबेलियन समूह टोपोलॉजिकल समूहों की श्रेणी और (असतत) एबेलियन समूहों की श्रेणी के विपरीत के बीच एक तुल्यता को प्रतिबंधित करता है।
• गेलफैंड-न्यूमार्क प्रमेय के अनुसार, स्थानीयकृत सिग्मा-बीजगणित की श्रेणी (मापने योग्य फ़ंक्शन के साथ) क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित की श्रेणी के बराबर है (*-बीजगणित के सामान्य ऑपरेटर यूनिटल मानचित्र समरूपता के साथ)।

गुण

विपरीत उत्पादों को संरक्षित करता है:

$(C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}$ (उत्पाद श्रेणी देखें)

विपरीत फ़ंक्शनलर्स को संरक्षित करता है:

$(\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})$ (फ़नकार श्रेणी देखें, फ़नकार के विपरीत)

विपरीत स्लाइस संरक्षित करता है:

$(F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})$ (अल्पविराम श्रेणी देखें)

यह भी देखें

• दोहरी वस्तु
• दोहरी (श्रेणी सिद्धांत)
• द्वैत (गणित)
• सहायक संचालिका
• कंट्रावेरिएंट ऑपरेटर
• विपरीत फ़ैक्टर

संदर्भ

• Opposite category in nLab
• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Dual Category", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). New York, NY: Springer New York. p. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
• Awodey, Steve (2010). Category theory (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.